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1、2 充分条件与必要条件充分条件与必要条件 课后训练案巩固提升巩固提升 A 组 1.“x0,B=(x,y)|x+y-n0,那么点 P(2,3)A(UB)的充要条件 是( ) A.m-1,n-1,n5D.m5 解析:UB=(x,y)|x+y-n0, 点 P(2,3)A(UB),(2,3)A,且(2,3)UB,即 22-3+m0,且 2+3-n0,m-1,n0 时,方程 ax2+bx+c=0(a0)有两相异实根; =b2-4ac=0 时,方程有两相等实根,故上述结论均正确. 答案:C 4.下面命题中是真命题的是( ) A.x2,且 y3 是 x+y5 的充要条件 B.AB是 AB 的充分条件 C.b
2、2-4ac0 的解集为 R 的充要条件 D.一个三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形 解析:对于选项 A,x2,且 y3x+y5,但 x+y5 未必能推出 x2,且 y3,如 x=0,且 y=6 满足 x+y5,但不满足 x2, 故 A 为假命题. 对于选项 B,AB未必能推出 AB,如 A=1,2,B=2,3,故 B 为假命题. 对于选项 C,例如一元二次不等式-2x2+x-10 的解集为,但满足 b2-4ac1(仅对 q0 的情况讨论).故选 D. 答案:D 6.已知 p:ABS,q:(SB)(SA),则 p 是 q 的 条件. 解析:利用集合的图示法,如图,ABS(S
3、B)(SA),(SB)(SA)ABS. p 是 q 的充分条件,也是必要条件,即 p 是 q 的充要条件. 答案:充要 7.下列各小题中,p 是 q 的充要条件的是 .(填写正确命题的序号) p:m6;q:y=x2+mx+m+3 有两个不同的零点; p:=-1;q:y=f(x)是奇函数; p:cos =cos ;q:tan =tan ; p:AB=A;q:UBUA. 解析:若 y=x2+mx+m+3 有两个不同的零点,则 m2-4(m+3)0,解得 m6.反之也成立,故正确; 对于,函数 f(x)=sin x 是奇函数,它不全满足=-1,故不满足; 对于,当 =时,cos =cos 成立,但
4、tan =tan 不成立; 对于,AB=A,AB,UBUA,反之也成立,故正确. 答案: 8.是否存在实数 p,使“4x+p0”的充分条件?如果存在,求出 p 的取值范围. 解由 x2-x-20,得 x2 或 x2 或 x0,所以当 p4 时,“4x+p0”的充分条件. 9.导学号 90074004求关于 x 的方程 x2-mx+3m-2=0 的两根均大于 1 的充要条件. 解设方程的两根分别为 x1,x2,则原方程有两个大于 1 的根的充要条件是 即 又x1+x2=m,x1x2=3m-2, 故所求的充要条件为 m6+2. B 组 1.设 U 为全集,A,B 是集合,则“存在集合 C 使得 A
5、C,BUC”是“AB=”的( ) A.充分不必要的条件 B.必要不充分的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 解析: 如图可知,存在集合 C,使 AC,BUC,则有 AB=.若 AB=,显然存在集合 C.满足 AC,BUC.故选 C. 答案:C 2.已知 a,b 是实数,则“|a+b|=|a|+|b|”是“ab0”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析:因为|a+b|=|a|+|b|,等价于a2+2ab+b2=a2+2|ab|+b2,等价于|ab|=ab,等价于ab0.而由ab0不能推出ab0; 由 ab0 能推出 ab0.即由
6、|a+b|=|a|+|b|不能推出 ab0;由 ab0 能推出|a+b|=|a|+|b|.故选 B. 答案:B 3.函数 f(x)=x2+mx+1 的图像关于直线 x=1 对称的充要条件是( ) A.m=-2B.m=2 C.m=-1D.m=1 解析:当 m=-2 时,f(x)=x2-2x+1,其图像关于直线 x=1 对称,反之也成立,所以函数 f(x)=x2+mx+1 的图像关于直线 x=1 对称的充要条件是 m=-2. 答案:A 4.设 p 是 q 的充分不必要条件,r 是 q 的必要不充分条件,s 是 r 的充要条件,则 s 是 p 的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要
7、条件D.既不充分也不必要条件 解析:由题可知,pqrs,则 ps,sp,故 s 是 p 的必要不充分条件. 答案:B 5.方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负的实根的充要条件是( ) A.0b”是“a2b2”的充分不必要条件; “lg a=lg b”是“a=b”的必要不充分条件; 若 x,yR,则“|x|=|y|”是“x2=y2”的充要条件; “sin sin ”是“”的充分不必要条件. 其中真命题是 (填序号). 解析:因为 ab 推不出 a2b2,a2b2推不出 ab,所以“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条件;lg a=lg b 可 推出 a=b,但 a=b 推不出 lg a=
8、lg b,如 a=b=-2,所以 “lg a=lg b”是 “a=b”的充分不必要条件;易知正确;当 = ,= 时,sin =sin ,但 sin 推不出 ,反之 也推不出 sin sin ,所以“sin sin ” 是“”的既不充分也不必要条件. 答案: 7.导学号 90074005设 , 为平面,m,n,l 为直线,则对于下列条件:,=l,ml; =m,;,m;n,n,m. 其中为 m 的充分条件的是 .(将正确的序号都填上) 解析:,=l,mlm; =m,m; , 与 可能相交也可能平行,故 ,mm; 由 n,n 得 ,又 m,所以 m. 答案: 8.已知集合 A=,B=x|x+m21;
9、命题 p:xA,命题 q:xB,并且命题 p 是命题 q 的充 分条件,求实数 m 的取值范围. 解化简集合 A,由 y=x2- x+1, 配方,得 y=. x,ymin=,ymax=2. y.A=. 化简集合 B,由 x+m21, 得 x1-m2,B=x|x1-m2. 命题 p 是命题 q 的充分条件,AB. 1-m2,解得 m或 m-.实数 m 的取值范围是. 9.两个数列an和bn,满足 bn=(nN+).证明:bn为等差数列的充要条件是an为等差数 列. 证明必要性: 由已知得 a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)bn, 于是有 a1+2a2+3a3+(n-1)an-1=n(n-
10、1)bn-1(n2). -整理得 an=(n+1)bn-(n-1)bn-1(n2). 设bn的公差为 d,由已知得 a1=b1, 所以 an=(n+1)a1+(n-1)d-(n-1)a1+(n-2)d=(n+1)a1+(n+1)(n-1)d-(n-1)a1-(n-1)(n- 2)d=a1+(n-1), 故数列an是首项为 a1,公差为的等差数列. 充分性: 由已知得n(n+1)bn=a1+2a2+3a3+nan. (*) 设等差数列an的公差为 d,则 a1+2a2+3a3+nan=a1+2(a1+d)+3(a1+2d)+na1+(n-1)d =a1(1+2+3+n)+d(22-2+32-3+n2-n) =a1+d =a1+d. 再结合(*)式得 bn=a1+(n-1)d.故数列bn是以 a1为首项,以d 为公差的等差数列. 综上,bn为等差数列的充要条件是an为等差数列.