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1、问题 26 利用基本不等式处理最值问题 26 利用基本不等式处理最值 一、考情分析 不等式问题始终是高考数学的热点题型之一,而基本不等式法是最为常见、应用十分广泛的方法之一下面 笔者以近几年高考试题及模拟题为例,对高考中考查利用基本不等式解题的基本特征和基本类型作一些分 类解析,供参考 二、经验分享 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提 ： “一正”“二定”“三相等” 所谓“一正”是指正数,“二 定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件 类型二 未知定值类型二 未知定值 【例 2】已知 , x y为正实数,则 43 3 xy xyx 的最小值为（
2、） A 5 3 B 10 3 C 3 2 D3 【答案】D 【解析】,当且仅当时取等 号,故选 D. 【点评】配凑法是解决这类问题的常用方法,其目的是将代数式或函数式变形为基本不等式适用的条件,对 于这种没有明确定值式的求最大值（最小值）问题,要灵活依据条件或待求式合理构造定值式 【 小 试 牛 刀 】【 山 东 省 烟 台 市 2018 届 高 三 下 学 期 高 考 诊 断 性 测 试 】 已 知 函 数 在 R 上是单调递增函数,则 23 c ba 的最小值是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 技巧一：凑项技巧一：凑项 【例 3】设0ab,则的最小值是（ ） A1 B2
3、 C3 D4 【分析】拼凑成和为定值的形式 【解 析】 4(当且仅当和 1 ab ab ,即 2 2 2 b a 时取等号),故选 D. 【点评】使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件,如果不符合条件则：非正化正、非 定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象,还应加强非定构定、不等作图这方面的训练, 并注重表达的规范性,才能灵活应对这类题型. 技巧五：整体代换技巧五：整体代换 多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错 【例 7】已知0,0xy,且 19 1 xy ,求x y 的最小值 【错解】0,0xy,且 19 1 xy ,故 【错因
4、】 解法中两次连用基本不等式,在等号成立条件是x y ,在 199 2 xyxy 等号成立条件 是 19 xy ,即9yx,取等号的条件的不一致,产生错误因此,在利用基本不等式处理问题时,列出等号成 立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法 【正解】, ,当且仅当 9yx xy 时, 上式等号成立,又 19 1 xy ,可得时, 【小试牛刀】已知正实数, a b满足37ab,则的最小值为_ 【答案】13 4 3 14 技巧六：取平方技巧六：取平方 【例 8】已知x,y为正实数,3x2y10,求函数W的最值3x2y 【分析一】可以利用算术平均与平方平均之间的不等关系 【解法一】
5、2 3x2y2（）2（）223x2y5 【分析二】条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“和为 定值”条件靠拢 【解法二】W0,W23x2y210210()2()2 10(3x2y)3x2y3x2y3x2y 20,W2 205 【小试牛刀】求函数的最大值 【解析】注意到21x与52x的和为定值 ,又0y , , 当且仅当21x=52x,即 3 2 x 时取等号,故 max 2 2y 【点评】本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件 技巧七：构造技巧七：构造 要求一个目标函数),(yxf的最值,我们利用基本不等式构造一个以),(
6、yxf为主元的不等式 （一般为二次不 等式）,解之即可得),(yxf的最值 【例 9】设 , x y为实数,若 ,则2xy的最大值是 【分析】 利用基本不等式将已知定值式中 22 4xy ,xy的均转化成含2xy的不等式,再求2xy的最大值 【答案】 2 10 5 【解析】,可解得2xy的最大值为 2 10 5 【点评】本题的解法过程体现了“消元”的思想,所求目标函数是和的形式,那我们就设法消去条件等式中 的乘积,方法就是利用基本不等式,这里它的作用,一个是消元,还有就是把条件的等式变为了不等式 【小试牛刀】若正实数x,y,满足,则x y 的最大值为（ ） A2 B3 C. 4 D5 【分析】
7、构成关于x y 的不等式,通过解不等式求最值 【解析】由,得.即, .计算得出:. yx 的最大值是4.所以 C 选项是正确的. 技巧八：添加参数技巧八：添加参数 【例 10】若已知0,cba,则的最小值为 【小试牛刀】设 wzyx, 是不全为零的实数,求的最大值 【解析】显然我们只需考虑的情形,但直接使用基本不等式是不行的,我们假设可 以找到相应的正参数, 满足： 故依据取等号的条件得, ,参数t就是我们要求的最大值消去, 我 们得到一个方程,此方程的最大根为我们所求的最大值,得到 21 2 t 【 点 评 】 从 这 个 例 子 我 们 可 以 看 出 ,这 种 配 凑 是 有 规 律 的
8、 ,关 键 是 我 们 建 立 了 一 个 等 式 ,这个等式建立的依据是等号成立的条件,目的就是为了取得最值 4【湖北省武汉市 2019 届高中毕业生二月调研】 已知为抛物线上两点， 为坐标原点， 且， 则的最小值为（ ） A B C8 D 【答案】C 5 【江西省南昌市第二中学 2019 届高三第六次考试】已知数列的前 项和为，若存在两 项，使得，则的最小值为（ ） A B C D 【答案】B 【解析】因为，所以. 两式相减化简可得， 公比， 由可得， ， 则，解得， ， 当且仅当时取等号，此时，解得， 取整数，均值不等式等号条件取不到，则， 验证可得，当时，取最小值为，故选 B. 6 【
9、河北省邢台市 2019 年高三期末】在中，点 满足， 为上一点，且 ，则的最大值为（ ） A B C D 【答案】A 【解析】因为，所以，则，因为三点共线，所以 ， （当且仅当，即，时，等号成立） ，故.故选 A 7 【山西省 2018 届高三第一次模拟】若点 为圆上的一个动点,点,为两个定点,则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 8【 云 南 省 保 山 市 2018 届 普 通 高 中 毕 业 生 第 二 次 市 级 统 测 】 在ABC中 ,若 ,则的最小值为（ ） A. 5 B. 2 5 C. 6 D. 6 2 【答案】B 【解析】设ABC的内角 A,B,C 所对应
10、的三条边分别为a b c，, 则有, 由正弦定理得： 展开可得,所以, 则=, 当且仅当 5 tan 5 B 时,等号成立,故选 B 9【辽宁省朝阳市普通高中 2018 届高三第一次模拟】 在中, 为的重心,过 点的直线分别交, 于 , 两点,且,则的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 10 【湖北省天门、仙桃、潜江 2018 届高三上学期期末】已知三点共线, 则的最小值为 A. 11 B. 10 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】由共线得, , 当且仅当时取等号,所以选 A. 20 【江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校 2018 届高三联考】已知1,2ab,则 的最小值为_ 【答案】6 21 【江苏省常州 2018 届高三上学期期末】 各项均为正数的等比数列 n a中,若,则 3 a 的最小值为_. 【答案】3 【解析】因为 n a是各项均为正数的等比数列,且,所以,则 ,即,即,即 3 a的最小值为 3. 点睛：本题考查等比中项和基本不等式的应用；在处理等比数列中,往往考查等比数列的性质的应用,如： 在等比数列 n a中,若,则. 22 【福建省闽侯第四中学 2018 届高三上学期期末】已知, 0x , 0y 则x y 的最小值 是_ 【答案】 23 2 【解析】 43 x y x , 3 0 4 x