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1、 专题 6.8：数列中奇偶分析问题的研究与拓展 【探究拓展】 探究 1：已知等比数列的首项，公比，数列前 n 项和记为，前 n 项积记为 n a 1 2012a 1 2 q n a n S .( )n （1）求数列的最大项和最小项； n S （2）判断与的大小，并求为何值时，取得最大值；( )n(1)nn( )n （3）证明中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公 n a 差按从小到大的顺序依次设为，证明:数列为等比数列 123 , n d ddd n d 解：（1） 1 1 1 1 () 221 1 () 132 1 () 2 n n n a Sa (1
2、)当 n 是奇数时，, 单调递减，, 1 21 1 ( ) 32 n n Sa 135211 2 3 n SSSSa (2)当 n 是偶数时，, 单调递增，； 1 21 1 ( ) 32 n n Sa 24621 2 3 n SSSSa 综上，当 n=1 时，; 当 n=2 时， 1 2012 n SS 有最大值为 2 1006 n SS 有最小值为 （2）， 123 |( )| | n na a aa 1 |(1)| 1 | 2012( ) |( )|2 n n n a n ， 1110 20122012 1 22 则当时，；当时， 10n |(1)| |( )|nn 11n |(1)| |
3、( )|nn 又，(10)0,(11)0,(9)0,(12)0 的最大值是中的较大者.( )n (9)(12)和 ， 310 3 1011 1211 (12) 1 2011() 1 (9)2 a a aa (12)(9) 因此当 n=12 时，最大. ( )n （3）随 n 增大而减小，数列的奇数项均正数且递减，偶数项均负数且递增. | n a n a 当 n 是奇数时，调整为.则 12 , nnn aaa ， 1 1 111 11 ()() 22 2 nn nn n a aaaa 1 1 21 1 22() 2 2 n n n a aa 成等差数列； 1212 2, nnnnnn aaaaa
4、a 当 n 是偶数时，调整为；则 21 , nnn a aa ， 1 1 111 11 ()() 22 2 nn nn n a aaaa 1 1 21 1 22() 2 2 n n n a aa 成等差数列； 1221 2, nnnnnn aaaa aa 综上可知，数列中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列.14 分 n a n 是奇数时，公差； 1 1 211 1 3 11 ()() 22 2 nn nnn n a daaa n 是偶数时，公差. 11 1 21 1 3 11 ()() 22 2 nn nnn n a daaa 无论 n 是奇数还是偶数，都有，则， 1 1 3
5、2 n n a d 1 1 2 n n d d 因此，数列是首项为，公比为的等比数列. n d 1 3 4 a 1 2 变式：已知数列的通项公式为,设是数列的前项和，若 n a 1 ,) 1(2 3 1 nnn nn n aaba n S n an 对任意都成立，则的取值范围是_. 0 nn Sb * Nn1 , 探究 2：已知函数为二次函数，不等式的解集为且对任意的恒有)(xf02)(xf), 3 1 , 1(, a,R .0)cos2(, 0)(sinff （1）求的解析式；)(xf （2）若数列满足,求数列的通项公式； n a)( 2 3 )() 1( 1 13, 1 * 11 Nn a
6、faf aa nn n n a （3）设,在（2）的条件下，若数列的前 n 项和为求数列 n n a b 1 n b, n S)cos( nn bS 的前 n 项和. n T 探究 3： 已知等比数列的首项为， 公比为， 其前项和为， 若对恒成立， n a 4 3 1 3 n n S 1 n n ASB S * nN 则的最小值为 . BA 59 72 变式：已知首项为的等比数列不是递减数列, 其前 n 项和为, 且 S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成 3 2 n a(*) n SnN 等差数列. （1）求数列的通项公式; n a （2）设, 求数列的最大项的值与最小项的值.
7、 *() 1 nn n TSn S N n T 探究 4：数列中，.数列满足， n a1 1 a2 2 a n b n n nn aab) 1( 1 . Nn （1）若数列是等差数列，求数列的前项和； n a n b6 6 S （2）若数列是公差为的等差数列，求数列的通项公式； n b2 n a （3）若，求数列的前项的和0 122 nn bb n nn bb 2 6 212 Nn n an2. 2n T 解：（1）a1 1，a2 2，数列an是等差数列， n an 则 b1 b3 b5 1，b2 5，b4 9，b6 13 S6 b1 b2 b6 30 （2）b1 a2 a1 2 1 1，数列
8、bn是公差为 2 的等差数列，bn 2n 1 b2n 1 a2n a2n1，b2n a2n1 a2n， a2n a2n1 4n 3，a2n1 a2n 4n 1 a2n1 a2n 1 2 则 a2n3 a2n 1 2a2n3 a2n 1 （*） a1 1，a3 1则 a4n 3 a1 1，a4n 1 a3 1a2n 1 1 则 a2n 4n 2 1() 22 (). n n a nn 为奇数 ， 为偶数 （3）b2n b2n 1 0， 212 6 2 nn n bb n N 而 b2n 1 a2n a2n1，b2n a2n1 a2n，b2n 1 a2n 2 a2n 1， a2n1 + a2n1=
9、0,（） 222 6 2 nn n aa n N 当 n 是偶数，则 21321242 ()() nnn Taaaaaa LL 2 2 2 1 3 1) 1 4 04( ) 1 2 1 4 n n n T （ 当 n 是奇数，则 21232142 ()() nnn Taaaaaa LL 1 2 2 31 1( ) 1 24 305( ) 1 2 1 4 n n 综上， 2 2 9( 1)1 ( ) 22 n n n T 探究 5：已知数列,其中16 n an( 1)15 n n bn * nN （1）求满足=的所有正整数 n 的集合； 1n a n b （2）n16,求数列的最大值和最小值； n n a b （3）记数列的前 n 项和为，求所有满足（m16 时，n 取偶数=1+ n n a b 16 15 n n 16 1 n 当 n=18 时（）max=无最小值；n 取奇数时=-1- n n a b 2 3 n n a b 16 1 n n=17 时（）min=-2 无最大值 n n a b (ii)当 n15 时，bn=(-1)n(n-15)，a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (2k-16) 0，其中 a15b15+a16b16=0 S16=S14 m=7， n=8 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？