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1、随堂巩固训练(67) 1. 判断下面结论是否正确. (1) 如果两个不重合的平面 ， 有一条公共直线 a， 就说平面 ， 相交， 并记作 a. ( ) (2) 两个平面 ， 有一个公共点 A，就说 ， 相交于过点 A 的任意一条直线. ( ) (3) 两个平面 ， 有一个公共点 A，就说 ， 相交于点 A，并记作 A. ( ) (4) 平面 ABC 与平面 DBC 相交于线段 BC. ( ) (5) 经过两条相交直线，有且只有一个平面. ( ) (6) 没有公共点的两条直线是异面直线. ( ) 解析 ： 根据平面与直线的公理可知如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且 只有一条过该点的公
2、共直线， 故(1)正确， (2)(3)错误 ； 平面 ABC 与平面 DBC 相交于直线 BC， (4)错误；经过两条相交直线，有且只有一个平面，故(5)正确；两条直线平行，它们没有公 共点，但共面，故(6)错误. 2. 下列命题中正确的是 .(填序号) 平面 l，直线 a，alA，直线 b，blB，点 A 与点 B 不重合，则 a 与 b 不可能共面； 空间两组对边分别相等的四边形为平行四边形； 空间角 与 的两边分别平行，70，则 70； 空间直线 abc，则 a，b，c 确定的平面个数为 1 或 3； 分别与两条异面直线 a，b 同时相交的两条直线必定异面. 解析 ： 对，若 a 与 b
3、 共面，则 ab 或 a 与 b 相交.若 ab，则 a.因为平面 l， 直线 a，所以 al，这与 alA 矛盾.若 a 与 b 相交于点 B，则点 A 与点 B 重合，这与 点 A 与点 B 不重合矛盾，所以 a 与 b 不可能共面，故正确；对于，空间四边形的两组 对边分别相等， 该四边形不一定是平行四边形， 故错误 ； 对于， 空间角， 的两边分别平 行，70，则 70或 110，故错误 ； 对于，若 a，b，c 在同一平面内，则可确定 1 个平面 ； 若不在同一平面内， 则可确定 3 个平面， 故正确 ； 对于， 分别与两条异面直线 a， b 同时相交的两条直线不可能平行，但可以共面，
4、故错误. 3. 在图中， G、 N， M、 H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点， 下图中直线 GH、 MN 是异面直线的图形有 .(填序号) 解析：由题意可得图中 GH 与 MN 平行，图中 GH 与 MN 异面，图中 GH 与 MN 相交，图中 GH 与 MN 异面，故选. 4. 下列命题中正确的是 .(填序号) 若ABC，直线 aAB，bBC，则 a，b 所成角为 ； 若直线 a，b 与直线 c 所成的角相等，则 ab； 若直线 ab，且直线 b 与 c 所成的角为 ，则 a，c 所成的角也为 ； 若直线 a，b 与直线 c 所成的角不相等，则 a，b 不平行. 解析：中 a 与 b
5、所成的角还可以是 180；中 a，b 可能不在同一平面内. 5. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E， F分别是AB1， BC1 的中点，则下列结论中不成立的是 .(填序号) EF 与 CC1垂直； EF 与 BD 垂直； EF 与 A1C1异面； EF 与 AD1异面. 解析 ： 因为E是AB1的中点， 则E是A1B的中点， EF是A1BC1的中位线， 所以EFA1C1， 所以错误；因为 CC1A1C1，ACBD，ACA1C1，所以 EFCC1，EFBD，所以 正确；因为 EF 与 AD1不平行也不相交，所以 EF 与 AD1异面，所以正确. 6. 给出下列命题： 若线段 AB 在
6、平面 内，则直线 AB 上的点都在平面 内； 若直线 a 在平面 外，则直线 a 与平面 没有公共点； 两个平面平行的充分条件是其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面； 设 a，b，c 是三条不同的直线，若 ab，ac，则 bc. 其中，假命题的序号是 .(填序号) 解析：中 a 与平面 还可能相交，有一个公共点；中两平面还可能相交；中 b 与 c 还可能相交或异面. 7. 给出下列四个命题： 如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； 两条直线可以确定一个平面； 若 M，M，l，则 Ml； 空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内. 其中真命题为 .(填序号) 解析 ： 对于，如果
7、两个平面有三个公共点，那么这两个平面可能相交，错误 ； 对于， 两条异面直线不可以确定一个平面，错误 ； 对于，在正方体中，从同一个顶点出发的三条 直线不共面，错误 8. 已知在空间四边形 ABCD 中，M、N 分别为 AB、CD 的中点，则下列判断： MN (ACBD)； MN (ACBD)； 1 2 1 2 MN (ACBD)； MNMN， 1 2 1 2 所以 MN (ACBD). 1 2 9. 如图， 在空间四边形 ABCD 中， 点 E、 F、 G 分别在 AB、 BC、 CD 上， 且满足 AEEB CFFB21，CGGD31，过点 E、F、G 的平面交 AD 于点 H. (1)
8、求 AHHD； (2) 求证：EH、FG、BD 三线共点. 解析：(1) 因为2，所以 EFAC. AE EB CF FB 因为 EF平面 ACD，AC平面 ACD， 所以 EF平面 ACD. 又 EF平面 EFGH， 平面 EFGH平面 ACDGH， 所以 EFGH，所以 ACGH， 所以 AHHDCGDG31. (2) 由(1)知 EFGH，且 ， ， EF AC 1 3 GH AC 1 4 所以 EFGH，所以四边形 EFGH 为梯形. 令 EHFGP，则 PEH. 因为 EH平面 ABD，所以 P平面 ABD. 因为 PFG，FG平面 BCD， 所以 P平面 BCD. 因为平面 ABD
9、平面 BCDBD，所以 PBD， 所以 EH，FG，BD 三线共点. 10. 如图是以 AB4，BC3 的矩形 ABCD 为底面的长方体被一 平面斜截所得的几何体，其中四边形 EFGH 为截面.已知 AE5，BF 8，CG12. (1) 作出截面 EFGH 与底面 ABCD 的交线 l. (2) 截面四边形 EFGH 是否为菱形？请证明你的结论. (3) 求 DH 的长. 解析：(1) 如图，作 HE 与 DA 的交点 P，作 GF 与 CB 的交点 Q，连结 PQ 得直线 l， 则 l 即为所求. (2) 因为平面 ABFE平面 DCGH，且平面 EFGH 分别截平面 ABFE 与平面 DCGH 得 直线 EF 与 GH，故 EFGH. 同理，FGEH，故四边形 EFGH 为平行四边形. 又 EF2AB2(BFAE)225， FG2BC2(CGBF)225， 所以 EFFG5，故四边形 EFGH 为菱形. (3) 过点 E 作 EB1BF，垂足为 B1， 则 BB1AE5，所以 FB13. 过点 H 作 HC1CG，垂足为 C1，则 C1HEB1. 因为 EFHG，所以 RtHC1GRtEB1F， 所以 GC1FB13，所以 DHCC19.