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1、4.2.3直线与圆的方程的应用,判断两圆位置关系,几何方法,两圆心坐标及半径（配方法）,圆心距d （两点间距离公式）,比较d和r1，r2的大小，下结论,代数方法,消去y（或x）,复习:,问题：如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m）,思考1:你能用几何法求支柱A2P2的高度吗？,思考2:如图所示建立直角坐标系，那么求支柱A2P2的高度，化归为求一个什么问题？,思考4:利用这个圆的方程可求得点P2的纵坐标是多少？问题的答案如何？,思考3:取1m为长度单位，如何求圆拱所在圆的方程？
2、,x2+(y+10.5)2=14.52,P130 例4,y,A,x,A1,A2,A3,A4,B,P2,P,(10,0),(0,4),-2,知识探究：直线与圆的方程在平面几何中的应用,问题:已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.,思考1:许多平面几何问题常利用“坐标法”来解决，首先要做的工作是建立适当的直角坐标系，在本题中应如何选取坐标系？,思考2：如图所示建立直角坐标系，设四边形的四个顶点分别为点 A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)， D(0，d)，那么BC边的长为多少？,思考3:四边形ABCD的外接圆圆心M的坐标如何？,思考4:如何计算圆
3、心M到直线AD的距离|MN|？,P131 例5 （坐标法）,x,y,O,O,A,B,C,D,证明：以AC为x轴，BD为y轴建立直角坐标系。,则四个顶点坐标分别为 A(a,0),B(0,b),C(0,c),D(0,d),E,(a,0),(0,b),(c,0),(0,d),因此，圆心到一条边的距离等于等于这条边所对边长一半。,第二步:进行有关代数运算,第三步:把代数运算结果翻译成几何关系。,第一步:建立坐标系，用坐标表示有关的量。,用坐标法 解决几何问题的步骤：,第二步：通过代数运算，解决代数问题；,第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论,第一步 ：建立适当的平面直角坐标系，用坐标 和方程表示问
4、题中的几何元素，将平面几何问 题转化为代数问题；,思考5:由上述计算可得|BC|=2|MN|，从而命题成立.你能用平面几何知识证明这个命题吗？,例:过点M(2,4)向圆C:(x-1)2+(y+3)2=1引两条切线,切点为P,Q,求PQ所在直线的方程.,利用圆系求:过圆两切点的直线问题,思考设点M(x0，y0)为圆x2y2=r2外一点，过点M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程如何？,x0x+y0y=r2,利用圆系求:过圆两切点的直线问题,解:设两个切点为A,B以OP为直径的圆过A,B两点,设圆上任一点C (x ,y ),必有OCPC,根据此条件必有 故得此圆的方程为 x(x-x0
5、)+y(y-y0)=0.过A,B两点的圆的方程为 x(x-x0)+y(y-y0)+(x2+y2-r2)=0. 令=-1,得AB直线方程为 -x0x-y0y+r2=0,即 x0x+y0y=r2.,例:已知x, y 是实数,且x2+y2-4x-6y+12=0,求:,补充:典型题型(一),例:已知x, y是实数,且x2+y2-4x-6y+12=0,求:,补充:典型题型(一),例:已知x,y是实数,且x2+y2-4x-6y+12=0,求:,补充:典型题型(一),例:已知x, y是实数,且x2+y2-4x-6y+12=0,求:,补充:典型题型(一),例:已知圆O的方程为x2+y2=9,求过点A(1,2)
6、所作的弦的中点的轨迹.,补充:典型题型(二),例:已知圆O的方程为x2+y2=9, 求过点A(1,2)所作的弦的中点的轨迹.,补充:典型题型(二),例:已知圆O的方程为x2+y2=9,求过点A(1,2)所作的弦的中点的轨迹.,补充:典型题型(二),问题探究,2.求经过点M(3,-1) ,且与圆 切于点N(1,2)的圆的方程。,y,O,C,M,N,G,x,求圆G的圆心和半径r=|GM|,圆心是CN与MN中垂线的交点,两点式求CN方程 点(D)斜(kDG) 式求中垂线DG方程,D,P133 A7,求圆 关于直线 对称的圆的方程。,y,C,E,D,x,(a,b),在直线l上,圆系方程,1.设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若两圆相交，则过交点的圆系方程为,x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,为参数，圆系中部不包括圆C2，当= -1时为两圆的公共弦所在直线方程.,2.设圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线l:Ax+By+C=0,若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为,x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0,(为参数),补充,练习：课本P132 习题A组 4,