第3讲 分类讨论思想.pdf

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1、第 3 讲 分类讨论思想第 3 讲 分类讨论思想 1分类讨论思想是一种重要的数学思想方法其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解 (或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对 问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合 性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度 2分类讨论的常见类型 (1)由数学概念引起的分类讨论有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、 对数函数等 (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论有的数学定理、公式、性质是分类给出的， 在不同的条件下结论不一致，如等比数列的

2、前 n 项和公式、函数的单调性等 (3)由数学运算要求引起的分类讨论如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数 与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定 义域等 (4)由图形的不确定性引起的分类讨论有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象 限；点、线、面的位置关系等 (5)由参数的变化引起的分类讨论某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参 数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法 (6)由实际意义引起的讨论此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时 常用 3分类讨论的原则 (1)不重

3、不漏 (2)标准要统一，层次要分明 (3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论 4解分类问题的步骤 (1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论 (2)对所讨论的对象进行合理的分类 (3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决 (4)归纳总结，将各类情况总结归纳. 热点一 由数学概念、性质、运算引起的分类讨论 例 1 (1)(2014浙江)设函数 f(x)Error!若 f(f(a)2，则实数 a 的取值范围是_ (2)在等比数列an中，已知 a3 ，S3 ，则 a1_. 3 2 9 2 答案 (1)a (2) 或 62 3 2 解析 (1)f(x)的图象如图，由图象

4、知，满足 f(f(a)2 时，得 f(a)2，而满足 f(a)2 时， 得 a . 2 (2)当 q1 时，a1a2a3 ， 3 2 S33a1 ，显然成立； 9 2 当 q1 时，由题意，得Error! 所以Error! 由，得3，即 2q2q10， 1qq2 q2 所以 q 或 q1(舍去) 1 2 当 q 时，a16.综上可知，a1 或 a16. 1 2 a3 q2 3 2 思维升华 (1)由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵与外延，合理进行分类；(2)运算 引起的分类讨论有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底 数的要求， 指数运算中底数的要求， 不等式两

5、边同乘以一个正数、 负数， 三角函数的定义域等 (1)已知函数 f(x)Error!满足 f(a)3，则 f(a5)的值为( ) Alog23 B. C. D1 17 16 3 2 (2)已知数列an的前 n 项和 Snpn1(p 是常数)，则数列an是( ) A等差数列 B等比数列 C等差数列或等比数列 D以上都不对 答案 (1)C (2)D 解析 (1)分两种情况分析，Error!或者Error!， 无解， 由得， a7， 所以f(a5)2231 ，故选 C. 3 2 (2)Snpn1， a1p1，anSnSn1(p1)pn1(n2)， 当 p1 且 p0 时，an是等比数列； 当 p1

6、时，an是等差数列； 当 p0 时，a11，an0(n2)，此时an既不是等差数列也不是等比数列 热点二 由图形位置或形状引起的讨论 例 2 (1)不等式组Error!表示的平面区域内有_个整点(把横、 纵坐标都是整数的点称 为整点) (2)设圆锥曲线 T 的两个焦点分别为 F1，F2，若曲线 T 上存在点 P 满足|PF1|F1F2|PF2| 432，则曲线 T 的离心率为_ 答案 (1)20 (2) 或 1 2 3 2 解析 (1)画出不等式组表示的平面区域(如图) 结合图中的可行域可知 x ，2，y2,5 3 2 由图形及不等式组，知 Error! 当 x1 时，1y2，有 2 个整点；

7、 当 x0 时，0y3，有 4 个整点； 当 x1 时，1y4，有 6 个整点； 当 x2 时，2y5，有 8 个整点； 所以平面区域内的整点共有 246820(个) (2)不妨设|PF1|4t， |F1F2|3t， |PF2|2t， 若该圆锥曲线为椭圆， 则有|PF1|PF2|6t2a， |F1F2| 3t2c，e ；若该圆锥曲线是双曲线，则有|PF1|PF2|2t2a， c a 2c 2a 3t 6t 1 2 |F1F2|3t2c，e . c a 2c 2a 3t 2t 3 2 所以圆锥曲线 T 的离心率为 或 . 1 2 3 2 思维升华 求解有关几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化

8、的不确定性，所以需要根 据图形的特征进行分类讨论 一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区 间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置 变化或由离心率引起的形状变化 (1)已知变量 x，y 满足的不等式组Error!表示的是一个直角三角形围成的平面区 域，则实数 k 等于( ) A B. 1 2 1 2 C0 D 或 0 1 2 (2)设 F1，F2为椭圆 1 的两个焦点，P 为椭圆上一点已知 P，F1，F2是一个直角三 x2 9 y2 4 角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，则的值为_ |PF1| |PF2| 答

9、案 (1)D (2)2 或7 2 解析 (1)不等式组Error!表示的可行域如图(阴影部分)所示， 由图可知若不等式组Error!表示 的平面区域是直角三角形，只有直线 ykx1 与直线 x0 垂直(如图)或直线 ykx1 与 直线 y2x 垂直(如图)时，平面区域才是直角三角形 由图形可知斜率 k 的值为 0 或 . 1 2 (2)若PF2F190， 则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2， |PF1|PF2|6，|F1F2|2，5 解得|PF1|，|PF2| ， . 14 3 4 3 |PF1| |PF2| 7 2 若F2PF190， 则|F1F2|2|PF1|2|PF2|2 |PF1

10、|2(6|PF1|)2， 解得|PF1|4，|PF2|2， 2.综上所述，2 或 . |PF1| |PF2| |PF1| |PF2| 7 2 热点三 由参数引起的分类讨论 例 3 (2014四川改编)已知函数 f(x)exax2bx1，其中 a，bR，e2.718 28为自然 对数的底数 设 g(x)是函数 f(x)的导函数，求函数 g(x)在区间0,1上的最小值 解 由 f(x)exax2bx1， 有 g(x)f(x)ex2axb. 所以 g(x)ex2a. 因此，当 x0,1时，g(x)12a，e2a 当 a 时，g(x)0， 1 2 所以 g(x)在0,1上单调递增， 因此 g(x)在0

11、,1上的最小值是 g(0)1b； 当 a 时，g(x)0，所以 g(x)在0,1上单调递减， e 2 因此 g(x)在0,1上的最小值是 g(1)e2ab； 当 1)， ax x1 所以 f(x). 1 x1 ax1ax x12 x1a x12 当 a0 时，因为 x1，所以 f(x)0， 故 f(x)在(1，)上单调递增 当 a1a， 故 f(x)在(1a，)上单调递增 综上，当 a0 时，函数 f(x)在(1，)上单调递增； 当 a1 和 01 的讨论；等比数列中分公比 q1 和 q1 的讨论 (4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论 (5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等

12、条件是否满足的讨论 (6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论； (7)平面解析几何：直线点斜式中 k 分存在和不存在，直线截距式中分 b0 和 b0 的讨论； 轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论 (8)排列、组合、概率中的分类计数问题 (9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等 真题感悟 1(2014课标全国)钝角三角形 ABC 的面积是 ，AB1，BC，则 AC 等于( ) 1 2 2 A5 B. 5 C2 D1 答案 B 解析 SABC ABBCsin B 1sin B ， 1 2 1 2 2 1 2 sin B，B 或. 2 2 4 3 4 当 B时，根据余弦定理有 A

13、C2AB2BC22ABBCcos B1225，所以 AC， 3 4 5 此时ABC 为钝角三角形，符合题意； 当 B 时，根据余弦定理有 AC2AB2BC22ABBCcos B1221，所以 AC1，此 4 时 AB2AC2BC2，ABC 为直角三角形，不符合题意故 AC . 5 2(2013安徽)“a0”是“函数 f(x)|(ax1)x|在区间(0，)内单调递增”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 C 解析 当 a0 时，f(x)|(ax1)x|x|在区间(0，)上单调递增； 当 a0 时，结合函数 f(x)|(ax1)x|ax2x|的

14、图象知函数在(0，)上先增后减再增，不 符合条件，如图(2)所示 所以，要使函数 f(x)|(ax1)x|在(0，)上单调递增只需 a0. 即“a0”是“函数 f(x)|(ax1)x|在区间(0，)内单调递增”的充要条件 3(2014广东)设集合 A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1,0,1，i1,2,3,4,5，那么集合 A 中 满足条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素个数为( ) A60 B90 C120 D130 答案 D 解析 在 x1， x2， x3， x4， x5这五个数中， 因为 xi1,0,1， i1,2,3,4,5， 所以满足条件 1|x1| |x2|x3

15、|x4|x5|3 的可能情况有 “一个 1(或1)， 四个 0， 有 C 2 种 ； 两个 1(或1)， 1 5 三个 0，有 C 2 种 ； 一个1，一个 1，三个 0，有 A 种 ； 两个 1(或1)，一个1(或 1)， 2 52 5 两个 0， 有 C C 2 种 ； 三个 1(或1)， 两个 0， 有 C 2 种 故共有 C 2C 2A C 2 51 33 51 52 52 5 C 2C 2130(种)，故选 D. 2 51 33 5 押题精练 1已知函数 f(x)Error!为 R 上的单调函数，则实数 a 的取值范围是( ) A(0，) B2,0) C1,0) D1，) 答案 C

16、解析 若 a0，则 f(x)在定义域的两个区间内都是常函数，不具备单调性；若 a0，函数 f(x) 在两段上都是单调递增的，要使函数在 R 上单调递增，只要(a2)e01，即 a1，与 a0 矛盾，此时无解若20)的焦点为 F，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若OPF 为等腰三角 形，则这样的点 P 的个数为( ) A2 B3 C4 D6 答案 C 解析 当|PO|PF|时，点 P 在线段 OF 的中垂线上，此时，点 P 的位置有两个 ； 当|OP|OF| 时，点 P 的位置也有两个 ； 对|FO|FP|的情形，点 P 不存在事实上，F(p,0)，若设 P(x，y)， 则|FO|p，|FP|

17、，若p，则有 x22pxy20，又y24px，x22pxxp2y2xp2y2 0，解得 x0 或 x2p，当 x0 时，不构成三角形当 x2p(p0)时，与点 P 在抛物线 上矛盾所以符合要求的点 P 一共有 4 个 46 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交 换的两位同学互赠一份纪念品 已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换， 则收到 4 份纪念品的 同学人数为( ) A1 或 3 B1 或 4 C2 或 3 D2 或 4 答案 D 解析 设 6 位同学分别用 a，b，c，d，e，f 表示 若任意两位同学之间都进行交换共进行 15 次交换，现共进行

18、了 13 次交换，说明有两次交换 没有发生，此时可能有两种情况： (1)由 3 人构成的 2 次交换， 如 ab 和 ac 之间的交换没有发生， 则收到 4 份纪念品的有 b， c 两人 (2)由4人构成的2次交换， 如ab和ce之间的交换没有发生， 则收到4份纪念品的有a， b， c， e 四人故选 D. 5已知等差数列an的前 3 项和为 6，前 8 项和为4. (1)求数列an的通项公式； (2)设 bn(4an)qn1 (q0，nN*)，求数列bn的前 n 项和 Sn. 解 (1)设数列an的公差为 d， 由已知，得Error!解得Error! 故 an3(n1)4n. (2)由(1)

19、可得 bnnqn1， 于是 Sn1q02q13q2nqn1. 若 q1，将上式两边同乘 q，得 qSn1q12q2(n1)qn1nqn. 两式相减，得(q1)Snnqn1q1q2qn1 nqn. qn1 q1 nqn1n1qn1 q1 于是，Sn. nqn1n1qn1 q12 若 q1，则 Sn123n. nn1 2 综上，SnError! 6已知函数 f(x)(a1)ln xax21，试讨论函数 f(x)的单调性 解 由题意知 f(x)的定义域为(0，)， f(x)2ax. a1 x 2ax2a1 x 当 a0 时，f(x)0，故 f(x)在(0，)上单调递增 当 a1 时，f(x)0； ( 0， a1 2a ) 当 x时，f(x)0. ( a1 2a ， ) 故 f(x)在上单调递增， ( 0， a1 2a ) 在上单调递减 ( a1 2a ， ) 综上，当 a0 时，f(x)在(0，)上单调递增； 当 a1 时，f(x)在(0，)上单调递减； 当1a0 时，f(x)在上单调递增， ( 0， a1 2a ) 在上单调递减 ( a1 2a ， )