海南--古典概型（赵亮）.pdf

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1、古典概型古典概型 琼海市嘉积中学 赵亮 课题课题古典概型古典概型 项目项目内内 容容理论依据或意图理论依据或意图 教 材 地 位 及 作 用 教 材 地 位 及 作 用 本节课是高中数学 3（必修）第三章概率的第二节古 典概型的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型 之前，尚未学习排列组合的情况下教学的。古典概型是一 种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率 论中占有相当重要的地位。 学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础， 同时 有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有 利于解释生活中的一些问题。 教 学 重 点 教 学 重 点 理解古典概型的概念及利用古典概型求解

2、随机事件 的概率。 根据本节课的地位和作 用以及新课程标准的具体要 求，制订教学重点。 教 学 难 点 教 学 难 点 如何判断一个试验是否是古典概型， 分清在一个古典 概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本 事件的总数。 根据本节课的内容， 即尚 未学习排列组合， 以及学生的 心理特点和认知水平， 制定了 教学难点。 教教 材材 分分 析析 教教 学学 目目 标标 1知识与技能知识与技能 (1)理解古典概型及其概率计算公式， (2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事 件发生的概率。 2过程与方法过程与方法 根据本节课的内容和学生的实际水平， 通过模拟试验 让学生理解古典

3、概型的特征：试验结果的有限性和每一个 试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，归纳总结 出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌 握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率 的计算问题。 3情感态度与价值观情感态度与价值观 概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率 的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边 的一些随机现象。适当地增加学生合作学习交流的机会， 尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的 实例。使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作 的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍 的求学精神。 根据新课程标准， 并结合 学生心理发展的

4、需求， 以及人 格、情感、价值观的具体要求 制订而成。 这对激发学生学好 数学概念，养成数学习惯，感 受数学思想， 提高数学能力起 到了积极的作用。 项项 目目内内 容容师生活动师生活动理论依据或意图理论依据或意图 一一 提 出 问 题 引 入 新 课 提 出 问 题 引 入 新 课 在课前，教师布置任务，以数学小组为单位， 完成下面两个模拟试验： 试验一：试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币，分别记 录“正面朝上”和“反面朝上”的次数，要求每 个数学小组至少完成 20 次（最好是整十数） ，最 后由科代表汇总； 试验二：试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子，分别记 录“1 点” 、 “2 点” 、 “3

5、 点” 、 “4 点” 、 “5 点”和“6 点” 的次数， 要求每个数学小组至少完成 60 次 （最 好是整十数） ，最后由科代表汇总。 在课上，学生展示模拟试验的操作方法和试 验结果，并与同学交流活动感受。 教师最后汇总方法、结果和感受，并提出问 题？ 1 用模拟试验的方法来求某一随机事件的概 率好不好？为什么？ 不好，要求出某一随机事件的概率，需要进 行大量的试验，并且求出来的结果是频率，而不 是概率。 2根据以前的学习，上述两个模拟试验的每 个结果之间都有什么特点？ 学 生 展 示 模 拟 试 验 的 操 作 方 法 和 试 验 结果， 并与 同 学 交 流 活动感受， 教 师 最 后

6、 汇总方法、 结 果 和 感 受， 并提出 问题。 通过课前的模拟实验的 展示，让学生感受与他 人合作的重要性，培养 学生运用数学语言的能 力。随着新问题的提出， 激发了学生的求知欲 望，通过观察对比，培 养了学生发现问题的能 力。 教教 学学 过过 程程 分分 析析 二二 思思 考考 交交 流流 形形 成成 概概 念念 在试验一中随机事件只有两个，即“正面朝 上”和“反面朝上” ，并且他们都是互斥的，由于 硬币质地是均匀的，因此出现两种随机事件的可 能性相等，即它们的概率都是； 1 2 在试验二中随机事件有六个，即“1 点” 、 “2 点” 、 “3 点” 、 “4 点” 、 “5 点”和“

7、6 点” ，并且他 们都是互斥的，由于骰子质地是均匀的，因此出 现六种随机事件的可能性相等，即它们的概率都 是。 1 6 我们把上述试验中的随机事件称为基本事 件 基本事 件，它是试验的每一个可能结果。 基本事件有如下的两个特点： （1）任何两个基本事件是互斥的；）任何两个基本事件是互斥的； （2）任何事件（除不可能事件）都可以表示 成基本事件的和。 ）任何事件（除不可能事件）都可以表示 成基本事件的和。 特点（2）的理解：在试验一中，必然事件由 基本事件“正面朝上”和“反面朝上”组成；在 试验二中，随机事件“出现偶数点”可以由基本 事件“2 点” 、 “4 点”和“6 点”共同组成。 学 生

8、 观 察 对 比 得 出 两 个 模 拟 试 验 的 相 同 点 和 不 同点， 教师 给 出 基 本 事 件 的 概 念， 并对相 关 特 点 加 以说明， 加 深 新 概 念 的理解。 让学生从问题的相同点 和不同点中找出研究对 象的对立统一面，这能 培养学生分析问题的能 力，同时也教会学生运 用对立统一的辩证唯物 主义观点来分析问题的 一种方法。 教师的注解可以使学生 更好的把握问题的关 键。 项项 目目内内 容容师生活动师生活动理论依据或意图理论依据或意图 教教 学学 过过 程程 分分 析析 二二 思思 考考 交交 流流 形形 成成 概概 念念 例例 1 从字母中任意取出两个不同字母的

9、, , ,a b c d 试验中，有哪些基本事件？ 分析：分析：为了解基本事件，我们可以按照字典排序 的顺序，把所有可能的结果都列出来。利用树状 图可以将它们之间的关系列出来。 我们一般用列举法列出所有基本事件的结 果，画树状图是列举法的基本方法，一般分布完 成的结果(两步以上)可以用树状图进行列举。 （树状图） a b c d a b c d b c d b c d cdcd 解：解：所求的基本事件共有 6 个： ， , Aa b , Ba c , Ca d ， , Db c , Eb d , Fc d 观察对比观察对比，发现两个模拟试验和例 1 的共同特点 ： 试验一试验一中所有可能出现的

10、基本事件有“正面 朝上”和“反面朝上”2 个，并且每个基本事件出 现的可能性相等，都是； 1 2 试验二试验二中所有可能出现的基本事件有“1 点” 、 “2 点” 、 “3 点” 、 “4 点” 、 “5 点”和“6 点”6 个， 并且每个基本事件出现的可能性相等，都是； 1 6 例例 1 中所有可能出现的基本事件有 “A” 、“B” 、 “C” 、 “D” 、 “E”和“F”6 个，并且每个基本事 件出现的可能性相等，都是； 1 6 经概括总结后得到经概括总结后得到： （1） 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 ； （有限性） （2）每个基本事件出现的可能性相等。 （等可能 性） 我们将

11、具有这两个特点的概率模型称为古典概率 概型 古典概率 概型，简称古典概型古典概型。 思考交流：思考交流： （1）向一个圆面内随机地投射一个点，如果 该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这 是古典概型吗?为什么？ 先 让 学 生 尝 试 着 列 出 所 有 的 基本事件， 教 师 再 讲 解 用 树 状 图 列 举 问 题的优点。 让 学 生 先 观察对比， 找 出 两 个 模 拟 试 验 和 例 1 的 共同特点， 再 概 括 总 结 得 到 的 结论， 教师 最 后 补 充 说明。 学 生 互 相 交流， 回答 补充， 教师 归纳。 将数形结合和分类讨论 的思想渗透到具体问题 中来。由于

12、没有学习排 列组合，因此用列举法 列举基本事件的个数， 不仅能让学生直观的感 受到对象的总数，而且 还能使学生在列举的时 候作到不重不漏。解决 了求古典概型中基本事 件总数这一难点。 培养运用从具体到抽 象、从特殊到一般的辩 证唯物主义观点分析问 题的能力，充分体现了 数学的化归思想。启发 诱导的同时，训练了学 生观察和概括归纳的能 力。通过用表格列出相 同和不同点，能让学生 很好的理解古典概型。 从而突出了古典概型这 一重点。 两个问题的设计是为了 让学生更加准确的把握 古典概型的两个特点。 突破了如何判断一个试 验是否是古典概型这一 教学难点。 项项 目目内内 容容师生活动师生活动理论依据

13、或意图理论依据或意图 思 考 交 流 形 成 概 念 思 考 交 流 形 成 概 念 答：不是古典概型，因为试验的所有可能结 果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是 无限的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相 同” ，但这个试验不满足古典概型的第一个条件。 （2） 如图， 某同学随机地向一靶心进行射击， 这一试验的结果只有有限个：命中 10 环、命中 9 环命中 5 环和不中环。你认为这是古典概型 吗？为什么？ 答：不是古典概型，因为试验的所有可能结果只 有 7 个，而命中 10 环、命中 9 环命中 5 环和 不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型 的第二个条件。 教教 学学 过过

14、程程 分分 析析 三三 观观 察察 分分 析析 推推 导导 方方 程程 问题思考：问题思考：在古典概型下，基本事件出现的概率 是多少？随机事件出现的概率如何计算？ 分析：分析： 实验一实验一中，出现正面朝上的概率与反面朝上的概 率相等，即 P（“正面朝上” ）P（“反面朝上” ） 由概率的加法公式，得 P（“正面朝上” ） P（“反面朝上” ） P（必然 事件）1 因此 P（“正面朝上” ） P（“反面朝上” ） 1 2 即即 1 2 P “ 出现正面朝上” 所包含的基本事件的个数 （“ 出现正面朝上” ) 基本事件的总数 试验二试验二中，出现各个点的概率相等，即 P（“1 点” ）P（“2

15、点” ）P（“3 点” ） P（“4 点” ）P（“5 点” ）P（“6 点” ） 反复利用概率的加法公式，我们有 P（“1 点” ）P（“2 点” ）P（“3 点” ）P （“4 点” ） P（“5 点” ） P（“6 点” ） P（必 然事件）1 所以 P（“1 点” ）P（“2 点” ）P（“3 点” ） P（“4 点” ）P（“5 点” ）P（“6 点” ） 1 6 进一步地，利用加法公式还可以计算这个试验中 任何一个事件的概率，例如， P（“出现偶数点” ） P（“2 点” ） P（“4 点” ） P（“6 点” ） 1 6 1 6 1 6 3 6 1 2 即即 3 6 P “ 出现

16、偶数点” 所包含的基本事件的个数 （“ 出现偶数点” ） 基本事件的总数 根据上述两则模拟试验，可以概括总结出，古典 概型计算任何事件的概率计算公式为： 根据上述两则模拟试验，可以概括总结出，古典 概型计算任何事件的概率计算公式为： 教 师 提 出 问题， 引导 学 生 类 比 分 析 两 个 模 拟 试 验 和 例 1 的 概率， 先通 过 用 概 率 加 法 公 式 求 出 随 机 事 件 的 概 率， 再对比 概率结果， 发 现 其 中 的联系。 鼓励学生运用观察类比 和从具体到抽象、从特 殊到一般的辩证唯物主 义方法来分析问题，同 时让学生感受数学化归 思想的优越性和这一做 法的合理性

17、，突出了古 典概型的概率计算公式 这一重点。 A AP 所包含的基本事件的个数 （ ） 基本事件的总数 项项 目目内内 容容师生活动师生活动理论依据或意图理论依据或意图 教教 学学 过过 程程 分分 析析 三三 观观 察察 分分 析析 推推 导导 方方 程程 提问提问： （1）在例 1 的实验中，出现字母“d”的概率是 多少？ 出现字母“d”的概率为： d31 d 62 P “ 出现字母 ” 所包含的基本事件的个数 （“ 出现字母 ” ) 基本事件的总数 提问提问： （2）在使用古典概型的概率公式时，应该注意什 么? 归纳归纳： 在使用古典概型的概率公式时，应该注意： （1）要判断该概率模型是

18、不是古典概型； （2） 要找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和 试验中基本事件的总数。 除了画树状图，还有什么方法求基本事件的 个数呢？ 教师提问， 学生回答， 加 深 对 古 典 概 型 的 概 率 计 算 公 式 的 理 解。 深化对古典概型的概率 计算公式的理解，也抓 住了解决古典概型的概 率计算的关键。 四四 例例 题题 分分 析析 推推 广广 应应 用用 例例 2 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是 从 A，B，C，D 四个选项中选择一个正确答案。 如果考生掌握了考差的内容，他可以选择唯一正 确的答案。假设考生不会做，他随机的选择一个 答案，问他答对的概率是多少？ 分析：分析

19、： 解决这个问题的关键，即讨论这个问题什么情况 下可以看成古典概型。如果考生掌握或者掌握了 部分考察内容，这都不满足古典概型的第 2 个条 件等可能性，因此，只有在假定考生不会做， 随机地选择了一个答案的情况下，才可以化为古 典概型。 解：解： 这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有 4 个：选择 A、选择 B、选择 C、选择 D，即基本 事件共有 4 个，考生随机地选择一个答案是选择 A，B，C，D 的可能性是相等的。从而由古典概 型的概率计算公式得： 1 0.25 4 P “ 答对” 所包含的基本事件的个数 （“ 答对” ） 基本事件的总数 课后思考：课后思考： (1)在标准化考试中既有

20、单选题又有多选题， 多选题是从 A，B，C，D 四个选项中选出所有正 确的答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道 正确答案，多选题更难猜对，这是为什么？ (2)假设有 20 道单选题， 如果有一个考生答对 了 17 道题，他是随机选择的可能性大，还是他掌 握了一定知识的可能性大？ 学 生 先 思 考再回答， 教 师 对 学 生 没 有 注 意 到 的 关 键 点 加 以 说明。 让学生明确决概率的计 算问题的关键是：先要 判断该概率模型是不是 古典概型，再要找出随 机事件 A 包含的基本事 件的个数和试验中基本 事件的总数。 巩固学生对已学知识的 掌握。 项项 目目内内 容容师生活动师生活动理

21、论依据或意图理论依据或意图 教教 学学 过过 程程 分分 四四 例例 题题 分分 析析 推推 广广 应应 例例 3 同时掷两个骰子，计算： （1）一共有多少种不同的结果？ （2） 其中向上的点数之和是 5 的结果有多少种？ （3）向上的点数之和是 5 的概率是多少？ 解：解：（1）掷一个骰子的结果有 6 种，我们把两个 骰子标上记号 1，2 以便区分，由于 1 号骰子的结 果都可以与 2 号骰子的任意一个结果配对，我们 用一个“有序实数对”来表示组成同时掷两个骰 子的一个结果（如表） ，其中第一个数表示 1 号骰 子的结果，第二个数表示 2 号骰子的结果。 （可由 列表法得到） 先 给 出 问

22、 题， 再让学 生完成， 然 后 引 导 学 生 分 析 问 题， 发现解 答 中 存 在 的问题。 引 导 学 生 用 列 表 来 列 举 试 验 中 的 基 本 事 件 的 总 数。 利用列表数形结合和分 类讨论，既能形象直观 地列出基本事件的总 数，又能做到列举的不 重不漏。深化巩固对古 典概型及其概率计算公 式的理解，和用列举法 来计算一些随机事件所 含基本事件的个数及事 件发生的概率。 培养学生运用数形结合 的思想，提高发现问题、 分析问题、解决问题的 能力，增强学生数学思 维情趣，形成学习数学 知识的积极态度。 用用 （6，6）（6，5）（6，4）（6，3）（6，2）（6，1）6

23、（5，6）（5，5）（5，4）（5，3）（5，2）（5，1）5 （4，6）（4，5）（4，4）（4，3）（4，2）（4，1）4 （3，6）（3，5）（3，4）（3，3）（3，2）（3，1）3 （2，6）（2，5）（2，4）（2，3）（2，2）（2，1）2 （1，6）（1，5）（1，4）（1，3）（1，2）（1，1）1 654321 1号号骰骰子子 2号号骰骰子子 （6，6）（6，5）（6，4）（6，3）（6，2）（6，1）6 （5，6）（5，5）（5，4）（5，3）（5，2）（5，1）5 （4，6）（4，5）（4，4）（4，3）（4，2）（4，1）4 （3，6）（3，5）（3，4）（3，3）（

24、3，2）（3，1）3 （2，6）（2，5）（2，4）（2，3）（2，2）（2，1）2 （1，6）（1，5）（1，4）（1，3）（1，2）（1，1）1 654321 1号号骰骰子子 2号号骰骰子子 （6，6）（6，5）（6，4）（6，3）（6，2）（6，1）6 （5，6）（5，5）（5，4）（5，3）（5，2）（5，1）5 （4，6）（4，5）（4，4）（4，3）（4，2）（4，1）4 （3，6）（3，5）（3，4）（3，3）（3，2）（3，1）3 （2，6）（2，5）（2，4）（2，3）（2，2）（2，1）2 （1，6）（1，5）（1，4）（1，3）（1，2）（1，1）1 654321 1号号

25、骰骰子子 2号号骰骰子子 由表中可知同时掷两个骰子的结果共有 36 种。 （2）在上面的结果中，向上的点数之和为 5 的结 果有 4 种，分别为： （1，4） ， （2，3） ， （3，2） ， （4，1） （3）由于所有 36 种结果是等可能的，其中向上 点数之和为 5 的结果 （记为事件 A） 有 4 种， 因此， 由古典概型的概率计算公式可得 A41 A 369 P 所包含的基本事件的个数 （ ） 基本事件的总数 析析 五五 探探 究究 思思 考考 巩巩 固固 深深 化化 问题思考：问题思考：为什么要把两个骰子标上记号？如果 不标记号会出现什么情况？你能解释其中的原因 吗？ 如果不标上记

26、号，类似于（1，2）和（2，1）的 结果将没有区别。这时，所有可能的结果将是： （1， 1）（1， 2）（1， 3）（1， 4）（1， 5）（1， 6）（2， 2）（2， 3） （2， 4）（2， 5）（2， 6）（3， 3）（3， 4）（3， 5）（3， 6）（4， 4） （4，5） （4，6） （5，5） （5，6） （6，6）共有 21 种， 和是 5 的结果有 2 个，它们是（1，4） （2，3） ， 所求的概率为 A2 A 21 P 所包含的基本事件的个数 （ ） 基本事件的总数 这就需要我们考察两种解法是否满足古典概型的 要求了。 可以通过展示两个不同的骰子所抛掷出来的 点，感受第

27、二种方法构造的基本事件不是等可能 事件，另外还可以利用 Excel 展示第二种方法中 构造的 21 个基本事件不是等可能事件。 从而加深 印象，巩固知识。 要 求 学 生 观 察 对 比 两种结果， 找 出 问 题 产 生 的 原 因。 通过观察对比，发现两 种结果不同的根本原因 是研究的问题是否 满足古典概型，从而再 次突出了古典概型这一 教学重点，体现了学生 的主体地位，逐渐养成 自主探究能力。 项项 目目内内 容容师生活动师生活动理论依据或意图理论依据或意图 六六 总总 结结 概概 括括 加加 深深 理 解 理 解 1我们将具有 （1） 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 ； （有限

28、性） （2）每个基本事件出现的可能性相等。 （等可能 性） 这样两个特点的概率模型称为古典概率概型古典概率概型，简 称古典概型古典概型。 2古典概型计算任何事件的概率计算公式古典概型计算任何事件的概率计算公式 A AP 所包含的基本事件的个数 （ ） 基本事件的总数 3 求某个随机事件 A 包含的基本事件的个数和实 验中基本事件的总数的常用方法是列举法（画树 状图和列表） ，应做到不重不漏。 学 生 小 结 归纳， 不足 的 地 方 老 师 补 充 说 明。 使学生对本节课的 知识有一个系统全面的 认识，并把学过的相关 知识有机地串联起来， 便于记忆和应用，也进 一步升华了这节课所要 表达的本

29、质思想，让学 生的认知更上一层。 七七 布布 置置 作作 业业 P123 练习 1、2 题 学 生 课 后 自主完成。 进一步让学生掌握古典 概型及其概率公式，并 能够学以致用，加深对 本节课的理解。 教教 学学 过过 程程 分分 析析 八八 板板 书书 设设 计计 3.2.1 古典概型 试验一 试验二 基本事件 例1 古典概型 树状图 古典概型概率 计算公式 例2 例3 列表 3.2.1 古典概型 试验一 试验二 基本事件 例1 古典概型 树状图 古典概型概率 计算公式 例2 例3 列表 教教 法法 分分 析析 根据本节课的特点，采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法，通过提出问题、 思考问

30、题、解决问题等教学过程，观察对比、概括归纳古典概型的概念及其概率公式， 再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每 一个学生充分地参与到学习活动中来。 教教 法法 与与 学学 法法 分分 析析 学学 法法 分分 析析 学生在教师创设的问题情景中，通过观察、类比、思考、探究、概括、归纳和动手 尝试相结合，体现了学生的主体地位，培养了学生由具体到抽象，由特殊到一般的数学 思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。 评评 价价 分分 析析 评评 价价 设设 计计 本节课的教学通过提出问题，引导学生发现问题，经历思考交流概括归纳后得出古 典概型的概念，由两个问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解；再通过学 生观察类比推导出古典概型的概率计算公式。这一过程能够培养学生发现问题、分析问 题、解决问题的能力。 在解决概率的计算上，教师鼓励学生尝试列表和画出树状图，让学生感受求基本事 件个数的一般方法，从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑。整个教 学设计的顺利实施，达到了教师的教学目标。