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1、 专题 2.1：恒成立、能成立问题的研究与拓展 【问题提出】已知集合，集合 2 540Ax xx| 2 |220Bx xaxa （1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围；BAaBA a 【探究拓展】 探究 1：说出下列恒成立或能成立问题的转化策略 1. =，其中，有对一切恒成立.( )f xsin2cos2axbx0ab( )() 6 f xf Rx ； ； 既不是奇函数也不是偶函数 11 ()0 12 f 7 () 10 f () 5 f ( )f x 的单调递增区间是( )f x 2 ,() 63 kkkZ 存在经过点的直线与函数的图像不相交ba,( )f x 以上结论正确的
2、是 （写出所有正确结论的编号）. 2. 函数，对任意都有成立，则) 52 sin(2)( xxfRx)()()( 21 xfxfxf 的最小值为_. 21 xx 3. 已知函数52)( 2 axxxf（1a） （1）若)(xf的定义域和值域均是a, 1，求实数a的值； （2）若)(xf在区间2,上是减函数，且对任意的 1 x， 2 x1, 1a，总有4)()( 21 xfxf， 求实数的取值范围；a （3）若在区间上有零点，求实数的取值范围.)(xf3 , 1a 4. 已 知 函 数， 若 存 在， 使 得, 1 )( 2 a x xxf12)( 33 aaxxg) 1.(, 1 , 21 a
3、a a xx ，求实数的取值范围.9)()( 21 xgxfa 5. 已知，若对，,求实数的取值范围. 2 1 ( ), ( )( ) 2 x f xxg xm 1 1,3x 2 0,2x 12 ()()f xg xm 6. 函 数， 若 对 任 意 的， 总 存 在， 使 mmxxgxxxf25, 34 2 4 , 1 1 x4 , 1 2 x 成立, 求实数的取值范围. 21 xgxfm 7. 上题条件改为“若存在，总存在，使成立”呢？4 , 1 1 x4 , 1 2 x 21 xgxf 8. 函数，若对于任意的，均存在以 421 ( ) 421 xx xx k f x 123 xxx、
4、、 123 ()()()f xf xf x、 为三边长的三角形, 求实数的取值范围.k 探究 2：设函数，对任意，恒成立，则1)( 2 xxf , 2 3 x)(4) 1()(4)( 2 mfxfxfm m x f 实数的取值范围是 . 或m 2 3 m 2 3 m 变式 1：设函数是定义域为 R 的奇函数. 若，且( )(01) xx f xkaaaa 且 2 3 ) 1 (f 的最小值为，则实数的值为_.)(2)( 22 xfmaaxg xx 2m 变式 2：定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数， 使得D f x Dx0M 成立，则称 是上的有界函数， 其中称为函数的上界. 已|(
5、)|f xM f xDM f x 知函数， .( )421 xx f xp 12 ( ) 12 x x q g x q （1）当时， 求函数在上的值域， 并判断函数在上是否为有界函数， 1p f x,0 f x,0 请说明理由； （2）若， 函数在上的上界是， 求的取值范围； 2 (0, 2 q g x0,1( )H q( )H q （3）若函数在上是以 3 为上界的有界函数， 求实数的取值范围 f x0,p 解 ： （1） 值域为， 故不存在常数， 使得对任意恒成立， 所以函数3 +，0M |( )|f xM,0x f x 在上不为有界函数；,0 （2），函数在定义域上单调递减 122 (
6、)1 1212 x xx q g x qq 0,1 ,21,2 x x 则的值域为,当时， ( )g x 1 21 , 121 qq qq 2 (0, 2 q 11 2 112 qq qq 所以对于恒成立，则的取值范围是 1 ( ) 1 q g x q 0,1x( )H q 1 , 1 q q （3）转化为不等式恒成立问题在上恒成立，求得 2 -313tpt 0,1t5,1p 拓展 2：对任意实数 x 和任意0，恒成立则实 2 22 1 (32sincos )(sincos ) 8 xxaa 数 a 的取值范围为_. 2 7 6aa或 解：先处理参数的恒成立问题，即关于的二次函数的最小值大于等
7、于，处理的时候需要进行三角换xx 8 1 元，而后处理参数的恒成立问题 【答案】原不等式等价于，. 2 1 (32sincossincos ) 4 aa0, 2 解不等式得，或，. 1 32sincos 2 sincos a 0, 2 1 32sincos 2 sincos a 0, 2 先求的最大值. 1 32sincos 2 sincos 0, 2 令，则，于是.sincosx1, 2x 2 1 3(1) 5 1 2 ( ) 2 x f xx xx 易知在上是减函数，所以，从而.( )f x1, 2 max 7 ( )(1) 2 f xf 7 2 a 再求的最小值. 1 32sincos
8、2 sincos 0, 2 令，则，于是，sincosx1, 2x 2 1 3(1) 3 13 2 ( )26 22 x f xx xx 当时等号成立. 从而. 6 sincos 2 x min ( )6ag x 综上，的取值范围为.a 7 , 6, 2 变式 1：若函数图像上存在点对任意都不在轴上方，则实 2 ( )f xxxab 11 ( ,()P xf x1,3a x 数的最小值为_b 11 4 思路：先处理函数有解问题，然后再处理恒成立问题 2 ( )g xxxa 变式 2： 若存在实数 x0与正数 a， 使，均在函数的定义域内， 且成立， 0 xa 0 xa( )f x 00 f x
9、af xa 则称“函数 f（x）在 x = x0处存在长度为 a 的对称点” （1）设，问是否存在正数 a，使“函数 f（x）在 x = 1 处存在长度为 a 的对称点”？ 32 ( )321f xxxx 试说明理由 （2）设（x 0） ，若对于任意 x0（3，4） ，总存在正数 a，使得“函数在 x = x0处存在长( ) b g xx x ( )g x 度为 a 的对称点” ，求 b 的取值范围 拓展 3：已知函数定义在区间a, b上，设“”为函数在集合 D 上最小值， “)(xfDxxf| )(min)(xf ” 为 函 数在 集 合 D 上 最 大 值 .设， ()；Dxxf| )(max)(xfxtatfxf| )(min)( 1 ,bax ， () 若存在最小正整数 k， 使得对任意的xtatfxf| )(max)( 2 ,bax)()()( 12 axkxfxf , xa b 成立，则称函数为区间上的“第 k 类压缩函数” )(xf , a b （1）若函数，试写出、的解析式；32)( 23 xxxf2 , 0x)( 1 xf)( 2 xf （2）若 m0，函数是上“第 3 类压缩函数” ，求实数 m 的取值范围 23 3)(mxxxgm3 , 0 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？