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1、高考专题突破三 高考中的数列问题高考专题突破三 高考中的数列问题 题型一 子数列问题 例 1 设无穷数列an满足：nN*，anan，可知当 n2 时，anan1， 所以 anan11，所以 anam(nm)(m1. n k a 要使 q 最小，只需要 k2最小即可 若 k22，则由 a2 ，得 q ， 8 3 a2 a1 4 3 此时2 2 . 3 k a ( 4 3) 32 9 由 (n2)，解得 nN*，所以 k22. 32 9 2 3 10 3 同理 k23. 若 k24，则由 a44，得 q2，此时2n. n k a 因为 (kn2)， n k a 2 3 所以 (kn2)2n，即 k
2、n32n12， 2 3 所以对任何正整数n，是数列an的第32n12项， 且最小的公比q2， 则kn32n1 n k a 2(nN*) 题型二 新数列问题 例 2 (2018扬州模拟)对于数列xn，若对任意 nN*，都 有 xn2xn1xn1xn成立，则称 数列xn为“增差数列” 设 an，若数列 a4，a5，a6，an(n4，nN*)是“增 t3nn21 3n 差数列” ，则实数 t 的取值范围是_ 答案 ( 2 15，) 解析 数列 a4，a5，a6，an(n4，nN*)是“增差数列” ， 故得到 an2an2an1(n4，nN*)， 即 t3n2n221 3n2 t3nn21 3n 2(
3、n4，nN*)， t3n1n121 3n1 化简得到(2n24n1)t2(n4，nN*)， 即 t对于 n4 恒成立， 2 2n24n1 当 n4 时，2n24n1 有最小值 15， 故实数 t 的取值范围是. ( 2 15，) 思维升华 根据新数列的定义建立条件和结论间的联系是解决此类问题的突破口， 灵活对新数 列的特征进行转化是解题的关键 跟踪训练 2 (1)(2018江苏省海门中学考试)定义“等积数列” ，在一个数列中，如果每一项与 它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公 积已知数列an是等积数列且 a12，前 21 项的和为 62，则这个数列的公
4、积为_ 答案 0 或 8 解析 当公积为 0 时，数列 a12，a20，a360，a4a5a210 满足题意； 当公积不为 0 时，应该有 a1a3a5a212， 且 a2a4a6a20， 由题意可得，a2a4a6a206221140， 则 a2a4a6a204， 40 10 此时数列的公积为 248. 综上可得，这个数列的公积为 0 或 8. (2)(2018盐城模拟)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数： 1,1,2,3,5,8,13，.该数列的特点是 ： 前两个数都是 1，从第三个数起，每一个数都等于它前面 两个数的和， 人们把这样的一列数组成的数列称为 “斐波
5、那契数列” 若an是 “斐波那契数列” ， 则(a1a3a )(a2a4a )(a3a5a )(a2 017a2 019a)的值为_ 2 22 32 422 018 答案 1 解析 因为 a1a3a 12121， 2 2 a2a4a 13221， 2 3 a3a5a 25321， 2 4 a4a6a 38521， 2 5 ， a2 017a2 019a1， 22 018 共有 2 017 项，所以 (a1a3a )(a2a4a )(a3a5a )(a2 017a2 019a)1. 2 22 32 422 018 题型三 数列与不等式 例 3 已知数列an中，a1 ，其前 n 项的和为 Sn，且
6、满足 an(n2，nN*) 1 2 2S2 n 2Sn1 (1)求证：数列是等差数列； 1 Sn (2)证明：S1 S2 S3 Sn0，所以 Tn80， 780210 ( 3 4) 2 8 47 64 A9760. 50 2n 50 16 所以当且仅当 n4 时，BnAn. 答 至少经过 4 年， 该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润 3 (2018扬州期末)已知数列an与bn的前n项和分别为An和Bn， 且对任意nN*， an1an 2(bn1bn)恒成立 (1)若 Ann2，b12，求 Bn； (2)若对任意 nN*，都有 anBn及3，所以 b13， (1 1
7、2n11) 即正实数 b1的取值范围是(3，) 4若正项数列an的前 n 项和为 Sn，首项 a11，点 P(，Sn1)在曲线 y(x1)2上Sn (1)求数列an的通项公式 an； (2)设 bn， Tn表示数列bn的前 n 项和， 若 Tna 恒成立， 求 Tn及实数 a 的取值范围 1 anan1 解 (1)由 Sn1(1)2，得1，SnSn1Sn 所以数列是以为首项，1 为公差的等差数列，SnS1 所以(n1)1n，即 Snn2，SnS1 由 anError! 得 anError!所以 an2n1(nN*) (2)因为 bn 1 anan1 1 2n12n1 ， 1 2( 1 2n1
8、1 2n1) 所以 Tnb1b2bn 1 2(1 1 3)( 1 3 1 5)( 1 2n1 1 2n1) ， 1 2(1 1 2n1) 显然 Tn是关于 n 的增函数， 所以 Tn有最小值(Tn)minT1 . 1 2 (1 1 3) 1 3 由于 Tna 恒成立，所以 a ， 1 3 于是 a 的取值范围是. (， 1 3 5设等比数列 a1，a2，a3，a4的公比为 q，等差数列 b1，b2，b3，b4的公差为 d，且 q1，d0. 记 ciaibi (i1,2,3,4) (1)求证：数列 c1，c2，c3不是等差数列； (2)设 a11，q2.若数列 c1，c2，c3是等比数列，求 b
9、2关于 d 的函数关系式及其定义域； (3)数列 c1，c2，c3，c4能否为等比数列？并说明理由 (1)证明 假设数列 c1，c2，c3是等差数列， 则 2c2c1c3，即 2.(a2b2)(a1b1)(a3b3) 因为 b1，b2，b3是等差数列，所以 2b2b1b3.从而 2a2a1a3. 又因为 a1，a2，a3是等比数列，所以 a a1a3. 2 2 所以 a1a2a3，这与 q1 矛盾，从而假设不成立 所以数列 c1，c2，c3不是等差数列 (2)解 因为 a11，q2，所以 an2n1. 因为 c c1c3，所以 2 ， 2 2 (2b2)(1b2d)(4b2d) 即 b2d23
10、d， 由 c22b20，得 d23d20， 所以 d1 且 d2. 又 d0，所以 b2d23d，定义域为 Error!. (3)解 设 c1，c2，c3，c4成等比数列，其公比为 q1， 则Error! 将2得，a1(q1)2c1(q11)2， 将2得，a1q 2c1q12， (q1)(q11) 因为 a10，q1，由得 c10，q11. 由得 qq1，从而 a1c1. 代入得 b10.再代入，得 d0，与 d0 矛盾 所以 c1，c2，c3，c4不成等比数列 6已知各项均不相等的等差数列an的前三项和为 9， 且 a1， a3， a7恰为等比数列bn的前三项 (1)分别求数列an，bn的前
11、 n 项和 Sn，Tn； (2)记数列anbn的前 n 项和为 Kn，设 cn，求证：cn1cn(nN*) SnTn Kn (1)解 设数列an的公差为 d， 则Error! 解得Error!或Error!(舍去)， 所以 ann1，Sn. nn3 2 又 b1a12，b2a34， 所以 bn2n，Tn2n12. (2)证明 因为 anbn(n1)2n， 所以 Kn221322(n1)2n， 所以 2Kn222323n2n(n1)2n1， 得Kn22122232n(n1)2n1， 所以 Knn2n1. 则 cn， SnTn Kn n32n 1 2n1 cn1cn n42n1 1 2n2 n32n 1 2n1 0， 2n1n2 2n2 所以 cn1cn(nN*)