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1、随堂巩固训练(58) 1. 若复数 z(xi)(1i)是纯虚数， 其中 x 为实数， i 为虚数单位， 则 z 的共轭复数 z 2i . 解析 ： z(xi)(1i)(x1)(x1)i，因为复数 z 是纯虚数，所以 x10，即 x1， 所以 z2i，则 z2i. 2. 已知复数 z 满足：z(1i)24i，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的模为 .10 解析：由题意得 z13i，所以|z|. 24i 1i （24i）（1i） （1i）（1i） （1）23210 3. 若复数 za2i(i 为虚数单位，aR)，满足|z|3，则 a 的值为 .5 解析：因为|z|3，所以3，即 a249，解得
2、a.a2225 4. 若复数 z 满足(2i)z43i(i 为虚数单位)，则|z| .5 解析：由题意得 z12i，所以|z|. 43i 2i （43i）（2i） （2i）（2i） 1225 5. 已知(ai)22i，其中 i 是虚数单位，那么实数 a 1 . 解析：因为(ai)2a22aii2(a21)2ai2i，所以解得 a1. a210， 2a2，) 6. 已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 43i，则复数 z 的模为 5 . z i 解析：由题意得 zi(3i4)34i，所以|z|5.（3）2（4）2 7. 已知复数 z(2i)2(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数 z 34i .
3、 解析：z(2i)244ii234i，所以 z34i. 8. 已知复数 z 满足(3i)z10i(其中 i 是虚数单位)， 则复数 z 的共轭复数 z 13i . 解析：由题意得 z13i，所以 z13i. 10i 3i 10i（3i） （3i）（3i） 9. 设复数 z 满足 z(1i)24i，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的共轭复数 z3i . 解析：由题意得 z3i，所以 z3i. 24i 1i （24i）（1i） （1i）（1i） 10. 已知复数 z 满足 z24，若 z 的虚部大于 0，则 z 2i . 解析：由 z24，得 z2(i)2，所以 z2i，因为 z 的虚部大于 0
4、，所以 z2i.4 11. 求当 m 分别为何实数时，复数 zm21(m23m2)i 是： (1) 实数；(2) 虚数；(3) 纯虚数；(4) 零. 解析 ： (1) 由题意得 m23m20，解得 m1 或 m2，故当 m1 或 m2 时，复数 z 为实数. (2) 由题意得 m23m20，解得 m1 且 m2，故当 m1 且 m2 时， 复数 z 为虚数. (3) 由题意得 m210 且 m23m20，解得 m1，故当 m1 时，复数 z 为纯虚数. (4) 由题意得 m210 且 m23m20，解得 m1，故当 m1 时，复数 z 为零. 12. 设复数 z 满足 4z2z3i，sinic
5、os，求 z 的值和|z|的取值范围.3 解析：设 zabi(a，bR)，则 zabi， 代入 4z2z3i，得 4(abi)2(abi)3i，即 6a2bi3i，333 所以解得所以 z i. 6a3 3， 2b1，) a 3 2 ， b1 2，) 3 2 1 2 |z| 3 2 1 2i（sinicos）| ( 3 2 sin) 2 ( 1 2cos) 2 .2 3sincos22sin( 6) 因为1sin1，所以 022sin( )4，故 0|z|2. ( 6) 6 综上，z i，|z|的取值范围是0，2. 3 2 1 2 13. 已知关于 x 的方程 x2(6i)x9ai0(aR)有
6、实数根 b. (1) 求实数 a，b 的值； (2) 若复数满足|zabi|2|z|0，求当 z 为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值. 解析 ： (1) 因为 b 是方程 x2(6i)x9ai0(aR)的实根，所以(b26b9)(ab)i 0， 所以解得 ab3，故实数 a3，b3. b26b90， ab，) (2) 设 zsti(s，tR)，其对应点为 Z(s，t). 由|z33i|2|z|， 得(s3)2(t3)24(s2t2)， 即(s1)2(t1)28， 所以点 Z 的轨迹是以 O1(1，1)为圆心，2为半径的圆，如图所示.2 当点 Z 在 O，O1的连线上时，|z|有最大值或最小值. 又|OO1|，半径 r2，所以当 z1i 时，|z|有最小值为.222