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1、 专题 6.23：以分形为背景的数列问题的研究与拓展 【课本溯源】下图中的三角形称为希尔宾斯基三角形. 图中从左向右的四个三角形，着色三角形的个数依 次构成数列an的前 4 项，写出数列an的一个通项公式，并作出它的图象. 这一问题的背景是分形几何，分形几何的一个重要的特点是自相似性，可通俗地理解为适当地放大或 缩小图形的几何尺寸，整个结构并不改变. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B曼德尔布罗特(Benoit B.Mandelbrot)在 20 世纪 70 年代创立的一门新学科，与欧氏几何学在研究对象等诸多方面迥然不同. 它的 创立，为描述自然界和社会系统中大量存在的不规则图形和现象提供了相
2、应的思想方法，为解决传统科学 众多领域的难题提出了全新的思路. 这门充满活力的新学科与数列结合起来，不仅对传统的数列题作了提 升，又能发展我们的实践能力，拓展为我们的几何思维. 课本溯源中的问题解答 ： 由题意分析知 ：，则数列是首项为 1，公比为 3 1234 1,3,9,27aaaa n a 的等比数列，所以. 作图略. 1 3n n a 本题通过观察即不难发现着色三角形的个数依次数列an成等比数列，而在一些综合性比较强的数列 问题中，通项公式的求解往往是解决数列难题的瓶颈，如何熟练掌握常用的求通项公式的方法如累积法、 累加法等，是我们必须思考的问题. 下面我们再探究几个以分形为背景的数列
3、问题. 【探究拓展】 探究 1：如图，一条螺旋线是用以下方法画成：ABC是边长为 1 的正三角 形 ， 曲线 1 CA 、 12 A A、 23 A A 是分别以A、B、C为圆心，AC、 1 BA 、 2 CA 为半 径 画 的弧，曲线 123 CA A A称为螺旋线旋转一圈. 然后又以A为圆心， 3 AA 为半径画 弧， 这样画到第n圈， 则所得螺旋线的长度 n l . （要求用含,n 的代数式表示即可） 【解】由图可知 1 2 (123) 3 l， 2 2 (123456) 3 l， 2 2 (1233 )(3) 3 n lnnn. 【评注】由弧长公式可知lr，由第 1 圈、第 2 圈的弧
4、长不完全归纳出第n圈的画出，体现了由特殊到 一般的思想. 探究 2：下图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第 16 行的实心圆点的个数 是 . 【解】有些题它只是表达的形式不一样，其实只要透过现象抓住本质，不同的表达形式，所要揭示的问题 的实质是一样的. 这一题的实质是非常有名的斐波那契数列. 从图上很容易看出从第一行开始，实心圆点的数量是这样排列的：0,1,1,2,3,5,. 对于每一个空心 圆点，它到下一行只生出一个实心圆点，而对于每一个实心圆点，它到下一行可生出一空一实两个点. 到 第六行时，我们可看出，这一行的五个实心圆点到下一行必定能生出 5 个实心圆点和五个空心圆点，
5、另外 三个空心圆点还能生出三个实心圆点，因此下一行共有 5+3=8 个实心圆点. 同理，下一行的实心圆点数为 本行的所有实心圆点数加所有空心圆点数，为 8+5=13. 这里有一个非常明显的规律：也就是这一列数从第三个数起，任一个数都等于它前面两个数的和. 因 此结果很快可推知：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610. 故第 16 行的实心圆点个数为 610. 探究 3：如图，是一个边长为 1 的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去 中间一段，得图(2). 如此继续下去，得图(3)，. 则第n个图形的边长为 ，周长为 ，
6、面 积为 . 【解】 不妨设第n个图形的边长为 n l， 周长为 n c， 面积为 n S. 则 1 1l ， 2 1 3 l ， 2 3 1 3 l ， 1 1 3 n n l ； 11 31 33cl ， 22 1 12124 3 cl， 2 33 116 4848 33 cl ， 11 11 14 (34)(34)3 33 nn nn nn cl ； 1 3 4 S ， 2 21 31 3 43 SS ， 2 32 31 12 49 SS ， 2 11 2 1 313 34 (34) 43149 nn n nn SS . 132211 ()()() nnn SSSSSSSS 121 3
7、343 343 343 1691691694 n 1 1 44 1 99 3 3334 83 4 164209 1 9 n n . 探究 4：如图， 1 P是一块半径为 1 的半圆形纸板，在 1 P的左下端剪去一个半径为 1 2 的半圆后得到图形 2 P， 然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形 34 , n P PP，记纸板 n P的面积 为 n S，则lim n n S . 【解】 1 2 S ， 22 21 11 22222 SS ， 222 32 111 2422224 SS ， 2 1 1 1 22 nn n SS . 222 12422 111111 22
8、2242222222 n nn S 2 21 11 1 42 1 1 2232 1 4 n n ，lim 3 n n S . 探究 5：如图所示，是树形图形. 第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为 1；第二层在第一层线段的前 端作两条与该段均成 135的线段，长度为其一半 ； 第三层按第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段 ； 重复前面的作法作图至第n层. 设树形图的第n层的最高点到水平线的距离为第n层树形图的高度. (1) 求第三层及第四层树形图的高度 3 H， 4 H； (2) 求第n层树形图的高度 n H； (3) 若树形图的高度大于 2，则称树形图为“高大”，否则称为“矮小”. 显
9、然，当1,2n 时是“矮小”的， 是否存在mZ，使得当nm时，该树形图是“高大”的？ 【解析】 (1) 设题中树 （从下而上） 新生的各层高度所构成的数列为 n a， 则 1 1a ， 2 12 22 a ， 3 2 1 2 a ， 4 3 12 22 a ， 所 以 ， 第 三 层 树 形 图 的 高 度 3123 52 4 Haaa ， 第 四 层 树 形 图 的 高 度 41234 205 2 16 Haaaa . (2) 易知 2 1 4 n n a a ，所以第n层树形图的高度为 1 1 1 () 2 12 () 22 n n n n a n 为奇数时 ， 为偶数时 ， 所以，当n为
10、奇数时，第n层树形图的高度为 1 1 2 2 11 121 11 1 224 41214 ( )11 11 3232 11 44 n n nn H n ； 当n为偶数时，第n层树形图的高度为 2 2 121 11 1 224 41214 ( )11 11 3232 11 44 n n nn H n . (3) 不存在. 由(2)知，当n为奇数时， 11 412142 ( )lim112 323233 nn n H n ； 当n为偶数时， 412142 ( )lim112 323233 nn n H n ， 由定义，此树形图永远是“矮小”的. 所以不存在mZ，使得当nm时，该树形图是“高大”的. 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？ 1. 曲线“生长”过程中有哪些数量特征可以研究？ 边数、边长、周长、顶点数、尖角的个数、面积等变化规律. 2. 应用的知识与方法： (1) 公式法（适用于等差、等比数列） ； (2) 研究相邻两项（三项）的递推关系； (3) 观察、归纳、猜想、证明（数学归纳法）.