《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第1章 1.2 1.2.3 简单复合函数的导数含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第1章 1.2 1.2.3 简单复合函数的导数含解析.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、12.3简单复合函数的导数 对应学生用书 P11 已知函数 f(x)sin，g(x)(3x2)2. (2x 6) 问题 1：这两个函数是复合函数吗？ 提示：是复合函数 问题 2：试说明 g(x)(3x2)2是如何复合的？ 提示：函数 g(x)(3x2)2是由 g(u)u2，u3x2 复合而成的 问题 3：试求 g(x)(3x2)2，g(u)u2，u3x2 的导数 提示：g(x)(3x2)29x212x418x12.g(u)2u，u3. 问题 4：观察问题 3 中导数有何关系？ 提示：g(x)g(u)u. 若 yf(u)，uaxb，则 yxyuux，即 yxyua. 1求复合函数的导数，关键在于
2、分清函数的复合关系，选好中间变量 2利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单 3判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是 以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最 里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次四则运算而得到的 函数 对应学生用书P11 复合函数的求导 例 1 求下列函数的导数 (1)y； 1 (2x3)3 (2)ye0.05x1； (3)ycos(x)(其中 、 为常数)； (4)ylog2(53x) 思路点拨 先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数
3、的求导法则 求解 精解详析 (1)y(2x3) 是函数 yu ，u2x3 的复合函数， 1 (2x3)3 3 2 3 2 所以 yxyuux(u )(2x3) 3 2 u 23u 3(2x3) . 3 2 5 2 5 2 5 2 (2)ye0.05x1是函数 yeu，u0.05x1 的复合函数，所以 yxyuux(eu) (0.05x1) 0.05eu0.05e0.05x1. (3)ycos(x)是 ycos u，ux 的复合函数， 所以 yxyuux(cos u)(x) sin usin(x) (4)ylog2(53x)是 ylog2u，u53x 的复合函数， 所以 yxyuux(log2u
4、)(53x)3 1 uln 2 . 3 (53x)ln 2 3 (3x5)ln 2 一点通 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解求导回代” ，即 ： (1) 弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终 结果要将中间变量换成自变量 1若函数 f(x)ln ，则 f(x)_. 1 x 解析：f(x)ln 是 f(u)ln u 与 u 的复合函数， 1 x 1 x 所以 yxyuux(ln u) ( 1 x) . 1 u( 1 x2) 1 x 答案：1 x 2函数 ysin3xsin x3的导数为_ 解析：y(sin3xsin x3)(sin3x)(
5、sin x3) 3sin2xcos xcos x33x2 3sin2xcos x3x2cos x3. 答案：3sin2xcos x3x2cos x3 3求下列函数的导数： (1)ye2x23x；(2)y. 1 (13x)4 解：(1)yeu，u2x23x， 所以 yxyuuxeu(2x23x) eu(4x3)(4x3)e2x23x. (2)y(13x)4， 1 (13x)4 可设 yu4，u13x， yu4u5，ux3， yxyuux4u5(3)12(13x)5. 求导法则的综合应用 例 2 求下列函数的导数 (1)y31xsin(2x1)； (2)y. ln(2x1) 2x1 思路点拨 根据
6、导数的运算法则及复合函数的求导公式求解 精解详析 (1)y(31x)sin(2x1)31xsin(2x1) 31xln 3sin(2x1)31x2cos(2x1) 31x2cos(2x1)sin(2x1)ln 3 (2)yln(2x1) 2x1ln(2x1)(r(2x1) (r(2x1)2 22x1 2x1 ln(2x1)1 2(2x1) 1 22 2x1 2 2x1 ln(2x1) 2x1 2x1 . 2ln(2x1) (2x1)2x1 一点通 (1)利用加减乘除四则运算与复合生成函数的方法， 都能由基本初等函数生成 一些新的函数，认清这一点可帮助我们分析函数结构 (2)认清函数结构之后，不
7、要急于求导，应注意恰当利用代数、三角变换方法，化简函 数解析式，以达到准确套用法则，明确求导过程的目的 4若函数 f(x)xcos 2x，则 f(x)_. 解析：f(x)xcos 2xx(cos 2x) cos 2x2xsin 2x. 答案：cos 2x2xsin 2x 5求下列函数的导数： (1)y；(2)y sin2(1x) 2x1 x 1 2 解：(1)y(r(2x1)x 2x1x x2 x 2x1 2x1 x2 . 1x x22x1 (2)y sin2(1x) 1cos(22x) 1 2 1 4 cos(22x) cos(2x2) 1 4 1 4 1 4 1 4 y sin(2x2)
8、1 2 复合函数导数的应用 例 3 已知函数 f(x)ax22ln(2x)(aR)， 设曲线 yf(x)在点(1， f(1)处的切线为 l， 若 l 与圆 C：x2y2 相切，求 a 的值 1 4 思路点拨 求函数f(x)的导数 求f(1)得切 线l的斜率 写出直线l的 点斜式方程 由l与圆C相切列方程 .解方程求a 精解详析 f(x)a(x2)2(2x) 1 2x 2ax， 2 2x f(1)2a2，又 f(1)a2ln 1a， 切线 l 的方程为 ya2(a1)(x1)， 即 2(a1)xya20. 直线 l 与圆 C：x2y2 相切， 1 4 圆心(0,0)到直线 l 的距离为 ， 1
9、2 所以有 ，解得 a. |2a| 4(a1)21 1 2 11 8 a 的值为. 11 8 一点通 有了复合函数的求导法则， 可以求导的函数类型更加丰富了 在实际应用中， 先要准确求出函数的导数， 然后注意切线的定义， 导数的几何意义以及直线方程的求法的综 合应用 6函数 ycos 2x 在点处的切线方程是_ ( 4，0) 解析：y2sin 2x，k2sin 2. 2 切线方程为 y02， (x 4) 即 2xy 0. 2 答案：2xy 0 2 7求 yln(2x3)的导数，并求在点处切线的倾斜角 ( 1 2，ln 2) 解：令 yln u，u2x3，则 yxyuux(ln u)(2x3)
10、2. 1 u 2 2x3 当 x 时，y1， 1 2 2 31 即在处切线的倾斜角的正切值为 1， ( 1 2，ln 2) 所以倾斜角为 . 4 8设曲线 yex(x0)在点 M(t，et)处的切线 l 与 x 轴，y 轴围成的三角形面积为 S(t) (1)求切线 l 的方程； (2)求 S(t)的解析式 解：yex， y(ex)ex， y|xtet. 故切线方程为 yetet(xt)， 即 xety(t1)0. (2)令 y0 得 xt1. 令 x0 得 yet(t1) S(t) (t1)et(t1) 1 2 (t1)2et(t0) 1 2 求复合函数导数的技巧及注意点 (1)对于分式、根式
11、、三角函数式、指数式、对数式的复合函数的导数，关键仍然在于 分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，熟用复合函数求导法则，迅速正确地求出导数 (2)在复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对 于经过多次复合及四则运算而成的复合函数， 可以直接应用公式和法则， 从最外层开始由表 及里逐层求异 (3)灵活运用复合函数的求导法则，正确地进行求导运算，树立多角度、换方位思考问 题的意识，达到优化解题思维、简化解题过程的目的 对应课时跟踪训练(五) 一、填空题 1设函数 f(x)sin(4x2)，则 f(x)_. 解析：f(x)sin(4x2)， f(x)sin(4x2)4c
12、os(4x2) 答案：4cos(4x2) 2(全国大纲卷改编)曲线 yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于_ 解析：yex1xex1，故曲线在点(1,1)处切线的斜率为 y|x12. 答案：2 3设曲线 yf(x)eax在点(0,1)处的切线与直线 x2y10 垂直，则 a_. 解析：切线与直线 x2y10 垂直， 切线的斜率 k2. 又f(x)(eax)aeax， kf(0)a2. 答案：2 4函数 yxsincos的导数为_ (2x 2) (2x 2) 解析：yxsincos sin(4x) sin 4x， (2x 2) (2x 2) x 2 x 2 ysin 4x(sin 4x) (
13、x 2) ( x 2) sin 4x2xcos 4x. 1 2 答案： sin 4x2xcos 4x 1 2 5已知直线 yx1 与曲线 yln(xa)相切，则 a 的值为_ 解析：设切点为(x0，y0)，则 y0x01， 且 y0ln(x0a)，所以 x01ln(x0a) 对 yln(xa)求导得 y， 1 xa 则1，x0a1， 1 x0a 由可得 x01，所以 a2. 答案：2 二、解答题 6求下列函数的导数 (1)y5log2(2x1)； (2)ycos( 7x)； 5 3 (3)y(2x1)5. 解：(1)设 ylog2u，u2x1. 则 yyuux2. 5 uln 2 10 uln
14、 2 10 (2x1)ln 2 (2)设 ycos u，u 7x. 5 3 则 yyuuxsin u(7)7sin. ( 5 37x) (3)设 yu5，u2x1， 则 yyuux5u4210u410(2x1)4. 7已知函数 f(x)ln(1x)xx2.求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程 解：f(x)12x. 1 1x 由于 f(1)ln 2，f(1) ， 3 2 所以曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 yln 2 (x1)， 3 2 即 3x2y2ln 230. 8已知 A(1，f(x)是函数 yf(x)的导函数图象上的一点，点 B 的坐标为(x，ln(2x)， 向量 a(1,1)，设 f(x)AB a，试求函数 yf(x)的表达式 解：AB (x，ln(2x)(1，f(1) (x1，ln(2x)f(1)， a(1,1)， f(x)AB ax1ln(2x)f(1) ln(2x)xf(1)1 f(x)(2x)11， 1 2x 1 x2 f(1)0， f(x)ln(2x)x1.