《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第2章 2.6 2.6.3 曲线的交点含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第2章 2.6 2.6.3 曲线的交点含解析.pdf（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、26.3 曲线的交点 对应学生用书P43 给出下列两组直线，回答问题 (1)l1：x2y0，l2：2x4y30； (2)l1：2xy0，l2：3xy70. 问题 1：两组直线的位置关系 提示：(1)平行；(2)相交 问题 2：如何判断它们的位置关系？能否用这种方法来判定两条曲线的位置关系？ 提示：两直线位置关系的判断可有两种方法：一是利用斜率；二是两方程联立，利用方 程的解来判定第二种方法可以用来判定两曲线的位置关系 问题 3：如何求两曲线的交点坐标 提示：把表示曲线的方程联立，解方程组，其解即为曲线交点的坐标 已知曲线 C1：f1(x，y)0 和 C2：f2(x，y)0. (1)P0(x0，
2、y0)是 C1和 C2的公共点Error! (2)求两曲线的交点，就是求方程组Error!的实数解 (3)方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条 曲线就没有公共点 直线与圆锥曲线联立，消元得方程 ax2bxc0 方程特征交点个数位置关系 a0，02相交 a0，01相切 直线与 椭圆 a0，02相交 a0，01相切 直线与 双曲线 a0，02相交 a0，01相切 直线与 抛物线 a0，0直线与圆锥曲线相交于两个点； 0直线与圆锥曲线相交于一个点； 0，55 直线与椭圆相交； 当 m或 m时，0，55 直线与椭圆相切； 当 m时，0，即1 时，直线 l 与抛物线相
3、离，没有公共点 1 2 综上：当 k1 或 或 0 时， 1 2 直线 l 与抛物线只有一个公共点； 当1 时，直线 l 与抛物线没有公共点 1 2 直线被圆锥曲线截得的弦长问题 例 2 已知斜率为 2 的直线经过椭圆 1 的右焦点 F1， 与椭圆相交于 A、 B 两点， x2 5 y2 4 求弦 AB 的长 思路点拨 先求出直线与椭圆的两个交点，再利用两点间的距离公式，也可以从公式 上考查 A、B 坐标间的联系，进行整体运算 精解详析 法一：直线 l 过椭圆 1 的右焦点 F1(1,0)，又直线的斜率为 2. x2 5 y2 4 直线 l 的方程为 y2(x1)，即 2xy20. 由方程组E
4、rror! 得交点 A(0，2)，B. ( 5 3， 4 3) 则 AB (xAxB)2(yAyB)2 .(0f(5,3)2(2f(4,3)2 125 9 5 5 3 法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A、B 的坐标为方程组Error!的公共解 对方程组消去 y，得 3x25x0. 则 x1x2 ，x1x20. 5 3 AB (x1x2)2(y1y2)2 (x1x2)2(1koal(2,AB) (1koal(2,AB)(x1x2)24x1x2 .(122)(f(5,3)24 0 5 5 3 法三：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立Error! 消去 y，得 3x25x
5、0， 则 x1，x2是方程 3x25x0 的两根 x1x2 . 5 3 由圆锥曲线的统一定义，得 AF1(5x1)， 1 5 F1B(5x2)， 1 5 则 ABAF1F1B10(x1x2). 1 5 1 5 25 3 5 5 3 一点通 弦长的求法： (1)求出端点坐标，利用两点间的距离公式求解 (2)结合根与系数的关系，利用变形公式 l或(1k2)(x1x2)24x1x2 l求解(1f(1,k2)(y1y2)24y1y2 (3)利用圆锥曲线的统一定义求解 3过抛物线 y28x 的焦点作倾斜角为 45的直线，则被抛物线截得的弦长为_ 解析：由抛物线 y28x 的焦点为(2,0)， 得直线的方
6、程为 yx2，代入 y28x 得(x2)28x，即 x212x40. x1x212，弦长x1x2p12416. 答案：16 4直线 y2x3 与双曲线 y21 相交于两点 A、B，则 AB_. x2 2 解析：设直线 y2x3 与双曲线 y21 两交点坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2) x2 2 由Error!得 7x224x200， x1x2，x1x2， 24 7 20 7 |AB|x1x2|.1225(x1x2)24x1x25(f(24,7)24 20 7 4 5 7 答案： 4 5 7 5 如图， 椭圆 1 的左、 右焦点分别为 F1， F2， 一条直线 l 经过 F1与椭圆
7、交于 A， B 两 x2 16 y2 9 点，若直线 l 的倾斜角为 45，求ABF2的面积 解：由椭圆的方程 1 知，a4，b3， x2 16 y2 9 c.a2b27 由 c知 F1(，0)，F2(，0)，777 又直线 l 的斜率 ktan 451， 直线 l 的方程为 xy0.7 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由Error!消去 x，整理得 25y218 y810，7 y1y2，y1y2. 18 7 25 81 25 |y1y2| ，(y1y2)24y1y2 ( 18 7 25) 24 81 25 72 2 25 SABF2 |F1F2|y1y2| 2 . 1 2 1 2
8、7 72 2 25 72 14 25 两曲线相交的综合问题 例 3 已知椭圆 1，过点 P(2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线 x2 16 y2 4 方程 思路点拨 设出直线的斜率，联立直线与椭圆方程，消去 y，得关于 x 的方程，用根 与系数的关系和弦中点坐标，得斜率的方程，求解即可，也可用“点差法”求解 精解详析 法一：设所求直线的方程为 y1k(x2)， 代入椭圆方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160. 又设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)、B(x2，y2)， 则 x1，x2是上面的方程的两个根， 所以 x1x2， 8(2k2k) 4k21
9、因为 P 为弦 AB 的中点， 所以 2， x1x2 2 4(2k2k) 4k21 解得 k ，所以所求直线的方程为 x2y40. 1 2 法二：设直线与椭圆交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为 P 为弦 AB 的中点，所以 x1x24，y1y22， 又因为 A，B 在椭圆上， 所以 x 4y 16，x 4y 16， 2 12 12 22 2 两式相减，得(x x )4(y y )0， 2 12 22 12 2 即(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0， 所以 ，即 kAB . y1y2 x1x2 (x1x2) 4(y1y2) 1 2 1 2 所以所求直线的方程为
10、y1 (x2)， 1 2 即 x2y40. 一点通 解决直线与圆锥曲线的位置关系时，一般采用“设而不求”的思想，将直线 方程与圆锥曲线方程联成方程组，转化为一元二次方程，利用根与系数的关系，把已知条件 转化为弦的端点坐标之间的关系求解， 在涉及 “中点弦” 问题时， “点差法” 是最常用的方法 6已知过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点 求证：(1)x1x2为定值；(2)为定值 1 FA 1 FB 证明：(1)抛物线 y22px 的焦点为 F， ( p 2，0) 当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 yk(x )(k0
11、) p 2 由Error!消去 y， 得 k2x2p(k22)x0. k2p2 4 由根与系数的关系，得 x1x2(定值) p2 4 当 ABx 轴时，x1x2 ，x1x2也成立 p 2 p2 4 (2)由抛物线的定义知，FAx1 ，FBx2 . p 2 p 2 1 FA 1 FB 1 x1p 2 1 x2p 2 x1x2p p 2(x 1x2)x1x2p 2 4 x1x2p p 2(x 1x2)p 2 2 (定值) x1x2p p 2(x 1x2p) 2 p 7设双曲线 C：y21(a0)与直线 l：xy1 相交于两个不同点 A，B. x2 a2 (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围
12、； (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，若PB ，求 a 的值PA 5 12 解：(1)将 yx1 代入双曲线y21(a0)中得(1a2)x22a2x2a20. x2 a2 所以Error! 解得 0a，且 a1.2 又双曲线的离心率 e， 1a2 a 1 a21 所以 e，且 e. 6 2 2 (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)，因为PA PB ， 5 12 所以(x1，y11)(x2，y21) 5 12 由此得 x1x2. 5 12 由于 x1，x2是方程(1a2)x22a2x2a20 的两根，且 1a20，所以x2， 17 12 2a2 1a2 x . 5
13、12 2 2 2a2 1a2 消去 x2，得.由 a0，解得 a. 2a2 1a2 289 60 17 13 8(陕西高考)已知动圆过定点 A(4,0)，且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程； (2)已知点 B(1,0)，设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P，Q，若 x 轴 是PBQ 的角平分线，证明：直线 l 过定点 解： (1)如图，设动圆圆心 O1(x，y)，由题意得，O1AO1M. 当 O1不在 y 轴上时，过 O1作 O1HMN 交 MN 于 H，则 H 是 MN 的中点， O1M ，x242 又 O1A ，(x4)2y
14、2 ，(x4)2y2x242 化简得 y28x(x0) 当 O1在 y 轴上时，O1与 O 重合，点 O1的坐标(0,0)也满足方程 y28x， 动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y28x. (2)证明：如图，由题意，设直线 l 的方程为 ykxb(k0)， P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将 ykxb 代入 y28x 中，得 k2x2(2bk8)xb20， 其中 32kb640. 由根与系数的关系得，x1x2， 82bk k2 x1x2， b2 k2 因为 x 轴是PBQ 的角平分线，所以， y1 x11 y2 x21 即 y1(x21)y2(x11)0， (kx1b)(x21)(kx2b
15、)(x11)0， 2kx1x2(bk)(x1x2)2b0， 将代入，得 2kb2(kb)(82bk)2k2b0， kb，此时 0， 直线 l 的方程为 yk(x1)， 直线 l 过定点(1,0) 讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，先联立方程，消去 x 或 y，得出一个一元二次方程， 通过研究判别式 的情况，研究位置关系，值得注意的是，若是直线与圆或椭圆时，无需 讨论二次项系数是否为零(一定不为零)，直接考察 的情况即可若是直线与双曲线或抛物 线时，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况这是特别要注意的问题同时还要 注意直线斜率不存在时的情形 对应课时跟踪训练(十七) 1曲线 x2xyy23x
16、4y40 与 x 轴的交点坐标是_ 解析：当 y0 时，得 x23x40， 解得 x14 或 x21. 所以交点坐标为(4,0)和(1,0) 答案：(4,0)，(1,0) 2曲线 x2y24 与曲线 x2 1 的交点个数为_ y2 9 解析：由数形结合可知两曲线有 4 个交点 答案：4 3设抛物线 y28x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则 直线 l 的斜率的取值范围是_ 解析：由 y28x，得准线方程为 x2. 则 Q 点坐标为(2,0) 设直线 yk(x2) 由Error!得 k2x2(4k28)x4k20. 若直线 l 与 y28x 有公共点， 则
17、 (4k28)216k40. 解得1k1. 答案：1,1 4曲线 yx2x2 和 yxm 有两个不同的公共点，则实数 m 的范围是_ 解析：由Error! 消去 y，得 x22x2m0. 若有两个不同的公共点，则 44(2m)0， m1. 答案：(1，) 5如果椭圆 1 的一条弦被点(4,2)平分，那么这条弦所在直线的方程是 x2 36 y2 9 _ 解析：设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2) P(4,2)为 AB 中点，x1x28，y1y24. 又A，B 在椭圆上，x 4y 36，x 4y 36. 2 12 12 22 2 两式相减得(x x )4(y y )0， 2 1
18、2 22 12 2 即(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0， . y1y2 x1x2 (x1x2) 4(y1y2) 1 2 即直线 l 的斜率为 . 1 2 所求直线方程为 x2y80. 答案：x2y80 6已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长为 4，离心率为.2 6 4 (1)求椭圆的标准方程； (2)直线 l 与该椭圆交于 M、N 两点，MN 的中点为 A(2，1)，求直线 l 的方程 解：(1)由题意 2a4，2 a2，又 e ，2 c a c 2 2 6 4 c . 3 b2a2c2835. 故所求椭圆的标准方程为 1. x2 8 y2 5 (2)点 A 在椭
19、圆内部， 过 A 点的直线必与椭圆有两交点 当直线斜率不存在时，A 点不可能为弦的中点，故可设直线方程为 y1k(x2)，它 与椭圆的交点分别为 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则Error!消去 y 得 (8k25)x216k(2k1)x8(2k1)250， x1x2， 16k(2k1) 8k25 又A(2，1)为弦 MN 的中点， x1x24，即4， 16k(2k1) 8k25 k ，从而直线方程为 5x4y140. 5 4 7已知椭圆 C1与抛物线 C2的焦点均在 x 轴上，C1的中心和 C2的顶点均为原点 O，从 每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中： x3242 y 2 3
20、 04 2 2 (1)求 C1，C2的标准方程； (2)请问是否存在直线 l 满足条件：过 C2的焦点 F；与 C1交于不同两点 M，N 且满 足OM ON ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由 解 ： (1)设抛物线C2： y22px(p0)， 则有 2p(x0)， 据此验证4个点知(3， 2)， (4， y2 x 3 4)在抛物线上，易求 C2：y24x. 设 C1：1(ab0)，把点(2,0)，代入得Error!解得Error! x2 a2 y2 b2( 2， 2 2) C1的方程为 y21. x2 4 (2)容易验证直线 l 的斜率不存在时，不满足题意； 当直线 l 的斜
21、率存在时，假设存在直线 l 过抛物线焦点 F(1,0)，设其方程为 yk(x1)， 与 C1的交点坐标为 M(x1，y1)，N(x2，y2) 由Error!消去 y 得， (14k2)x28k2x4(k21)0， 于是 x1x2，x1x2. 8k2 14k2 4(k21) 14k2 所以 y1y2k(x11)k(x21) k2x1x2(x1x2)1 k2. ( 4(k21) 14k2 8k2 14k21) 3k2 14k2 由OM ON ，即OM ON 0，得 x1x2y1y20. 将代入式得，0，解得 k2. 4(k21) 14k2 3k2 14k2 k24 14k2 所以存在直线 l 满足
22、条件，且 l 的方程为：y2x2 或 y2x2. 8已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点的距离的最大 值为 3，最小值为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若直线 l：ykxm 与椭圆 C 相交于 A，B 两点(A，B 不是左右顶点)，且以 AB 为直 径的圆过椭圆 C 的右顶点求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标 解：(1)由题意设椭圆 C 的标准方程为1(ab0) x2 a2 y2 b2 由题意得 ac3，ac1， a2，c1，b23. 椭圆的标准方程为 1. x2 4 y2 3 (2)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由Er
23、ror!得， (34k2)x28mkx4(m23)0， 64m2k216(34k2)(m23)0， 即 34k2m20. x1x2，x1x2. 8mk 34k2 4(m23) 34k2 y1y2(kx1m)(kx2m) k2x1x2mk(x1x2)m2. 3(m24k2) 34k2 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0)， kADkBD1， 1，化简得 y1 x12 y2 x22 y1y2x1x22(x1x2)40， 即40， 3(m24k2) 34k2 4(m23) 34k2 16mk 34k2 化简得 7m216mk4k20， 解得 m12k，m2，且满足 34k2m20. 2k 7 当 m2k 时，l：yk(x2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾； 当 m时，l：yk，直线过定点. 2k 7 (x 2 7) ( 2 7，0) 综上可知，直线 l 过定点，定点坐标为. ( 2 7，0)