《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第十二章 系列4选讲 12.3 第2课时含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第十二章 系列4选讲 12.3 第2课时含解析.pdf（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第第 2 课时 不等式的证明课时 不等式的证明 考情考向分析 本节主要考查不等式的证明方法及柯西不等式的简单应用， 以解答题的形式 出现，属于低档题 1不等式证明的方法 (1)比较法 作差比较法 知道 abab0，ab，只要证明 ab0 即可，这种方法称为 作差比较法 作商比较法 由 ab0 1 且 a0，b0，因此当 a0，b0 时，要证明 ab，只要证明 1 即可，这种方 a b a b 法称为作商比较法 (2)综合法 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不 等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法 (3)分析法 从待证不等式出发，逐
2、步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的 不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即 “执果索因”的方法 (4)反证法和放缩法 先假设要证的命题不成立， 以此为出发点， 结合已知条件， 应用公理、 定义、 定理、 性质等， 进行正确的推理， 得到和命题的条件(或已证明的定理、 性质、 明显成立的事实等)矛盾的结论， 以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法 在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简并使它与不 等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法 (5)数学归纳法
3、 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0的所有正整数 n 都成立时，可以用以下两 个步骤： 证明当 nn0时命题成立； 假设当 nk (kN*，且 kn0)时命题成立，证明 nk1 时命题也成立 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0的所有正整数都成立这种证明方法 称为数学归纳法 2几个常用的不等式 (1)柯西不等式 柯西不等式的代数形式 ： 设 a， b， c， d 都是实数， 则(a2b2)(c2d2)(acbd)2(当且仅当 ad bc 时，等号成立) 柯西不等式的向量形式：设 ， 是两个向量，则|，当且仅当 是零向量，或存 在实数 k，使 k 时，等号成立 柯西
4、不等式的三角形不等式：设 x1，y1，x2，y2，x3，y3R，则 x 1x22y1y22 . x 2x32y2y32 x 1x32y1y32 柯西不等式的一般形式：设 n 为大于 1 的自然数，ai，bi(i1,2，n)为实数，则(a a 2 12 2 a )(b b b )(a1b1a2b2anbn)2， 等号当且仅当时成立(当 2 n2 12 22 n b1 a1 b2 a2 bn an ai0 时，约定 bi0，i1,2，n) (2)算术几何平均不等式 若 a1，a2，an为正数，则，当且仅当 a1a2an时，等号 a1a2an n n a1a2an 成立 题组一 思考辨析 1判断下列
5、结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)用反证法证明命题“a，b，c 全为 0”时，假设为“a，b，c 全不为 0” ( ) (2)若1，则 x2yxy.( ) x2y xy (3)若 a，b 为正实数，ab1，则 4.( ) 1 a 1 b (4)若实数 x，y 适合不等式 xy1，xy2，则 x0，y0.( ) 题组二 教材改编 2P12 例 1不等式：x233x；a2b22(ab1)； 2，其中恒成立的是 b a a b _(填序号) 答案 解析 由得x233x 2 0， 所以x233x恒成立 ； 对于， 因为a2b22(ab (x 3 2) 3 4 1)(a1)2(b1)20，所
6、以不等式成立；对于，因为当 abb1，xa ，yb ，则 x 与 y 的大小关系是_ 1 a 1 b 答案 xy 解析 xya ab.由 ab1，得 ab1，ab0， 1 a (b 1 b) ba ab abab1 ab 所以0，即 xy0，所以 xy. abab1 ab 4 P37 习题 T1设 a， b， m， nR， 且 a2b25， manb5， 则的最小值为_m2n2 答案 5 解析 根据柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得 255(m2n2)，m2n25， m2n2 的最小值为 . 5 题组三 易错自纠 5已知 a，b，c 是正实数，且 abc1，则 的最小值为_
7、1 a 1 b 1 c 答案 9 解析 把 abc1 代入到 中， 1 a 1 b 1 c 得 abc a abc b abc c 3 ( b a a b) ( c a a c) ( c b b c) 32229， 当且仅当 abc 时，等号成立 1 3 6(2019徐州模拟)已知正数 a，b，c 满足 2a3b6c2，求 的最小值 3 a 2 b 1 c 解 由于 a，b，c0， 所以 3 a 2 b 1 c (a 3 2b3c)( 3 a 2 b 1 c) 2 ( a 3 a 3 2b 2 b 3c 1 c) ()227，333 当且仅当 ， a 3 a 3 2b 2 b 3c 1 c 即
8、 abc321 且 a，b，c0 时，等号成立 7已知实数 a，b，c 满足 a0，b0，c0，且 abc1. 证明：(1)(1a)(1b)(1c)8； (2) .abc 1 a 1 b 1 c 证明 (1)a0，b0，c0,1a2，a 1b2，1c2，bc (1a)(1b)(1c)88，abc 当且仅当 abc1 时，等号成立 (2) bcacab，a0，b0，c0， 1 a 1 b 1 c abbc22，ab2cb abac22，a2bca bcac22，abc2c abacbc，abc 即 .abc 1 a 1 b 1 c 题型一 用综合法与分析法证明不等式 例 1 (1)(2018南京
9、、盐城模拟)设 ab，求证：a46a2b2b44ab(a2b2) 证明 a46a2b2b44ab(a2b2) (a2b2)24ab(a2b2)4a2b2 (a2b22ab)2(ab)4. 因为 ab，所以(ab)40， 所以 a46a2b2b44ab(a2b2) (2)设 a，b，c0 且 abbcca1，求证：abc . 3 证明 因为 a，b，c0，所以要证 abc，3 只需证明(abc)23. 即证 a2b2c22(abbcca)3， 而 abbcca1， 故需证明 a2b2c22(abbcca)3(abbcca)， 即证 a2b2c2abbcca. 而 abbccaa2b2c2(当且仅
10、当 abc 时等号成立)， a2b2 2 b2c2 2 c2a2 2 所以原不等式成立 思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果” ，用分析法证明不等式是“执果索因” ，它们是 两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以 在实际应用时， 往往用分析法找思路， 用综合法写步骤， 由此可见， 分析法与综合法相互转化， 相互渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野 跟踪训练 1 已知 a0，b0，a3b32，证明： (1)(ab)(a5b5)4； (2)ab2. 证明 (1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6 (a3b3)22a3b3
11、ab(a4b4) 4ab(a4b42a2b2)4ab(a2b2)24. (2)因为(ab)3a33a2b3ab2b3 23ab(ab)2(ab)2， 3ab2 4 3ab3 4 所以(ab)38，因此 ab2. 题型二 用放缩法证明不等式 例 2 若 a，bR，求证：. |ab| 1|ab| |a| 1|a| |b| 1|b| 证明 方法一 当|ab|0 时，不等式显然成立 当|ab|0 时， 由 0，.上面不 1 k2 1 kk1 1 k2 1 kk1 1 k 2 k k1 1 k 2 k k1 等式中 kN*，k1； 利用函数的单调性； 真分数性质：“若 00，则 n(k1,2，n)，得
12、0)，且 xyz 的最大值为，求 a 的值 t 20 解 (1)由题意，知 g(x4)m2|x411|m2|x7|. 若 2f(x)g(x4)恒成立，则 2|x3|m2|x7|，即 m2(|x3|x7|) 而由绝对值三角不等式可得 2(|x3|x7|)2|(x3)(x7)|20， 当且仅当(x3)(x7)0 时等号成立 m20，故 m 的最大值 t 为 20. (2)实数 x，y，z 满足 2x23y26z2a(a0)， 由柯西不等式可得 (x)2(y)2(z)2236 ( 1 2) 2( 1 3) 2( 1 6) 2 2， ( 2x 1 2 3y 1 3 6z 1 6) 即 a1(xyz)2
13、，当且仅当 2x3y6z 时等号成立， xyz . a 又xyz 的最大值是1，1，a1. t 20 a 思维升华 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子 与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明 (2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a a a )(111)2 2 12 22 n ( 1 a2 1 1 a2 2 1 a2 n) n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件 跟踪训练 3 (1)已知函数 f(x)|x1|x3|，求 x 的取值范围，使 f(x)为常函数； (2)若 x，y，zR，x2y2z21
14、，求 mxyz 的最大值225 解 (1)f(x)|x1|x3|Error! 则当 x3,1时，f(x)为常函数 (2)由柯西不等式，得(x2y2z2)()2()2()2(xyz)2，225225 当且仅当时等号成立 x 2 y 2 z 5 所以|xyz|3，225 因此 m 的最大值为 3. 1(2018常镇模拟)已知 a，b，c 为正数，且 abc3，求的最3a13b13c1 大值 解 由柯西不等式可得 ()2(121212)()2()2()2312，3a13b13c13a13b13c1 6，3a13b13c1 当且仅当时取等号3a13b13c1 的最大值是 6.3a13b13c1 2已知
15、 xy1，求 2x23y2的最小值 解 由柯西不等式可知， (2x23y2)( 1 2) 2( 1 3) 2 2(xy)21， ( 2x 1 2 3y 1 3) 2x23y2 ，当且仅当 2x3y，即 x ，y 时，等号成立2x23y2的最小值为 . 6 5 3 5 2 5 6 5 3(2018江苏)若 x，y，z 为实数，且 x2y2z6，求 x2y2z2的最小值 证明 由柯西不等式，得(x2y2z2)(122222)(x2y2z)2. 因为 x2y2z6，所以 x2y2z24， 当且仅当 时，不等式取等号， x 1 y 2 z 2 此时 x ，y ，z ， 2 3 4 3 4 3 所以 x
16、2y2z2的最小值为 4. 4设 a，b，c，d 均为正数，且 abcd，证明： (1)若 abcd，则；abcd (2)是|ab|cd， 得()2()2.abcd 因此 .abcd (2)若|ab|cd， 由(1)得 ，即必要性成立；abcd 若 ，则()2()2，abcdabcd 即 ab2 cd2.abcd 因为 abcd，所以 abcd，于是 (ab)2(ab)24ab是|ab|1， 即 a 的取值范围是(1，) (2)由柯西不等式， 得42()2225 ( x 4) 2( y 5) 2(z 2) 2 2(xyz)2， (4 x 4 5 y 52 z 2) 即 251(xyz)2，当且
17、仅当 时等号成立 x 16 y 5 z 4 5|xyz|，5xyz5. xyz 的取值范围是5,5 6设 a，b，c 为正实数且 abc1. (1)求证：2abbcca ； c2 2 1 2 (2)求证：2. a2c2 b b2a2 c c2b2 a 证明 (1)因为 1(abc)2a2b2c22ab2bc2ca4ab2bc2cac2， 所以 2abbcca (4ab2bc2cac2) . c2 2 1 2 1 2 (2)因为， a2c2 b 2ac b b2a2 c 2ab c c2b2 a 2bc a 所以abc2a a2c2 b b2a2 c c2b2 a ( ac b ab c) (
18、ab c bc a) ( ac b bc a) ( c b b c) ( a c c a) ( a b b a) 2b2c2，当且仅当 abc 时取等号 7(2018江苏省盐城中学模拟)已知 ab0，且 ma. 1 abb (1)试利用基本不等式，求 m 的最小值 t； (2)若实数 x，y，z 满足 x24y2z2t，求证：|x2yz|3. (1)解 由三个数的基本不等式得 m(ab)b 1 abb 33 3 abb 1 abb (当且仅当 abb，即 b1，a2 时取“”)，故有 t3. 1 abb (2)证明 x24y2z23，由柯西不等式得 x2(2y)2z2(121212)(x2yz
19、)2 (当且仅当 时取“”)， x 1 2y 1 z 1 整理得(x2yz)29，即|x2yz|3. 8 已知函数 f(x)2|x2|3|x3|， 若函数 f(x)的最小值为 m， 正实数 a， b 满足 4a25bm， 求 的最小值，并求出此时 a，b 的值 1 a 1 b 解 依题意，f(x)Error! 当 x3 时，函数 f(x)有最小值 10， 故 4a25b10， 故 (4a25b) 1 a 1 b 1 10( 1 a 1 b) ， 1 10(29 25b a 4a b) 49 10 当且仅当时等号成立，此时 a ，b . 25b a 4a b 5 7 2 7 9已知 a，b，c
20、为正实数，且 abc2. (1)求证：abbcac ； 4 3 (2)若 a，b，c 都小于 1，求 a2b2c2的取值范围 (1)证明 abc2， a2b2c22ab2bc2ca4， 2a22b22c24ab4bc4ca8， 82a22b22c24ab4bc4ca6ab6bc6ac， 当且仅当abc时取等号， abbc ac . 4 3 (2)解 由题意可知，a2b2c22ab2bc2ca4， 4a2b2c2a2b2b2c2a2c23(a2b2c2)， 当且仅当abc时取等号， a2 b2c2 . 4 3 0a2.同理 bb2，cc2. a2b2c21，当 x1 时，得 2x1m,11 时，
21、不等式|x|x1|m 的解集为. 1m 2 ，m1 2 由题意知，原不等式的解集为0,1 0，1，解得 m1(舍) 1m 2 m1 2 m1. (2)证明 x2a22ax，y2b22by，z2c22cz，当且仅当 xa，yb，zc 时等号成立 三式相加，得 x2y2z2a2b2c22ax2by2cz. 由题意及(1)，知 x2y2z2a2b2c2m1， 22(axbycz)，axbycz1，不等式得证 12已知 a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，) (1)求 的最小值； x1 a x2 b 2 x1x2 (2)求证：(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2. (1)解 因为 a，b(0，
22、)，ab1， x1，x2(0，)， 所以 3 x1 a x2 b 2 x1x2 3x1 a x 2 b 2 x1x2 3336， 3 2 ab 3 2 ( ab 2) 2 3 8 当且仅当 且 ab，即 ab x1 a x2 b 2 x1x2 1 2 且 x1x21 时， 有最小值 6. x1 a x2 b 2 x1x2 (2)证明 方法一 由 a，b(0，)，ab1， x1，x2(0，)及柯西不等式，得 (ax1bx2)(ax2bx1) ()2()2()2()2ax1bx2ax2bx1 ( )2ax1ax2bx2bx1 (ab)2x1x2，x1x2x1x2 当且仅当，即 x1x2时取得等号 ax1 ax2 bx2 bx1 所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2. 方法二 因为 a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)， 所以(ax1bx2)(ax2bx1) a2x1x2abx abx b2x1x2 2 22 1 x1x2(a2b2)ab(x x ) 2 22 1 x1x2(a2b2)ab(2x1x2) x1x2(a2b22ab) x1x2(ab)2 x1x2， 当且仅当 x1x2时，取得等号 所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.