《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第十一章 计数原理、随机变量及其概率分布 11.2含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第十一章 计数原理、随机变量及其概率分布 11.2含解析.pdf（18页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、11.2 排列与组合 排列与组合 考情考向分析 以理解和应用排列、组合的概念为主，常常以实际问题为载体，考查分类讨 论思想，考查分析、解决问题的能力，题型以解答题为主，难度为中档 1排列与组合的概念 名称定义 排列按照一定的顺序排成一列 组合 从n个不同元素中取出m(mn)个元素 合成一组 2.排列数与组合数 (1)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有排列的个数叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的排列数，用 A 表示 m n (2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的组合数，用
2、C 表示 m n 3排列数、组合数的公式及性质 公 式 (1)A n(n1)(n2)(nm1) m n n！ nm！ (2)C m n Am n Am m nn1n2nm1 m！ n！ m！nm！ 性 质 (3)0！1；A n！ n n (4)C C；CC C_ m nnmnmn1m nm1n 概念方法微思考 1排列问题和组合问题的区别是什么？ 提示 元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合 2排列数与组合数公式之间有何关系？它们公式都有两种形式，如何选择使用？ 提示 (1)排列数与组合数之间的联系为 C A A . m nm mm n (2)两种形式分别为：连乘积形式；阶乘形式 前者多
3、用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证 3解排列组合综合应用问题的思路有哪些？ 提示 解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手“分析” 是找出题目的条件、结论，哪些是“元素” ，哪些是“位置” ；“分辨”就是辨别是排列还是 组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成 互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个相互联系的步骤，而每一步 都是简单的排列组合问题，然后逐步解决 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列( ) (2)两个组
4、合相同的充要条件是其中的元素完全相同( ) (3)(n1)！n！nn！.( ) (4)若组合式 C C ，则 xm 成立( ) x nm n (5)kC nC.( ) k nk1n1 题组二 教材改编 2P29 习题 T56 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为_ 答案 24 解析 “插空法” ，先排 3 个空位，形成 4 个空隙供 3 人选择就座，因此任何两人不相邻的坐 法种数为 A 43224. 3 4 3 P24 习题 T7某校拟从 4 名男教师和 5 名女教师中各选 2 名教师开设公开课， 则男教师 A 和女教师 B 至少有一名被选中的不同选法的种数是_ 答案 4
5、2 解析 从4名男教师和5名女教师中各选2名教师开设公开课， 所有的选法种数是C C 60. 2 42 5 男教师 A 和女教师 B 都没有被选中的选法种数是 C C 18，故男教师 A 和女教师 B 至少 2 32 4 有一名被选中的不同选法的种数是 601842. 题组三 易错自纠 4六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 _种 答案 216 解析 第一类：甲在最左端，有 A 54321120(种)排法； 5 5 第二类：乙在最左端，甲不在最右端， 有 4A 4432196(种)排法 4 4 所以共有 12096216(种)排法 5为发展国外孔子学院，
6、教育部选派 6 名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每 个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为_ 答案 540 解析 依题意，选派方案分为三类：一个国家派 4 名，另两个国家各派 1 名，有A C4 6C1 2C1 1 A2 2 90(种)； 一个国家派 3 名， 一个国家派 2 名， 一个国家派 1 名， 有 C C C A 360(种)； 3 33 62 31 13 3 每个国家各派 2 名，有A 90(种)， C2 6C2 4C2 2 A3 3 3 3 故不同的选派方案种数为 9036090540. 6 寒假里 5 名同学结伴乘动车外出旅游， 实名制购票， 每人一座， 恰在同一
7、排 A， B， C， D， E 五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车 票相符座位的坐法有_种(用数字作答) 答案 45 解析 设 5 名同学也用 A，B，C，D，E 来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法， 设 E 同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有 BADC，BDAC，BCDA， CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共 9 种坐法，则恰有一人坐对与自己车票 相符座位的坐法有 9545(种) 题型一 排列问题 1用 1,2,3,4,5 这五个数字，可以组成比 20 000 大，并且百位数不是数字 3
8、的没有重复数字 的五位数，共有_个 答案 78 解析 根据题意知， 要求这个五位数比 20 000 大， 则首位必须是 2,3,4,5 这 4 个数字中的一个， 当首位是 3 时，百位数不是数字 3，符合要求的五位数有 A 24(个)； 当首位是 2,4,5 时，由 4 4 于百位数不能是数字 3，则符合要求的五位数有 3(A A )54(个)，因此共有 5424 4 43 3 78(个)这样的五位数符合要求 2某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了 _条毕业留言(用数字作答) 答案 1 560 解析 由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40
9、人中任选两人的排列数， 所以全 班共写了 A 40391 560(条)留言 2 40 36 名同学站成 1 排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有_种不 同站法 答案 480 解析 方法一 (位置优先法)先从其他 5 人中安排 2 人站在最左边和最右边，再安排余下 4 人的位置，分为两步： 第 1 步，从除甲外的 5 人中选 2 人站在最左边和最右边，有 A 种站法； 2 5 第 2 步，余下 4 人(含甲)站在剩下的 4 个位置上，有 A 种站法 4 4 由分步计数原理可知，共有 A A 480(种)不同的站法 2 54 4 方法二 (元素优先法)先安排甲的位置(既不站在最左边
10、又不站在最右边)， 再安排其他 5 人的 位置，分为两步： 第 1 步，将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上，有 A 种站法； 1 4 第 2 步，余下 5 人站在剩下的 5 个位置上，有 A 种站法 5 5 由分步计数原理可知，共有 A A 480(种)不同的站法 1 45 5 思维升华 排列应用问题的分类与解法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时 一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过 多的问题可以采用间接法 (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件 的
11、排列问题的常用方法 题型二 组合问题 例 1 男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男、女队长各 1 名现选派 5 人外出参加比赛，在 下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员 3 名，女运动员 2 名； (2)至少有 1 名女运动员； (3)队长中至少有 1 人参加； (4)既要有队长，又要有女运动员 解 (1)分两步完成： 第一步，选 3 名男运动员，有 C 种选法； 3 6 第二步，选 2 名女运动员，有 C 种选法由分步计数原理可得，共有 C C 120(种)选法 2 43 62 4 (2)方法一 “至少有 1 名女运动员”包括以下四种情况： 1 女 4 男，2 女 3 男，3
12、 女 2 男，4 女 1 男 由分类计数原理可得总选法共有 C C C C C C C C 246(种) 1 44 62 43 63 42 64 41 6 方法二 “至少有 1 名女运动员”的反面为“全是男运动员” ，可用间接法求解 从 10 人中任选 5 人有 C种选法，其中全是男运动员的选法有 C 种所以“至少有 1 名女 5 105 6 运动员”的选法有 C C 246(种) 5 105 6 (3)方法一 (直接法)可分类求解： “只有男队长”的选法种数为 C ； 4 8 “只有女队长”的选法种数为 C ； 4 8 “男、女队长都入选”的选法种数为 C ， 3 8 所以共有 2C C 1
13、96(种)选法 4 83 8 方法二 (间接法)从 10 人中任选 5 人有 C种选法， 5 10 其中不选队长的方法有 C 种所以“至少有 1 名队长”的选法有 C C 196(种) 5 85 105 8 (4)当有女队长时，其他人任意选，共有 C 种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有 C 4 94 8 种选法，其中不含女运动员的选法有 C 种，所以不选女队长时的选法共有(C C )种所以 4 54 84 5 既要有队长又要有女运动员的选法共有 C C C 191(种) 4 94 84 5 思维升华 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含” ，
14、则先将这些元素取出，再由另外元 素补足；“不含” ，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取 (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型 ： 解这类题必须十分重视“至少”与“至多” 这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类 复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理 跟踪训练 1 某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货现从 35 种商品 中选取 3 种 (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有 2 种假货在内
15、，不同的取法有多少种？ (5)至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ 解 (1)从余下的 34 种商品中，选取 2 种有 C 561(种)取法， 2 34 某一种假货必须在内的不同取法有 561 种 (2)从 34 种可选商品中，选取 3 种，有 C种或者 C C C 5 984(种)取法 3 343 352 343 34 某一种假货不能在内的不同取法有 5 984 种 (3)从 20 种真货中选取 1 种，从 15 种假货中选取 2 种有 C C 2 100(种)取法 1 202 15 恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种 (4)选取 2 种假货有 C C种， 选取 3
16、种假货有 C种， 共有选取方式 C C C 2 100455 1 202 153 151 202 153 15 2 555(种) 至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种 (5)方法一 (间接法) 选取 3 种的总数为 C ，因此共有选取方式 3 35 C C 6 5454556 090(种) 3 353 15 至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种 方法二 (直接法) 选取 3 种真货有 C种，选取 2 种真货有 C C种，选取 1 种真货有 C C种， 3 202 201 151 202 15 因此共有选取方式 C C C C C 6 090(种) 3 202 2
17、01 151 202 15 至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种 题型三 组合数的性质 例 2 (2016江苏)(1)求 7C 4C 的值； 3 64 7 (2)设 m，nN*，nm，求证： (m1)C (m2)C(m3)CnC(n1)C (m1)C. m mmm1mm2mn1m nm2n2 (1)解 7C 4C 7204350. 3 64 7 (2)证明 当 nm 时，结论显然成立 当 nm 时，(k1)C m k k1k！ m！km！ (m1) k1！ m1！k1m1！ (m1)C， m1k1 km1，m2，n. 又因为 CCC， m1k1m2k1m2k2 所以(k1)C
18、(m1)(CC)， m km2k2m2k1 km1，m2，n. 因此，(m1)C (m2)C(m3)C(n1)C m mmm1mm2m n (m1)C (m2)C(m3)C(n1)C m mmm1mm2m n (m1)C(m1)(CC)CC(CC) m2m2m2m3m2m2m2m4m2m3m2n2m2n1 (m1)C. m2n2 思维升华 (1)组合数的性质可结合实际问题理解记忆 (2)利用 kC nC和 CCC 可有效解决一些常见组合数的求和问题 k nk1n1mn1m1nm n 跟踪训练 2 已知 m，nN*，定义 fn(m). nn1n2nm1 m！ (1)求 f4(2)，f4(5)的值
19、； (2)证明：k2kfn(k)2n3n1. 2n k1 (1)解 f4(2)6，f4(5)0. 4 3 2！ 4 3 2 1 0 5！ (2)证明 fn(m)Error! 当 n1 时，k2kfn(k)22n3n1，等式成立 2n k1 当 n2 时，k2kfn(k)12fn(1)222fn(2)323fn(3)n2nfn(n) 2n k1 12C 222C 323C n2nC ， 1 n2 n3 nn n 由于 k C k k n n！ k！nk！ n n C， n1！ k1！n1k1！ k1n1 所以k2nfn(k)n2Cn22Cn23Cn2nC2n(12)n12n3n 2n k1 0n
20、11n12n1n1n1 1， 综上所述，nN*，k2kfn(k)2n3n1成立 2n k1 题型四 排列与组合的综合问题 命题点 1 相邻问题 例 3 为配合足球国家战略，教育部特派 6 名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专 业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案有_种 答案 360 解析 甲校派 1 人，其余 5 人分为(1,4)，(2,3)两组， 故有 C (C C )A 150(种)， 1 51 52 52 2 甲校派 2 人，其余 4 人分为(1,3)，(2,2)两组， 故有 C (C A C )140(种)， 2 51 42 22 4 甲校派 3 人，其余
21、 3 人分为(1,2)一组， 故有 C C A 60(种)， 3 51 32 2 甲校派 4 人，共余 2 人分为(1,1)一组， 故有 C A 10(种)， 4 52 2 根据分类计数原理，可得共有 1501406010360(种)分配方案 命题点 2 相间问题 例 4 某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目，2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则 同类节目不相邻的排法种数是_ 答案 120 解析 先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空安排小品节目和相声节目的顺 序有三种：“小品 1，小品 2，相声”“小品 1，相声，小品 2”和“相声，小品 1，小品 2” 对于第一种情况，
22、形式为“小品 1 歌舞 1 小品 2相声” ，有 A C A 36(种)安排方 2 21 32 3 法 ； 同理，第三种情况也有 36 种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成 4 个空，其形式 为“小品 1相声小品 2” ，有 A A 48(种)安排方法，故共有 363648120(种)安 2 23 4 排方法 命题点 3 特殊元素(位置)问题 例 5 大数据时代出现了滴滴打车服务， 二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存 在某城市关系要好的 A，B，C，D 四个家庭各有两个孩子共 8 人，他们准备使用滴滴打车 软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐 4 名(乘同一辆车的 4 个
23、孩子不考虑位置)， 其中 A 家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 个孩子恰有 2 个来自于同一个家庭的 乘坐方式共有_种 答案 24 解析 根据题意，分两种情况讨论： A 家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三 个家庭中任选 2 个，再从每个家庭的 2 个孩子中任选一个来乘坐甲车， 有 C C C 12(种)乘坐方式； 2 31 21 2 A 家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选 1 个，让其 2 个孩子都在甲 车上， 对于剩余的两个家庭， 从每个家庭的 2 个孩子中任选一个来乘坐甲车， 有 C C C 1 31 21 2 12(
24、种)乘坐方式， 故共有 121224(种)乘坐方式 思维升华 解排列、组合问题要遵循的两个原则 按元素(位置)的性质进行分类； 按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先 满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置) 跟踪训练 3 (1)把 5 件不同的产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不 相邻，则不同的摆法有_种 答案 36 解析 将产品 A 与 B 捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有 A A 种方法，将 2 24 4 产品 A，B，C 捆绑在一起，且 A 在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有 A A 种
25、方 2 23 3 法于是符合题意的摆法共有 A A A A 36(种) 2 24 42 23 3 (2)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要 求服务队中至少有 1 名女生，则共有_种不同的选法(用数字作答) 答案 660 解析 方法一 只有 1 名女生时，先选 1 名女生，有 C 种方法；再选 3 名男生，有 C 种方 1 23 6 法 ； 然后排队长、副队长位置，有 A 种方法由分步计数原理知，共有 C C A 480(种)选法 2 41 23 62 4 有 2 名女生时，再选 2 名男生，有 C 种方法；然后排队长、副队
26、长位置，有 A 种方法由 2 62 4 分步计数原理知，共有 C A 180(种)选法所以依据分类计数原理知，共有 480180 2 62 4 660(种)不同的选法 方法二 不考虑限制条件，共有 A C 种不同的选法， 2 82 6 而没有女生的选法有 A C 种， 2 62 4 故至少有 1 名女生的选法有 A C A C 840180660(种) 2 82 62 62 4 1“中国梦”的英文翻译为“China Dream” ，其中 China 又可以简写为 CN，从“CN Dream” 中取6个不同的字母排成一排， 含有 “ea” 字母组合(顺序不变)的不同排列共有_ 种 答案 600
27、解析 从其他 5 个字母中任取 4 个，然后与“ea”进行全排列，共有 C A 600(种)不同的排 4 55 5 列方式 2用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为_ 答案 72 解析 由题意可知，五位数要为奇数，则个位数只能是 1,3,5.分为两步：先从 1,3,5 三个数中 选一个作为个位数有 C 种选法，再将剩下的 4 个数字排列有 A 种排法，则满足条件的五位 1 34 4 数有 C A 72(个) 1 34 4 3某小区有排成一排的 7 个车位，现有 3 辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的 4 个车 位连在一起，那么不同的停放方法的种数为_ 答案
28、24 解析 将 4 个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排 3 辆不同型号的车，在 3 个车位上任意 排列， 有A 6(种)排法， 再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中， 有4种方法， 故共有46 3 3 24(种)方法 4安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排 方式共有_种 答案 36 解析 由题意可知，其中 1 人必须完成 2 项工作，其他 2 人各完成 1 项工作，可得安排方式 为 C C A 36(种)，或列式为 C C C 3236(种) 1 32 42 21 32 41 2 4 3 2 5从 A，B，C，D，E，F 这 6 种
29、不同的花朵中选出 4 种，插入 4 只不同的花瓶中展出，如 果第 1 只花瓶内不能插入 C，那么不同的插法种数为_ 答案 300 解析 由题意知， 当选出的四朵花不含有 C 时， 有 A 120(种)结果， 当选出的四朵花包含 C 4 5 时，先选出 3 朵花和 C 一起排列，C 有三种结果，余下的三朵花在三个位置全排列有 C C A 3 51 3 180(种)结果，根据分类计数原理得共有 120180300(种)不同的插法 3 3 6有 7 个座位连成一排，现有 4 人就坐，则恰有 2 个空座位相邻的不同坐法有_ 种(用数字作答) 答案 480 解析 根据题意，分 2 步进行分析： 将 4
30、人全排列，安排在 4 个座位上，有 A 24(种)情况，排好后，有 5 个空档可用； 4 4 将 3 个空座位分成 1,2 的两组， 将其安排在 5 个空档之中， 有 A 20(种)情况， 则恰有 2 2 5 个空座位相邻的不同坐法有 2420480(种) 7在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则 不同的选取方式的种数为_(用数字作答) 答案 120 解析 1 男 4 女，有 C C 45(种)选取方式； 1 34 6 2 男 3 女，有 C C 60(种)选取方式； 2 33 6 3 男 2 女，有 C C 15(种)选取方式； 3 32
31、6 共有 456015120(种)不同的选取方式 8在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖将这 8 张奖券分配给 4 个人，每 人 2 张，不同的获奖情况有_种(用数字作答) 答案 60 解析 分两类：第一类：3 张中奖奖券分给 3 个人，共 A 种分法； 3 4 第二类：3 张中奖奖券分给 2 个人，相当于把 3 张中奖奖券分两组再分给 4 人中的 2 人，共 有 C A 种分法 2 32 4 总获奖情况共有 A C A 60(种) 3 42 32 4 9(2018南通模拟)要从甲、乙等 8 人中选 4 人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们 发言中间恰好间隔一人，
32、那么不同的发言顺序共有_种(用数字作答) 答案 120 解析 先从除了甲、乙以外的 6 人中选一人，安排在甲、乙中间，有 C A 12(种)，把这三 1 62 2 个人看成一个整体，与从剩下的五人中选出的一个人全排列，有 C A 10(种)，故不同的发 1 52 2 言顺序共有 1210120(种) 10某宾馆安排 A，B，C，D，E 五人入住 3 个房间，每个房间至少住 1 人，且 A，B 不能住 同一房间，则共有_种不同的安排方法(用数字作答) 答案 114 解析 5 个人住 3 个房间，每个房间至少住 1 人，则有(3,1，1)和(2,2,1)两种，当为(3,1,1)时， 有 C A 6
33、0(种)，A，B 住同一房间有 C A 18(种)，故有 601842(种)，当为(2,2,1)时， 3 53 31 33 3 有A 90(种)，A，B 住同一房间有 C A 18(种)， C2 5C2 3 A2 2 3 32 33 3 故有 901872(种)， 根据分类计数原理可知，共有 4272114(种)不同的安排方法 11.某区有 7 条南北向街道，5 条东西向街道(如图所示) (1)图中共有多少个矩形？ (2)从点 A 到点 B 最近的走法有多少种？ 解 (1)在 7 条竖线中任选 2 条，5 条横线中任选 2 条，这样 4 条线可组成 1 个矩形，故可组 成矩形 C C 210(
34、个) 2 72 5 (2)每条东西向的街道被分成 6 段，每条南北向的街道被分成 4 段，从 A 到 B 最短的走法，无 论怎样走，一定包括 10 段，其中 6 段方向相同，另外 4 段方向相同，每种走法，即是从 10 段中选出 6 段，这 6 段是走东西方向的，共有 C C 210(种)走法(同样可从 10 段中选 4 6 104 10 段走南北方向，每种选法即是 1 种走法)，所以共有 210 种走法 12设 n3，nN*，在集合1,2，n的所有元素个数为 2 的子集中，把每个子集的较 大元素相加，和记为 a，较小元素之和记为 b. (1)当 n3 时，求 a，b 的值； (2)求证：对任
35、意的 n3，nN*， 为定值 b a (1)解 当 n3 时，集合1,2,3的所有元素个数为 2 的子集为1,2，1,3，2,3， 所以 a2338，b1124. (2)证明 当 n3，nN*时，依题意， b1C2C3C(n2)C(n1)C 1n11n21n31nn21nn1 a2C 3C 4C (n1)CnC 1 11 21 31n21n1 213243(n1)(n2)n(n1) 则 C C C C a 2 2 22 32 42 n C C C C 3 32 32 42 n C C C C. 3 42 42 n3n1 所以 a2C. 3n1 又 ab(123n)C(n1)3C， 1n1 nn
36、1 2 3n1 所以 bC， 3n1 所以 (定值) b a 1 2 137 人站成两排队列，前排 3 人，后排 4 人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人， 后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为_ 答案 360 解析 前排 3 人有 4 个空，从甲、乙、丙 3 人中选 1 人插入，有 C C 种方法，对于后排， 1 41 3 若插入的 2 人不相邻，有 A 种方法；若相邻，有 C A 种方法，故共有 C C (A C A ) 2 51 52 21 41 32 51 52 2 360(种)不同的加入方法 14设三位数 n，若以 a，b，c 为三条边的长可以构成一个等
37、腰(含等边)三角形，则这abc 样的三位数 n 有多少个？ 解 a，b，c 要能构成三角形的边长，显然均不为 0，即 a，b，c1,2,3，9若构 成等边三角形， 设这样的三位数的个数为 n1， 由于三位数中三个数字都相同， 所以 n1C 9 ； 1 9 若构成等腰(非等边)三角形， 设这样的三位数的个数为 n2， 由于三位数中只有 2 个不同数字， 设为 a，b，注意到三角形腰与底可以互换，所以可取的数组(a，b)共有 2C 组，但当大数为 2 9 底时，设 ab，必须满足 ba2b，此时，不能构成三角形的数字是 a98765432 b4,3,2,14,3,2,13,2,13,2,11,21
38、,211 共 20 种情况 同时， 每个数组(a， b)中的两个数字填上三个数位， 有 C 种情况， 故 n2C (2C 2 32 3 20)156. 2 9 综上，nn1n2165. 15在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现为其中的五 个参会国的人员安排酒店，这五个参会国的人员要在 a，b，c 三家酒店中任选一家，且这三 家都至少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有_种 答案 150 解析 这三家酒店入住的参会国数目有以下两种可能： 第一种，“2,2,1” ，其安排方法有90(种)； C2 5C2 3C1 1A3 3 A2 2 第二种，“3,1,1” ，其安排方法有60(种)， C3 5C1 2C1 1A3 3 A2 2 满足题意的安排方法共有 9060150(种) 16设集合 A(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7)|xi1,0,1，i1,2,3,4,5,6,7，那么集合 A 中 满足条件“1|x1|x2|x3|x7|4”的元素个数为_ 答案 938 解析 A 中元素为有序数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7)，题中要求有序数组的 7 个数中仅有 1 个1， 仅有 2 个1， 仅有 3 个1 或仅有 4 个1， 所以共有 C 2C 22C 23C 24 1 72 73 74 7 938(个)