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1、O D C B A y x 1 1 1 1 专题 7.20：解析几何中动态问题的研究与拓展 【探究拓展】 探究 1： 在平面直角坐标系中， 已知,若三点按顺时针方向排列构成等边三角形xOy)3 , 4(),0 , 0(BACBA, ,且直线与轴交于点ABCBCxD （1）求的值；（2）求点的坐标CADcosC 本题本题 2 问也可以利用矩阵变换的方法完成问也可以利用矩阵变换的方法完成 探究 2：已知圆 O：，O 为坐标原点 22 1xy （1）边长为的正方形 ABCD 的顶点 A、B 均在圆 O 上，C、D 在2 圆 O 外，当点 A 在圆 O 上运动时，C 点的轨迹为 E 求轨迹 E 的方程
2、； 过轨迹 E 上一定点作相互垂直的两条直线， 并且使 00 (,)P xy 12 ,ll 它们分别与圆 O、轨迹 E 相交，设被圆 O 截得的弦长为，设被 1 la 2 l 轨迹 E 截得的弦长为，求的最大值bab （2）正方形 ABCD 的一边 AB 为圆 O 的一条弦，求线段 OC 长度的最值 【分析】 （1）解决与圆的方程有关的问题时，数形结合是常用的方法，结合圆所具有的平面几何性质可 以使解题过程简化由边长为的正方形 ABCD 可知，是等腰直角三角形.在中，已知 OB、2OABOBC BC 及，由余弦定理可求得 OC 是定长；OAB （1）直接求出弦长、，利用基本不等式求得结果；ab
3、 （2）对正方形 ABCD 位置的讨论，即分 A、B、C、D 按顺时针方向和逆时针方向的讨论. 【解答】 （1）连结 OB，OA，因为 OA=OB=1，AB=，所以，2 222 ABOBOA 所以，所以，在中， 4 OBA 3 4 OBC OBC52 222 BCOBBCOBOC 所以轨迹 E 是以 O 为圆心，为半径的圆，所以轨迹 E 的方程为； 55 22 yx 设点 O 到直线的距离分别为，因为，所以， 则 12 ll， 12 dd， 21 ll 22222 1200 5ddOPxy ， 2 2 2 1 5212ddba 则4 2 2222 1212 ()4 6(2 (1)(5)abdd
4、)dd 22 22 12 12 6 62 2 dd (dd) =， 当 且 仅 当 22 12 4122()dd=4(1210)8 ，即时取“=”， 22 12 22 12 5, 15, dd dd 2 2 2 1 9 , 2 1 , 2 d d 所以的最大值为； ba 2 2 （2）设正方形边长为 a，则，OBAcos 2 a 0, 2 当 A、B、C、D 按顺时针方向时，如图所示，在中，OBC ， 22 12 cos 2 aaOC 即 2 (2cos )12 2cossinOC 2 4cos12sin2 ，2cos22sin232 2sin 23 4 由，此时； 2, 444 (1,21O
5、C 当 A、B、C、D 按逆时针方向时，在中，OBC 22 12 cos 2 aaOC 即 2 (2cos )12 2cossinOC 2 4cos12sin2 ，2cos22sin232 2sin 23 4 由，此时， 2, 444 21,5)OC 综上所述，线段 OC 长度的最小值为，最大值为2121 【反思】1、通过几何图形的特点，用几何法求圆的方程也是一个有效途径； 2、 （1）还可以根据直线、与圆的位置关系，将 a、b 转化到圆 O 弦、弦心距、半径之间的关系来处 1 l 2 l 理 x O D B A 1 1 1 1 C y x O D B A 1 1 1 1 C y 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？