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1、圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题 1已知椭圆1(ab0)的离心率e，左、右焦点分别为F1，F2，且F2与抛物线y24x的焦点重 x2 a2 y2 b2 3 3 合 (1)求椭圆的标准方程； (2)若过F1的直线交椭圆于B，D两点， 过F2的直线交椭圆于A，C两点， 且ACBD， 求|AC|BD|的最小值 解 (1)抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)，所以c1， 又因为e ，所以a， c a 1 a 3 3 3 所以b22， 所以椭圆的标准方程为1. x2 3 y2 2 由题意知AC的斜率为 ， 1 k 所以|AC|. 43( 1 k21) 3 1 k22 43(k21) 2k23 |AC
2、|BD|43(k21)( 1 3k22 1 2k23) 203(k21)2 (3k22)(2k23) 203(k21)2 (3k22)(2k23) 2 2 . 203(k21)2 25k212 4 163 5 当且仅当 3k222k23，即k1 时，上式取等号， 故|AC|BD|的最小值为. 163 5 当直线BD的斜率不存在或等于零时， 可得|AC|BD|. 103 3 163 5 综上，|AC|BD|的最小值为. 163 5 2已知椭圆 C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 ，点P在椭圆C上，且PF1F2的 x2 a2 y2 b2 1 3 面积的最大值为 2. 2 (2)
3、已知直线l：ykx2(k0)与椭圆C交于不同的两点M，N，若在x轴上存在点G，使得|GM|GN|， 求点G的横坐标的取值范围 解 (1)由已知得Error!Error! 解得a29，b28，c21， 椭圆C的方程为1. x2 9 y2 8 (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为E(x0，y0)，点G(m，0)，使得|GM|GN|， 则GEMN. 由Error!Error!得x236kx360，(89k2) 由0，得kR R 且k0. x1x2， 36k 9k28 x0，y0kx02. 18k 9k28 16 9k28 GEMN，kGE ， 1 k 即 ， 16 9k280 1
4、8k 9k28m 1 k m. 2k 9k28 2 9k8 k 当k0 时，9k 212 8 k 9 82 ， (当且仅当9k 8 k，即k 22 3 时，取等号) m0)与抛物线C2：y22ax相交于A，B两点，且两曲线的焦点F重合 x2 a2 y2 3 (1)求C1，C2的方程； (2)若过焦点F的直线l与椭圆分别交于M，Q两点， 与抛物线分别交于P，N两点， 是否存在斜率为k(k0) 的直线l，使得2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由 |PN| |MQ| 解 (1)因为C1，C2的焦点重合， 所以 ，a23 a 2 所以a24. 又a0，所以a2. 于是椭圆C1的方程为1， x2
5、 4 y2 3 抛物线C2的方程为y24x. (2)假设存在直线l使得2， |PN| |MQ| 当lx轴时，|MQ|3，|PN|4，不符合题意， 直线l的斜率存在， 可设直线l的方程为yk(x1)(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4) 由Error!Error!可得k2x2(2k24)xk20， 则x1x4，x1x41，且16k2160， 2k24 k2 所以|PN|1k2x1x424x1x4 . 41k2 k2 由Error!Error!可得(34k2)x28k2x4k2120， 则x2x3，x2x3， 8k2 34k2 4k212 34k2 且14
6、4k21440， 所以|MQ|.1k2x2x324x2x3 121k2 34k2 若2， |PN| |MQ| 则2， 41k2 k2 121k2 34k2 解得k. 6 2 故存在斜率为k的直线l，使得2. 6 2 |PN| |MQ| 4已知M是椭圆C：1(ab0)上的一点，F1，F2是该椭圆的左、右焦点，且|F1F2|2. ( 3， 1 2) x2 a2 y2 b2 3 (1)求椭圆C的方程； (2)设点A，B是椭圆C上与坐标原点O不共线的两点，直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k，且k1k2k2. 试探究|OA|2|OB|2是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由 解 (1)
7、由题意知，F1(，0)，F2(，0)，33 根据椭圆定义可知|MF1|MF2|2a， 所以 2a 3 3 2(1 20) 2 4， 3 3 2(1 20) 2 所以a24，b2a2c21， 所以椭圆C：y21. x2 4 (2)设直线AB：ykxm(km0)， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由Error!Error! 消去y，得(14k2)x28kmx4m240， (8km)216(m21)(4k21)0， x1x2，x1x2， 8km 14k2 4m24 14k2 因为k1k2k2，所以k2， kx1m x1 kx2m x2 即km(x1x2)m20(m0)，解得k2 . 1 4 |
8、OA|2|OB|2xxyy 2 12 22 12 2 (x1x2)22x1x25， 5 4 所以|OA|2|OB|25. 5 已知椭圆C：1(ab0)的上顶点为点D， 右焦点为F2(1,0)， 延长DF2交椭圆C于点E， 且满足|DF2| x2 a2 y2 b2 3|F2E|. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F2作与x轴不重合的直线l和椭圆C交于A，B两点，设椭圆C的左顶点为点H，且直线HA，HB分 别与直线x3 交于M，N两点，记直线F2M，F2N的斜率分别为k1，k2，则k1与k2之积是否为定值？若是， 求出该定值；若不是，请说明理由 解 (1)椭圆C的上顶点为D(0，b)，右焦点
9、F2(1,0)，点E的坐标为(x，y) |DF2|3|F2E|，可得3，DF2 F2E 又(1，b)，(x1，y)，DF2 F2E Error!Error!代入1， x2 a2 y2 b2 可得1， ( 4 3) 2 a2 ( b 3) 2 b2 又a2b21，解得a22，b21， 即椭圆C的标准方程为y21. x2 2 Error!Error! 根据H，A，M三点共线，可得， yM 32 y1 x12 yM. y1(32) x12 同理可得yN， y2(32) x22 M，N的坐标分别为， (3， y1(32) x12 ) (3， y2(32) x22 ) k1k2yMyN yM0 31 y
10、N0 31 1 4 1 4 y1(32) x12 y2(32) x22 y1y23 2 2 4(my112)(my212) y1y23 2 2 4m2y1y2(1 2)m(y1y2)(12)2 . 1162 m22 4 m2 m22 2(12)m2 m22 322 1162 m22 4 642 m22 4 29 8 k1与k2之积为定值，且该定值是. 4 29 8 6已知平面上动点P到点F的距离与到直线x的距离之比为，记动点P的轨迹为曲线E.( 3，0 ) 43 3 3 2 (1)求曲线E的方程； (2)设M(m，n)是曲线E上的动点，直线l的方程为mxny1. 设直线l与圆x2y21 交于不
11、同两点C，D，求|CD|的取值范围； 求与动直线l恒相切的定椭圆E的方程，并探究：若M(m，n)是曲线：Ax2By21(AB0)上的动 点，是否存在与直线l：mxny1 恒相切的定曲线？若存在，直接写出曲线的方程；若不存在， 说明理由 解 (1)设P(x，y)，由题意，得. (x3)2y2 |x 43 3 | 3 2 整理，得y21， x2 4 曲线E的方程为y21. x2 4 (2)圆心到直线l的距离d， 1 m2n2 直线与 圆有两个不同交点C，D， |CD|24. (1 1 m2n2) 又n21(m0)， m2 4 |CD|24. (1 4 3m24) |m|2，0m24， 01 . 4
12、 3m24 3 4 |CD|2(0，3，|CD|，(0，3 即|CD|的取值范围为.(0，3 当m0，n1 时，直线l的方程为y1； 当m2，n0 时，直线l的方程为x . 1 2 根据椭圆对称性，猜想E的方程为 4x2y21. 下面证明：直线mxny1(n0)与 4x2y21 相切， 其中n21，即m24n24. m2 4 由Error!Error!消去y得 (m24n2)x22mx1n20， 即 4x22mx1n20， 4m21640 恒成立，从而直线mxny1 与椭圆E：4x2y21 恒相切(1n2)(m24n24) 若点M是曲线：Ax2By21上的动点， 则直线l：mxny1与定曲线：
13、1(m，n)(AB 0) x2 A y2 B 恒相切(AB 0) 7. 已知椭圆C：1(ab0)的左、 右顶点分别为A1，A2， 右焦点为F2(1,0)， 点B在椭圆C上 x2 a2 y2 b2 (1， 3 2) (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l：yk(x4)(k0)与椭圆C由左至右依次交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G， 证明：点G在定直线上，并求出定直线的方程 解析：(1)由F2(1,0)，知c1，由题意得Error!Error!所以a2，b，所以椭圆C的方程为1.3 x2 4 y2 3 (2)因为yk(x4)，所以直线l过定点(4,0)，由椭圆的对称性知点G在直线xx0上 当直线l过椭圆C的上顶点时，M(0，)，3 所以直线l的斜率k，由Error!Error!得Error!Error!或Error!Error!所以N， 3 4 ( 8 5， 33 5 ) 由(1)知A1(2,0)，A2(2,0)， 所以直线lA1M的方程为y(x2)，直线lA2N的方程为y(x2)，所以G，所以G在 3 2 33 2 (1， 33 2 ) 直线x1 上 当直线l不过椭圆C的上顶点时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由 Error!Error!得(34k2)x232k2x64k2120，