《第四讲 不等式的解法.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四讲 不等式的解法.pdf（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第四讲第四讲 不不 等等 式式 初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法高中阶段将进一步学习一 元二次不等式和分式不等式等知识本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识 一、一元二次不等式及其解法一、一元二次不等式及其解法 1形如的不等式称为关于的一元二次不等式 2 0(0) (0)axbxca中中 中x 【例【例 1】解不等式 2 60xx 分析 ：分析 ： 不等式左边可以因式分解，根据“符号法则 - 正正(负负)得正、正负得负”的原则， 将其转化为一元一次不等式组 解：解：原不等式可以化为：，(3)(2)0xx 于是：或 30 20 x x 30 20 x x 33 3
2、2 22 xx xx xx 中中 所以，原不等式的解是32xx 中 说明：说明：当把一元二次不等式化为的形式后，只要左边可以分解为两 2 0(0)axbxc中 个一次因式，即可运用本题的解法 【例【例 2】解下列不等式： (1) (2) (2)(3)6xx(1)(2)(2)(21)xxxx 分析：分析：要先将不等式化为的形式，通常使二次项系数为正数 2 0(0)axbxc中 解：解：(1) 原不等式可化为：，即 2 120xx(3)(4)0xx 于是： 3030 34 4040 xx x xx 中 所以原不等式的解是34x (2) 原不等式可化为：，即 2 40xx 2 40(4)0xxx x
3、 于是： 00 04 4040 xx xx xx 中中 所以原不等式的解是04xx中 2 一元二次不等式与二次函数及一元二 2 0(0)axbxc中 2 (0)yaxbxca 次方程的关系(简称：三个二次) 2 0axbxc 以二次函数为例： 2 6yxx (1) 作出图象； (2) 根据图象容易看到， 图象与轴的交点是， 即当x( 3,0),(2,0) 时， 就是说对应的一元二次方程的32x 中0y 2 60xx 两实根是32x 中 (3) 当时 ， 对 应 图 像 位 于轴 的 上32xx 中0y x 方就是说的解是 2 60xx32xx 中 当时，对应图像位于轴的下方就是说的解是32x
4、0y x 2 60xx 32x 一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 将二次项系数先化为正数； (2) 观测相应的二次函数图象 如果图象与轴有两个交点，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数x 12 (,0),(,0)xx 根(也可由根的判别式来判断) 12 ,x x0 那么(图 1)： 2 12 0 (0) axbxcaxxxx中 2 12 0 (0) axbxcaxxx 如果图象与轴只有一个交点，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根x(,0) 2 b a (也可由根的判别式来判断) 2 2 x b xx a 0 那么(图 2)： 2 0
5、(0) 2 b axbxcax a 无解 2 0 (0) axbxca 如果图象与轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式x 来判断) 0 那么(图 3)： 取一切实数 2 0 (0) axbxcax 无解 2 0 (0) axbxca 如果单纯的解一个一元二次不等式的话，可以按照一下步骤处理： (1) 化二次项系数为正； (2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根那么“”型的解为 12 ,x x0 (俗称两根之外)；“”型的解为(俗称两根之间)； 12 xxxx中0 12 xxx (3) 否则，对二次三项式进行配方，变成，结合完全 2 22 4 () 2
6、4 bacb axbxca x aa 平方式为非负数的性质求解 【例【例 3】解下列不等式： (1) (2) (3) 2 280xx 2 440xx 2 20xx 解：解：(1) 不等式可化为 不等式的解是(2)(4)0xx24x (2) 不等式可化为 不等式的解是 2 (2)0x 2x (3) 不等式可化为 2 17 ()0 24 x 【例【例 4】已知对于任意实数，恒为正数，求实数的取值范围x 2 2kxxkk 解：解：显然不合题意，于是：0k 222 000 1 11( 2)4010 kkk k kkkk 中 【例【例 5】已知关于的不等式的解为，求的值x 22 (1)30kxkx13k
7、 k 分析：分析：对应的一元二次方程的根是和，且对应的二次函数的图象开口向上根据一元二13 次方程根与系数的关系可以求解 解：解：由题意得： 2 0 1 131 3 ( 1) 3 k k k k k 说明：说明：本例也可以根据方程有两根和，用代入法得：，13 22 ( 1)(1)( 1)30kk ，且注意，从而 22 33(1)30kk0k 1k 二、简单分式不等式的解法二、简单分式不等式的解法 【例【例 6】解下列不等式： (1) (2) 23 0 1 x x 2 3 0 1 x xx 分析：分析：(1) 类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式 组处理；或者因
8、为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化 为整式不等式求解 (2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数 解：解：(1) 解法(一) 原不等式可化为： 33 230230 3 122 10102 11 xxxx x xx xx 中中 解法(二) 原不等式可化为： 3 (23)(1)01 2 xxx (2) 22 13 1()0 24 xxx 原不等式可化为：303xx 【例【例 7】解不等式 1 3 2x 解：解：原不等式可化为： (35)(2)0 135355 30002 202223 xx xx xx xxxx 中 说明：说明：(1) 转化为整式不等式
9、时，一定要先将右端变为 0 (2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号： 22 2020 15 32 55 3(2)13(2)123 33 xx xx xx xxxxx 中中中 三、含有字母系数的一元二次不等式三、含有字母系数的一元二次不等式 一元一次不等式最终可以化为的形式 (0)axb a (1) 当时，不等式的解为：；0a b x a (2) 当时，不等式的解为：；0a b x a (3) 当时，不等式化为：；0a 0 xb 若，则不等式的解是全体实数； 若，则不等式无解0b 0b 【例【例 8】求关于的不等式的解x 2 22m xmxm 解：解：原不等式可化为：(2)2m m
10、xm (1) 当时，不等式的解为；202mm中1mx 1 x m (2) 当时，202mm中1mx 时，不等式的解为；02m 1 x m 时，不等式的解为；0m 1 x m 时，不等式的解为全体实数0m (3) 当时，不等式无解202mm中 综上所述：当或时，不等式的解为；当时，不等式的解为0m 2m 1 x m 02m ；当时，不等式的解为全体实数；当时，不等式无解 1 x m 0m 2m 练：练：解不等式（1） （2） 22 210xaxa 2 10axxax 【例【例 9】已知关于的不等式的解为，求实数的值x 2 2kkxx 1 2 x k 分析：分析：将不等式整理成的形式，可以考虑只有
11、当时，才有形如的解，从axb0a b x a 而令 1 2 b a 解：解：原不等式可化为： 2 (1)2kxk 所以依题意： 2 101 3 321 21 212 kk k k k k 中 练练 习习 A 组组 1解下列不等式： (1) (2) 2 20xx 2 3180xx (3) (4) 2 31xxx(9)3(3)x xx 2解下列不等式： (1) (2) 1 0 1 x x 31 2 21 x x (3) (4) 2 1 x 2 21 0 21 xx x 3解下列不等式： (1) (2) 22 222xxx 2 111 0 235 xx 4已知不等式的解是，求的值 2 0xaxb23
12、x, a b 5解关于的不等式x(2)1mxm 6已知关于的不等式的解是，求的值x22kxkkx1x k 7已知不等式的解是，求不等式的解 2 20xpxq21x 2 20pxqx B 组组 1已知关于的不等式的解是一切实数，求的取值范围x 2 0mxxmm 2若不等式的解是，求的值 2 23 1 xx kk 3x k 3解关于的不等式x 22 56xaxa 4取何值时，代数式的值不小于 0？a 2 (1)2(2)2aa 5已知不等式的解是，其中，求不等式 2 0axbxcx0 2 0cxbxa 的解 第四讲第四讲 不等式答案不等式答案 A 组组 1 1 (1)0 (2)36 (3)1 (4)3 2 xxxx 2 11 (1)11 (2)3 (3)20 (4) 22 xxxxxxx 中中中 3(1) 无解 (2) 全体实数 45,6ab 5(1)当时，；(2)当时，；(3) 当时，取全体实数2m 1 2 m x m 2m 1 2 m x m 2m x 61k 71x B 组组 1 1 2 m 25k 3(1) 时，；(2) 时，无解；(3) 时，0a 78 aa x0a 0a 87 aa x 451aa 中 5 11 xx 中