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1、问题 18 等差数列、等比数列的证明问题问题 18 等差数列、等比数列的证明问题 一、考情分析 等差数列与等比数列的证明是高考热点，一般出现在解答题第一问，等差数列与等比数列的证明难度虽然 不大，但有一定的技巧性，且对规范性要求较高，解题时要避免会而不对或对而不全 二、经验分享 1.等差数列证明方法主要有：(1)定义法：anan1(n2,nN N*)为同一常数an是等差数列；(2)等差中 项法：2anan1an1(n2,nN N*)成立an是等差数列；(3)通项公式法：anpnq(p,q为常数)对任 意的正整数n都成立an是等差数列；(4)前n项和公式法：验证数列an的前n项和SnAn2Bn(
2、A,B为 常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列； 【点评】证明数列成等比数列的关键是利用已知得出 . a n11 2a n an21 2a n1 an11 2a n 1 2 【小试牛刀】 【安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12 联盟）2018 届高三上学期期末】已知数 列 n a满足， 1 n a 且 1 1a （1）求证：数列 1 1 n a 是等差数列，并求出数列 n a的通项公式； （2）令1 nn ba，求数列 n c的前2018项和 2018 S （2）由（1）知 2 21 n b n ， ， 4036 4037 (二) 运用等差或等比中项性质 (二) 运用等差或等
3、比中项性质 是等差数列, n a是等比数列,这是证明数列 n a为 等差（等比）数列的另一种主要方法 【例 2】正数数列 n a和 n b满足：对任意自然数成等差数列,成等比数 列证明：数列 n b为等差数列 【点评】本题依据条件得到 n a与 n b的递推关系,通过消元代换构造了关于 n b的等差数列,使问题得以解 决通过挖掘 n S的意义导出递推关系式,灵活巧妙地构造得到中项性质,这种处理大大简化了计算 【小试牛刀】已知等比数列an的公比q . 1 2 (1)若a3 ,求数列an的前n项和； 1 4 (2)证明：对任意kN N*,ak,ak2,ak1成等差数列 【解析】(1)由通项公式可得
4、a3a1 ,解得a11,再由等比数列求和公式得Sn ( 1 2) 2 1 4 1 1( 1 2) n 1(1 2) . 2(1 2) n1 3 (2)证明：kN N*,2ak2(akak1)2a1qk1(a1qk1a1qk) a1qk1(2q2q1) a1qk12( 1 2) 2 ( 1 2)1 0,2ak2(akak1)0,对任意kN N*,ak,ak2,ak1成等差数列 (三) 反证法(三) 反证法 解决数学问题的思维过程,一般总是从正面入手,即从已知条件出发,经过一系列的推理和运算,最后得到所 要求的结论,但有时会遇到从正面不易入手的情况,这时可从反面去考虑如： 【例 3】设 nn ab
5、，是公比不相等的两等比数列, nnn cab证明数列 n c不是等比数列 【点评】 本题主要考查等比数列的概念和基本性质、 推理和运算能力,对逻辑思维能力有较高要求 要证 n c 不是等比数列,只要由特殊项（如 2 213 cc c）就可否定一般地讲,否定性的命题常用反证法证明,其思路 充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的重要性 【小试牛刀】 【江苏省泰州市 2019 届高三上学期期末】已知数列的前 n 项和为 Sn，且 对任意的 nN*，n2 都有。 （1）若0，求 r 的值； （2）数列能否是等比数列？说明理由； （3）当 r1 时，求证：数列是等差数列。 【解析】 （1）令 n
6、2，得：， 即：， 化简，得：，因为， 所以，解得：r1. （2）假设是等比数列，公比为 ，则，且， 解得或， 由， 可得， 所以， 两式相减，整理得， 两边同除以，可得， 因为，所以， 【小试牛刀】 已知等比数列an的公比为q,记bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m,cnam(n1)1am(n 1)2am(n1)m(m,nN N* *),则以下结论一定正确的是( ) A数列bn为等差数列,公差为qm B数列bn为等比数列,公比为q2m C数列cn为等比数列,公比为qm2 D数列cn为等比数列,公比为qmm 【答案】C 【解析】 bnam(n1)1(1qq2qm1),qm,故数列bn
7、为等比数列,公比为qm,选 bn1 bn amn1 amn1m 项 A,B均错误 ；cnaq12 (m1), (qm)mqm2,故数列cn为等比数列,公比为qm2,D错误, mm（n1）1 cn1 cn 故选 C. 五、迁移运用五、迁移运用 1.已知数列 , nn ab满足,则“ 数列 n a为等差数列” 是“ 数列 n b为 等差数列”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D即不充分也不必要条件 【答案】A 2 已知数列 n a的前n项和,则“A B “是“数列 n a是等比数列”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D 既不充分也不必要条件 【
8、答案】B 【 解 析 】 当0AB 时 ,不 是 等 比 数 列 ； 若 数 列 n a是 等 比 数 列 ,当1q 时 , 与数列 n a是等比数列矛盾,所以 ,因此“AB “是“数列 n a是等比数列”的 必要不充分条件,选 B. 因为对任意 * nN ，总存在数列 n b中的两个不同项 s b， t b，使得 snt bcb，所以对任意的 * nN 都 有，明显0q . 若1q ，当时， 有，不符合题意，舍去； 若01q，当时， 有，不符合题意，舍去； 故1q . 8 【山西省晋城市 2018 届高三上学期第一次模拟】已知数列 n a满足 1 3a ，. （1）求证：数列是等比数列； （
9、2）求数列 n a的前 10 项和 10 S. 9 【云南省昆明市第一中学 2018 届高三第五次月考】已知数列 n a满足 * nN. （1）证明： 1 n a 是等比数列； （2）令 1 2n n nn b a a ，求数列 n b的前n项和 n T. 【解析】 （1）由 11 21Sa得： 1 1a 2n ， ，从而由得 1 1 2 1 n n a a 2n ， 1 n a 是以2为首项， 2为公比的等比数列 10 【江苏省镇江市 2018 届高三上学期期末】已知数列 n a的前n项和 n S，对任意正整数n，总存在正数 , ,p q r使得 1n n ap ， n n Sqr恒成立 ：
10、 数列 n b的前n项和 n T，且对任意正整数n， 2 nn Tnb恒成 立. （1）求常数 , ,p q r的值； （2）证明数列 n b为等差数列； （3）若 1 2b ，记，是否存在正整数k，使得 对任意正整数n， n Pk恒成立，若存在，求正整数k的最小值，若不存在，请说明理由. 【解析】 （1） n n Sqr ，2n ， -得：，即， 2n ， 又 1n n ap ， 2n ， 2n 时， 2 pqq； 3n 时，. , p q为正数 又因为， 所以数列 n b是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列. （2）由（1）知， 因为， 所以， 所以. 13【河南省南阳市第一中学校
11、2018 届高三第七次考试】 已知数列数列 n a的前n项和且， 且. （1）求 2 a的值，并证明：； （2）求数列 n a的通项公式. 14 【福建省三明市 A 片区高中联盟校 2018 届高三上学期阶段性考试】已知各项为正数的数列 n a， 1 1a ，前n项和 n S， 1 2 n a是 n S与 1n S 的等差中项（2n ） （1）求证： n S是等差数列，并求 n a的通项公式； （2）设，求 n b前n项和 n T 15 【湖北省部分重点中学 2018 届高三上学期第二次联考】设数列 n a的前n项和为 n S，点 在直线上. （1）求证：数列 n a是等比数列，并求其通项公式； （2）设直线 n xa与函数 2 f xx的图象交于点 n A，与函数的图象交于点 n B，记 （其中O为坐标原点） ，求数列 n b的前n项和 n T. 【解析】 （1）点, nn a S在直线上， （i）当1n 时，. （ii）当2n 时， - 1 2 nn aa 即 1 2 n n a a . 数列 n a是首项为2，公比为2的等比数列. （2）由已知 即数列是首项为 2，公比为 2 的等比数列，. （2）设为数列的前 项和，则， 当时， 两式相减得，经验证当时也成立， 故，当时， 故当时， . 利用错位相减法可求得，. 又也符合上式，故数列的通项公式为.