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1、3.2 空间向量基本定理 课后训练案巩固提升巩固提升 A 组 1.下列命题是真命题的有( ) 空间中的任何一个向量都可用 a,b,c 表示;空间中的任何一个向量都可用基底 a,b,c 表示;空间中的任何一 个向量都可用不共面的三个向量表示;平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示. A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个 解析:根据基底的含义可知是真命题. 答案:C 2.设命题 p:a,b,c 是三个非零向量;命题 q:a,b,c 为空间的一个基底,则命题 p 是命题 q 的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 解析:若 a,b,c 为非零
2、向量,则 a,b,c 不一定为空间的一个基底,但若 a,b,c 为空间的一个基底,则 a,b,c 肯定为非零 向量,所以 p 是 q 的必要不充分条件. 答案:B 3.已知 a,b,c 是不共面的三个向量,则下列选项中能构成空间一个基底的一组向量是( ) A.2a,a-b,a+2bB.2b,b-a,b+2a C.a,2b,b-cD.c,a+c,a-c 解析:设 a+2b=(2a)+(a-b),得 = ,=-2, 所以 2a,a-b,a+2b 共面.同理可得 B,D 选项中的三个向量分别共面,均不能构成空间的一个基底. 答案:C 4. 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,D 是四边形 BB1
3、C1C 的中心,且=a,=b,=c,则=( ) A. a+ b+ c B. a- b+ c C. a+ b- c D.- a+ b+ c 解析: )=c+ (-)=c- a+ (-c)+ b=- a+ b+ c. 答案:D 5.已知平行六面体 OABC-OABC中,=a,=b,=c.若 D 是四边形 OABC 的中心,则( ) A.=-a+b+c B.=-b+ a+ c C.a-b- c D.a+ c- b 解析: =-b+) =-b+a+c. 答案:B 6.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,M 为 AC 与 BD 的交点,若=a,=b,=c,且 f=- a+ b+c,k= a+ b
4、+c,h= a- b+c,则在 f,k,h 中与相等的向量是 . 解析:求与相等的向量,就是用基向量 a,b,c 线性表示)=- =- a+ b+c=f. 答案:f 7.如图,已知四面体 O-ABC,M 是 OA 的中点,G 是ABC 的重心,用基底表示向量的表达式 为 . 解析: )=- . 答案:- 8.如图,已知 ABCD-ABCD是平行六面体,设 M 是底面 ABCD 的对角线的交点,N 是侧面 BCCB对角线 BC上的 点,且分的比是 31,设=+,则 , 的值分别为 , , . 解析: =)+) =(-)+) =, =,=,=. 答案: 9.导学号90074030如图,已知PA平面
5、ABCD,四边形ABCD为正方形,G为PDC的重心, =i,=j,=k,试用基底 i,j,k 表示向量. 解 =) = =i+j-k. = = = =-i+j+k. B 组 1.在以下 3 个命题中,真命题的个数是( ) 三个非零向量 a,b,c 不能构成空间的一个基底,则 a,b,c 共面. 若两个非零向量 a,b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则 a,b 共线. 若 a,b 是两个不共线向量,而 c=a+b(,R 且 0),则a,b,c构成空间的一个基底. A.0B.1C.2D.3 解析:是真命题,是假命题. 答案:C 2. 如图,在四面体 O-ABC 中,=a,=b,=c,点
6、M 在 OA 上,且 OA=2OM,N 为 BC 中点,则等于( ) A. a- b+ c B.- a+ b+ c C. a+ b- c D.- a+ b- c 解析: )-=- a+ b+ c. 答案:B 3.已知 A-BCD 是四面体,O 为BCD 内一点,则)是 O 为BCD 的重心的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 解析:若 O 为BCD 的重心,则),反之也成立. 答案:C 4. 如图,若 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外的一点,且 G 为PCD 的重心,若=x+y+z,试求 x+y+z 的值. 解取 CD 的中点
7、H,连接 PH(图略).G 为PCD 的重心, . =)= =)+) = =. x=,y=,z=,x+y+z=. 5.在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形,ACB=90,EA平面 ABCD,EFAB,FGBC,EG AC,AB=2EF.若 M 是线段 AD 的中点,求证:GM平面 ABFE. 证明EFAB,FGBC,EGAC,ACB=90, EGF=90,ABCEFG. AB=2EF, AC=2EG. M 为 AD 的中点,MA=DA. . . 又 AF平面 ABFE,GM平面 ABFE, GM平面 ABFE. 6. 导学号 90074031如图,在平行六面体 ABCD-EFGH 中,已知 M,N,R 分别是 AB,AD,AE 上 的点,且 AM=MB,AN=ND,AR=2RE,求平面 MNR 分对角线 AG 所得的线段 AP 与 AG 的比. 解设=m,由=2+3,得=2m+3m. P,M,R,N 四点共面, 2m+m+3m=1,解得 m=,即.