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1、专题 7. 11：椭圆的极坐标方程相关问题的研究与拓展 【探究拓展】 探究 1：若以为极点，以作为极轴，设为椭圆上的任意一点，请利用椭圆的 1 FxF1),(P1 2 2 2 2 b y a x 第二定义推导以左焦点为极点的椭圆的极坐标方程 变式 1:：请利用椭圆的第二定义推导以右焦点为极点的椭圆的极坐标方程； 变式 2:：若过右焦点的直线 交椭圆于两点，若设点的极角为，写出和；lQP,P 2 PF 2 QF 探究 2：在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为xOyC 22 22 10 xy ab ab 4 ,0Fm （，为常数） ，离心率等于 0.8，过焦点、倾斜角为的直线 交椭圆于、0m mF
2、lCM 两点 （1）求椭圆的标准方程；NC （2）若时，求实数；90 115 2 9MFNF m （3）试问 11 MFNF 的值是否与的大小无关，并证明你的结论 解：（1），椭圆离心率， 4cm 4 5 c e a 5am3bm 椭圆的标准方程为 C 22 22 1 259 xy mm （2）在椭圆方程中，令，解得 22 22 1 xy ab 4xm 9 5 m y 当时，直线 MNx 轴，此时 0 90 9 5 m FMFN ， 解得 1110 9MFNFm 115 2 9MFNF 105 2 99m 2m （3）的值与的大小无关 11 MFNF 证明如下：法一：设点 M、N 到右准线的距
3、离分别为 12 dd、 ， 1 4 5 MF d 2 4 5 NF d 12 115 11 () 4MFNFdd 又由图可知， 2 1 9 cos 4 am MFdc c O x y M N F 即 1 49 ( cos1) 54 m d 1 144 ( cos1) 95dm 同理， 2 14444 cos()1(cos1) 9595dmm = 12 114444 ( cos1)(cos1) 9595ddmm 8 9m 115810 4 99MFNFmm 显然该值与与的大小无关 法二：当直线的斜率不存在时，由（2）知，的值与的大小无关MN 11 MFNF 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代
4、入椭圆方程，得MNMN(4 )yk xm 22 22 1 259 xy mm 设点、， 2223242 (259)20025(169)0km xm k xmk 11 ( ,)M x y 22 (,)N xy 恒成立，0 2 12 2 200 259 mk xx k 22 12 2 25(169) 259 mk xx k ，11 分 1 4 25 5 4 MF m x 2 4 25 5 4 NF m x 1 4 5 5 MFmx 2 4 5 5 NFmx = 12 2 121212 4 10() 1111 5 4416 554 ()25 5525 mxx MFNF mxmxx xm xxm 2
5、2 909010 81819 k mkmm 显然该值与与的大小无关 （优化方法：借助椭圆的第二定义，应用平面几何的相关性质解决）（优化方法：借助椭圆的第二定义，应用平面几何的相关性质解决） 本题结论可进一步推广： （1） 若是经过椭圆焦点的一条弦， 其中分别是直线与椭圆的两个焦点，MN 22 22 10 xy ab ab NM, 则 11 MFNF 定值； a b2 2 （2）若是经过双曲线焦点的一条弦，其中分别是直线与双曲线的两个焦点，则MN1 2 2 2 2 b y a x NM, 11 MFNF 定值； a b2 2 （3）若是经过抛物线（）焦点的一条弦，其中分别是直线与抛物线的两个焦M
6、Npxy2 2 0pNM, 点，则 11 MFNF 定值； p 2 探究 3：如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为，已知和 1( 0)Fc ， 2( 0)F c，(1) e， 都在椭圆上，其中 e 为椭圆的离心率 3 2 e ， （1）求椭圆的离心率； （2）设 A，B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点，且直线 1 AF 与直线平行，与交于点 P 2 BF 2 AF 1 BF （i）若，求直线的斜率； 12 6 2 AFBF 1 AF （ii）求证：是定值 12 PFPF 变式：椭圆的右焦点为，为 24 个依逆时针顺序排列在椭圆上的点
7、，其中是 22 1 94 xy F 1224 ,P PP 1 P 椭圆的右顶点，并且若这 24 个点到右准线的距离的倒数和 122334241 PFPP FPPFPP FP 为，则的值为 . 180S 2 S 拓展 1：某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中是过抛物线焦点且互,AC BDF 相垂直的两条弦，该抛物线的对称轴为，通径长为 4记，为锐角 （通径通径：经过抛物线EFEFA 焦点且垂直于对称轴的弦） （1）用表示的长；AF （2）试建立“蝴蝶形图案”的面积关于的S 函数关系式，并设计的大小，使“蝴蝶形图案” 的面积最小 解：（1）由抛物线的定义知，解得，cos2AFA
8、F 2 1cos AF 0, 2 A B P O 1 F 2 Fx y E BC AD （2）据（1）同理可得， 22 1sin 1cos 2 BF ， 22 1cos 1cos CF 22 31sin 1cos 2 DF 所以“蝴蝶形图案”的面积 ， 即， 122122 2 1cos1sin2 1cos1sin S 22 4 1sincos sincos S 0, 2 令，则，所以当，即时，的最小值为 8 1 sincos t 2 4,2,Sttt2t 4 S 答：当时，可使“蝴蝶形图案”的面积最小 4 拓展 2：已知曲线的参数方程是 ( 为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建 1
9、C sin3 cos2 y x x 立极坐标系，曲线的极坐标方程是.正方形的顶点都在上，且以逆时针次 2 C2ABC D 2 CA、B、C 、D 序排列，点的极坐标为 .A2, 3 （1）求点 的直角坐标；A、B、C 、D （2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.P 1 C 2222 PAPBPCPD 拓展 3：已知椭圆两个焦点，且椭圆与直线相切.)0 , 1 (),0 , 1( 21 FF 3 xy （1）求椭圆的方程； （2）过作两条互相垂直的直线和，与椭圆分别交于及两点，求四边形面积的 1 F 1 l 2 lQP,NM,PMQN 最大值与最小值. 可进一步探究：结论能否作进一步推广？结论
10、如何？ 推广后的结论：； 2 2 22 max 2 1 2 b e pe S 222 42 42 22 min )( 8 44 8 ba ba ee pe S 思考 1：已知点是坐标平面内的一点，且满足到点的距离与其到定直线),(yxP)0 , 1 (2x 的距离之比为，求点的运动轨迹方程？ 2 2 P 此时应用求轨迹方程的一般步骤求解，否则不给分，此处未告知椭圆的中心是否在坐标原点 思考 2：可模仿某年全国高考试题命题：求证四边形面积的最大值只与椭圆的短半轴长有关PMQNb 拓展 4：如图，中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 F（3，0） ，右准线 l 的方程为：x = 12 （1）求椭圆的方程； 1 2736 22 yx （2）在椭圆上任取三个不同点，使，证明 321 ,PPP 133221 FPPFPPFPP 为定值，并求此定值 | 1 | 1 | 1 321 FPFPFP 3 2 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？