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1、随堂巩固训练(62) 1. 设 Sn是等比数列an的前 n 项和，若 a52a100，则 . S20 S10 5 4 解析 ： 设等比数列的公比为q， 则由a52a100， 得q5 ， 所以1q10 1 2 S20 S10 a1（1q20） 1q a1（1q10） 1q 1 . 1 4 5 4 2. 在由正数组成的等比数列an中，若 a4a5a63，则 log3a1log3a2log3a8log3a9的 值为 . 4 3 解析：由题意得 a4a5a6a 3，解得 a53 . 因为 a1a9a2a8a ，所以 log3a1log3a2 3 5 1 3 2 5 log3a8log3a9log3(a
2、1a2a8a9)log3a log33 . 4 5 4 3 4 3 3. 设数列an是首项为 1，公差不为零的等差数列，Sn为其前 n 项和，若 S1，S2，S4 成等比数列，则数列an的公差为 2 . 解析：设公差为 d，其中 d0，则 S1，S2，S4分别为 1，2d，46d. 由 S1，S2，S4 成等比数列，得(2d)246d，即 d22d. 因为 d0，所以 d2. 4. 若正项等比数列an中，a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则 n 14 . 解析 ： 设数列an的公比为 q， 由 a1a2a34a q3与 a4a5a612a q12， 可得 q93， an
3、1anan 3 13 1 1a q3n3324，则 q3n68134q36，所以 n14. 3 1 5. 已知数列an满足 log3an1log3an1(nN*)， 且 a2a4a69， 则 log (a5a7a9) 1 3 的值是 5 . 解析 ： 由 log3an1log3an1(nN*)， 得 log3an1log3an1， 即 log31， 解得 an1 an an1 an 3， 所以数列an是公比为 3 的等比数列. 因为 a5a7a9(a2a4a6)q3， 所以 a5a7a9 93335，所以 log (a5a7a9)log 355. 1 3 1 3 6. 在由正数组成的等比数列a
4、n中，若 a3a4a53，则 sin(log3a1log3a2log3a7) 的值为 . 3 2 解析 ： 因为a3a4a53a ， 所以a43 .log3a1log3a2log3a7log3(a1a2a7)log3a 3 4 3 7log33 ，所以 sin(log3a1log3a2log3a7). 7 4 3 7 3 3 2 7. 若 a，b 是函数 f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且 a，b，2 这三 个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 pq 的值等于 9 . 解析：由题意知 abp，abq，因为 p0，q0，所以 a0，b0.在 a，b，2 这
5、三个数的 6 种排序中，成等差数列的情况有 a，b，2； b，a，2； 2，a，b； 2，b，a ； 成等比数列的情况有 a，2，b；b，2，a，所以或解得或 ab4， 2ba2) ab4， 2ab2，) a4， b1) 所以 p5，q4，所以 pq9. a1， b4，) 8. 在正项等比数列an中，若 a4a32a22a16，则 a5a6的最小值为 48 . 解析 ： 设 a2a1x0， 等比数列的公比为q， 则a4a3 xq2， a5a6 xq4.由a4a32a2 2a16， 得 xq262x， 所以 x0， q， 所以 a5a6 xq4 6 6 q22 2 6q4 q22 q4 q22
6、6(q22)66(44)48，当且仅当 q222，即 q2 时，等 4 q22 (q 22 4 q224) 号成立，故 a5a6的最小值为 48. 9. 已知正项等比数列an满足 a2 0152a2 013a2 014， 若存在两项 am， an， 使得4a1，aman 则的最小值为 . n4m mn 3 2 解析：设an的公比为 q(q0).由 a2 0152a2 013a2 014，可得 a2 013q22a2 013a2 013q， 所以 q2q20， 所以 q2.因为4a1， 所以 qmn216， 所以 mn6. (maman n4m nm 1 6 n)( ) (5 ) ，当且仅当 ，
7、即 m2，n4 时取等号，故的最 1 m 4 n 1 6 n m 4m n 3 2 n m 4m n n4m nm 小值为 . 3 2 10. 已知各项都为正数的数列an满足 a11，a (2an11)an2an10，则数列an 2 n 的通项公式 an . 1 2n1 解析：由 a (2an11)an2an10 得 2an1(an1)an(an1).因为数列an的各项都 2 n 为正数，所以 ，故数列an是首项为 1，公比为 的等比数列，所以 an. an1 an 1 2 1 2 1 2n1 11. 已知数列an的前n项和为Sn， 在数列bn中， b1a1， bnanan1(n2)， 且an
8、Sn n. (1) 设 cnan1，求证：cn是等比数列； (2) 求数列bn的通项公式. 解析：(1) 因为 anSnn， 所以 an1Sn1n1. 得 2an1an1，所以 an1. an1 2 因为 cn1an111 cn， an1 2 an1 2 1 2 所以 . cn1 cn 1 2 又 a1a11，所以 a1 ，c1a11 ， 1 2 1 2 所以数列cn是以 为首项， 为公比的等比数列. 1 2 1 2 (2) 由(1)可知 cn， ( 1 2) ( 1 2) n1 ( 1 2) n 所以 ancn11. ( 1 2) n 当 n2 时，bnanan11， ( 1 2) n 1(
9、 1 2) n1 ( 1 2) n1 ( 1 2) n ( 1 2) n b1a1 满足上式，所以 bn. 1 2 ( 1 2) n 12. 已知各项均为正数的数列an的首项 a11， Sn是数列an的前 n 项和， 且满足 anSn1 an1Snanan1anan1(0，nN*). (1) 若 a1，a2，a3成等比数列，求实数 的值； (2) 若 ，求 Sn. 1 2 解析：(1) 令 n1，得 a2. 2 1 令 n2，得 a2S3a3S2a2a3a2a3， 所以 a3. 24 （1）（21） 由 a a1a3，得， 2 2 ( 2 1) 2 24 （1）（21） 因为 0，所以 1.
10、(2) 当 时，anSn1an1Snanan1 anan1，所以 ， 1 2 1 2 Sn1 an1 Sn an 1 an1 1 an 1 2 即 ，所以数列是以 2 为首项， 为公差的等差数列， Sn11 an1 Sn1 an 1 2 Sn1 an 1 2 所以2(n1) ，即 Sn1an. Sn1 an 1 2 ( n 2 3 2) 当 n2 时，Sn11an1， ( n 21) 得，ananan1，即(n1)an(n2)an1，所以(n2)， n3 2 n2 2 an n2 an1 n1 所以是常数列，且为 ， an n2 1 3 所以 an (n2)， 1 3 代入得 Snan1. (
11、 n 2 3 2) n25n 6 13. 设数列an的前 n 项和为 Sn(nN*)，且满足 ： |a1|a2|； r(np)Sn1(n2n)an (n2n2)a1，其中 r，pR，且 r0. (1) 求实数 p 的值； (2) 数列an是否为等比数列？请说明理由. 解析：(1) 当 n1 时，r(1p)S22a12a10. 又 r0，|a1|a2|，所以 S20，所以 p1. (2) 数列an不是等比数列. 理由如下： 假设数列an是等比数列，公比为 q. 当 n2 时，rS36a2，即 ra1(1qq2)6a1q， 所以 r(1qq2)6q， 当 n3 时，2rS412a34a1，即 2ra1(1qq2q3)12a1q24a1， 所以 r(1qq2q3)6q22， 联立得 q1，与|a1|a2|矛盾，所以假设不成立，故数列an不是等比数列.