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1、专题 7.10：椭圆上点的存在性问题的研究与拓展 【探究拓展】 探究 1：已知椭圆（） ，是椭圆的左、右焦点，试问在椭圆上存在几个点，1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 21,F FP 使得？ 21 PFPF 探究 2：已知分别是椭圆的左、右焦点，l 为右准线，若椭圆上存在一点， 12 ,F F 22 22 1(0) xy ab ab P 使是 P 到直线 l 的距离的 3 倍，则离心率的取值范围为 . 1 PF 考虑最大值大于等于 3 答案为：1 , 2-7 变式：已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 (,0),( ,0)FcF c，若椭圆上存
2、在一点P使 1221 sinsin ac PFFPF F ，则该椭圆的离心率的取值范围为_ 1 , 1-2 思考：若将比值形式变为乘积形式，结论如何？1 , 1-2 探究 3：在平面内，已知椭圆的两个焦点为，椭圆的离心率为,点是椭 22 22 1(0) xy ab ab 12 ,F F 3 2 P 圆上任意一点,且. 12 4PFPF （1）求椭圆的标准方程； （2）以椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，这样的等腰直角三角形是否存BABC 在？若存在请说明有几个、并求出直角边所在直线方程？若不存在，请说明理由 解 ： （1）由题意得， 方程为 ： （2） 24 3 2 a c a
3、 2 3 a c 1b 22 1. 41 xy 设的直线方程为设， （不妨设）BA1ykx0k 由得， 22 1 1 41 ykx xy 22 (14)80kxkx 12 2 8 0, 41 k xx k 2 22 88 (,1) 41 41 kk A kk 2 222 222 888 ()()1 414141 kkk ABk kkk 2 2 81 4 k BC k 由得，即，即或ABBC 22 (4)41k kk 2 (1)(31)0kkk1k 35 2 k 所以，存在 3 个等腰直角三角形。 直角边所在直线方程为 3535 1,1,1 22 yxyxyx 变式：已知曲线，直线，为坐标原点.
4、 2 2 :1 y C x a :0l kxykO （1）讨论曲线所表示的轨迹形状； C （2）当，时，求直线 被曲线 C 所截得的弦长；1a2kl （3）若直线与 x 轴的交点为，当时，是否存在这样的以为直角顶点的内接于曲线的等腰lP0a PC 直角三角形？若存在，求出共有几个？若不存在，请说明理由. 解：（1） ， 当时，曲线表示焦点在 x 轴上的双曲线； 2 2 :1 y C x a 0a 当时，曲线表示单位圆；当时，曲线表示焦点在 x 轴上的椭圆；1a 01a 当时，曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆； 1a （2）曲线 C 为单位圆，直线 ：，圆心 O 到直线 的距离为l022 yxl
5、，所以直线 被圆 O:截得弦长为. 5 2 5 200 dl1 22 yx 5 52 5 4 12 故所求弦长为 5 52 （3）由题意知点，设过点的直线与曲线 C 交于另一点，由(1,0)P(1,0)P 1: (1)lyk x(,) AA A xy 2222 22 (1) ()20 yk x akxk xka axya ，； 2 2 A ka x ka 2 2 A ak y ka 同理可求过点的直线与曲线 C 交于另一点(1,0)P 2 1 :(1)lyx k (,) BB B xy ， 2 2 1 1 B k a x k a 2 2 1 B ak y k a 由 22 PAPB 22222
6、 ()(1)kkak a 22 ()(1)k kak a 或 2 (1)(1)10kka k 2 (1)(1)10kkak 当时,存在三个满足条件的等腰直角三角形. 3a 探究 4：三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形已知点 A 是椭圆的一个短 轴端点，如果以 A 为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个，则椭圆的离心率 的取值范围是_.可特殊化，取 b=1 便于计算，求出 a 的取值范围 6 (,1) 3 变式 1：椭圆，过上顶点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 2 2 2 11 x ya a 0,1A,B C 两点，若以为直角顶点的等腰直角三角形有且仅有 1 个，则实数的取
7、值范围AABCa _. 1, 3 拓展：在平面内，已知椭圆的两个焦点为，椭圆的离心率为 ，点是椭 22 22 1(0) xy ab ab 12 ,F F 3 2 P 圆上任意一点， 且. 12 4PFPF （1）求椭圆的标准方程； （2）以椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，这样的等腰直角三角形是否存BABC 在？若存在请说明有几个，并求出直角边所在直线方程？若不存在，请说明理由 变式 2： 椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有 6 个不同的点，使得 22 22 :1(0) xy Cab ab 12 ,F FC P 为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是 12 FF PC 1 11 ( , )( ,1) 3 22 解：当为底边时，则应满足有解，但同时我们注意到 1 PFcPF2 2 ac 2 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？