《2019版二轮复习数学（理·普通生）通用版讲义：第一部分 第三层级 难点自选专题三 “圆锥曲线”压轴大题的抢分策略含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版二轮复习数学（理·普通生）通用版讲义：第一部分 第三层级 难点自选专题三 “圆锥曲线”压轴大题的抢分策略含解析.pdf（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、难点自选专题三 “圆锥曲线”压轴大题的抢分策略难点自选专题三 “圆锥曲线”压轴大题的抢分策略 全国卷全国卷 3 年考情分析年考情分析 年份年份全国卷全国卷全国卷全国卷全国卷全国卷 2018 直线的方程、直线与椭圆 的位置关系、 证明问题 直线的方程、直线与椭圆 的位置关系、 证明问题T19 直线的方程、直线与抛物 线的位置关系、圆的方 程 直线的方程、直线与抛物 线的位置关系、圆的方 程T19 直线与椭圆的位置关系、 等差数列的证明 直线与椭圆的位置关系、 等差数列的证明T20 2017 椭圆的标准方程、直线与 椭圆的位置关系、定点问 题 椭圆的标准方程、直线与 椭圆的位置关系、定点问 题T2
2、0 点的轨迹方程、椭圆方程、 向量的数量积等 点的轨迹方程、椭圆方程、 向量的数量积等T20 直线与抛物线的位置关 系、直线的方程、圆的方 程 直线与抛物线的位置关 系、直线的方程、圆的方 程T20 2016 轨迹方程求法、直线与椭 圆位置关系及范围问 题 轨迹方程求法、直线与椭 圆位置关系及范围问 题T20 直线与椭圆的位置关系、 面积问题、范围问题 直线与椭圆的位置关系、 面积问题、范围问题T20 证明问题、轨迹问题、直 线与抛物线的位置关 系 证明问题、轨迹问题、直 线与抛物线的位置关 系T20 解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之 一，在解答题中一
3、般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等试题难度较大，多以压轴题出现 解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之 一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等试题难度较大，多以压轴题出现 解答题的热点题型有：解答题的热点题型有： (1)直线与圆锥曲线位置关系；直线与圆锥曲线位置关系；(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；(3)圆锥 曲线中的判断与证明 圆锥 曲线中的判断与证明 考法考法策略策略(一一) 依据关系来证明 依据关系来证明 典例典例 (2018全国卷全国卷)设椭圆设椭圆C：y21的右焦点为的右焦点为F， 过，
4、 过F的直线的直线l与与C交于交于A， x2 2 B 两点，点两点，点 M 的坐标为的坐标为(2,0) (1)当当 l 与与 x 轴垂直时，求直线轴垂直时，求直线 AM 的方程；的方程； (2)设设 O 为坐标原点，证明：为坐标原点，证明：OMAOMB. 解解 (1)由已知得由已知得 F(1,0)，l 的方程为的方程为 x1. 则点则点 A 的坐标为或的坐标为或. (1， ， 2 2) (1， ， 2 2) 又又 M(2,0)， 所以直线所以直线 AM 的方程为的方程为 yx或或 yx， 2 2 2 2 2 2 即即 xy20 或或 xy20.22 (2)证明：当证明：当 l 与与 x 轴重合
5、时，轴重合时，OMAOMB0 . 当当 l 与与 x 轴垂直时，轴垂直时，OM 为为 AB 的垂直平分线，的垂直平分线， 所以所以OMAOMB. 当当 l 与与 x 轴不重合也不垂直时，设轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为的方程为 yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则则 x1b0)，点，点 O 为坐标原点，点为坐标原点，点 A 的坐标为的坐标为(a,0)，点，点 B x2 a2 y2 b2 的坐标为的坐标为(0，b)，点，点 M 在线段在线段 AB 上，满足上，满足|BM|2|MA|，直线，直线 OM 的斜率为的斜率为. 5 10 (1)求求 E 的离心率的离心率
6、e； (2)设点设点 C 的坐标为的坐标为(0，b)，N 为线段为线段 AC 的中点，证明：的中点，证明：MNAB. 解：解：(1)由题设条件知，点由题设条件知，点 M 的坐标为，的坐标为， ( 2 3a， ， 1 3b) 又又 kOM，从而，从而. 5 10 b 2a 5 10 进而得进而得 ab，c2b，故，故 e .5a2b2 c a 2 5 5 (2)证明 ： 由证明 ： 由 N 是是 AC 的中点知， 点的中点知， 点 N 的坐标为， 可得的坐标为， 可得.又又(a， ( a 2， ， b 2) NM ( a 6， ， 5b 6) AB b)， 从而有从而有 a2 b2 (5b2a2
7、)AB NM 1 6 5 6 1 6 由由(1)可知可知 a25b2， 所以所以0，故，故 MNAB.AB NM 考法考法策略策略(二二) 巧妙消元证定值 巧妙消元证定值 典例典例 已知椭圆 已知椭圆 C：1(ab0)，过，过 A(2,0)，B(0,1)两点两点 x2 a2 y2 b2 (1)求椭圆求椭圆 C 的方程及离心率；的方程及离心率； (2)设设 P 为第三象限内一点且在椭圆为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线上，直线 PA 与与 y 轴交于点轴交于点 M，直线，直线 PB 与与 x 轴 交于点 轴 交于点 N，求证：四边形，求证：四边形 ABNM 的面积为定值的面积为定值 解解 (
8、1)由题意得，由题意得，a2，b1， 所以椭圆所以椭圆 C 的方程为的方程为y21. x2 4 又又 c，所以离心率，所以离心率 e .a2b23 c a 3 2 (2)证明：设证明：设 P(x0，y0)(x00，y00)，则，则 x 4y 4. 2 02 0 又又 A(2,0)，B(0,1)， 所以直线所以直线 PA 的方程为的方程为 y(x2) y0 x02 令令 x0，得，得 yM， 2y0 x02 从而从而|BM|1yM1. 2y0 x02 直线直线 PB 的方程为的方程为 yx1. y01 x0 令令 y0，得，得 xN， x0 y01 从而从而|AN|2xN2. x0 y01 所以
9、四边形所以四边形 ABNM 的面积的面积 S |AN|BM| 1 2 1 2(2 x0 y01)(1 2y0 x02) x 2 0 4y2 04x0y04x0 8y04 2 x0y0x02y0 2 2. 2x0y02x04y04 x0y0x02y02 从而四边形从而四边形 ABNM 的面积为定值的面积为定值 题后悟通 解答圆锥曲线的定值问题的策略题后悟通 解答圆锥曲线的定值问题的策略 (1)从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关；从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关； (2)采用推理、计算、消元得定值消元的常用方法为整体消元采用推理、计算、消元得定值消元的常用方法为整体消元(
10、如本例如本例)、选择消元、对 称消元等 、选择消元、对 称消元等 应用体验应用体验 2(2019 届高三届高三湘东五校联考湘东五校联考)已知椭圆已知椭圆 C 的中心在原点，离心率等于 ，它的一个短的中心在原点，离心率等于 ，它的一个短 1 2 轴端点恰好是抛物线轴端点恰好是抛物线 x28y 的焦点的焦点3 (1)求椭圆求椭圆 C 的方程；的方程； (2)如图，已知如图，已知 P(2,3)，Q，Q(2，3)是椭圆上的两点，是椭圆上的两点，A，B 是椭圆 上位于直线 是椭圆 上位于直线 PQ 两侧的动点当Q 两侧的动点当 A，B 运动时，满足运动时，满足APQQBPQ， 试问直线 Q， 试问直线
11、AB 的斜率是否为定值？请说明理由的斜率是否为定值？请说明理由 解：解：(1)由题意知椭圆的焦点在由题意知椭圆的焦点在 x 轴上，轴上， 设椭圆设椭圆 C 的方程为的方程为1(ab0)， x2 a2 y2 b2 则则 b2 . 3 由 ，由 ，a2c2b2，得，得 a4， c a 1 2 椭圆椭圆 C 的方程为的方程为1. x2 16 y2 12 (2)直线直线 AB 的斜率是定值，理由如下：的斜率是定值，理由如下： 设设 A(x1，y1)，B(x2，y2) APQQBPQ，直线Q，直线 PA，PB 的斜率之和为的斜率之和为 0， 设直线设直线 PA 的斜率为的斜率为 k，则直线，则直线 PB
12、 的斜率为的斜率为k，直线，直线 PA 的方程为的方程为 y3k(x2)， 由由Error! 得得(34k2)x28k(32k)x4(32k)2480， x12， 8k 2k 3 3 4k2 将将 k 换成换成k 可得可得 x22， 8k 2k 3 3 4k2 8k 2k 3 3 4k2 x1x2，x1x2， 16k212 3 4k2 48k 3 4k2 kAB y1y2 x1x2 k x12 3k x22 3 x1x2 ， ， k x1x2 4k x1x2 1 2 直线直线 AB 的斜率为定值的斜率为定值 . 1 2 考法考法策略策略(三三) 构造函数求最值 构造函数求最值 典例典例 在 在
13、 RtABC 中，中，BAC90 ， ，A(0,2)，B(0，2)，S ABC .动点动点 P22 2 2 3 的轨迹为曲线的轨迹为曲线 E，曲线，曲线 E 过点过点 C 且满足且满足|PA|PB|的值为常数的值为常数 (1)求曲线求曲线 E 的方程的方程 (2)过点 Q过点 Q(2,0)的直线与曲线的直线与曲线 E 总有公共点，以点总有公共点，以点 M(0，3)为圆心的圆为圆心的圆 M 与该直线 总相切，求圆 与该直线 总相切，求圆 M 的最大面积的最大面积 解解 (1)由已知由已知|AB|4，2 S ABC |AB|AC|， 1 2 2 2 3 所以所以|AC| . 1 3 因为因为|PA
14、|PB|CA|CB|6|AB|4，2 所以曲线所以曲线 E 是以点是以点 A，B 为焦点的椭圆且为焦点的椭圆且 2a6,2c4 . 2 所以所以 a3，c2b1，2 所以曲线所以曲线 E 的方程为的方程为 x2 1. y2 9 (2)由题意可设直线方程为由题意可设直线方程为 yk(x2)， 联立联立Error!消去消去 y，得，得(9k2)x24k2x4k290， 则则 (4k2)24(9k2)(4k29)0，解得，解得 k23. 因为以点因为以点 M(0，3)为圆心的圆为圆心的圆 M 与该直线总相切，与该直线总相切， 所以半径所以半径 r. |2k 3| 1 k2 令令 r2f(k)， 2k
15、 3 2 1 k2 则则 f(k)4 2k 3 1k2 2k 2k 3 2 1 k2 2 . 2k 3 4 6k 1 k2 2 由由 f(k)0，得，得 k 或 或 k ， ， 2 3 3 2 当当 k 时符合题意，此时可得 时符合题意，此时可得 r. 2 3 |2k 3| 1 k2 13 即所求圆的面积的最大值是即所求圆的面积的最大值是 13. 题后悟通 最值问题的 2 种基本解法题后悟通 最值问题的 2 种基本解法 几何法几何法 根据已知的几何量之间的相互关系、 平面几何和解析几何知识加以解决的根据已知的几何量之间的相互关系、 平面几何和解析几何知识加以解决的(如 抛物线上的点到某个定点和
16、焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填 空题中经常考查 如 抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填 空题中经常考查) 代数法代数法 建立求解目标关于某个建立求解目标关于某个(或两个或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解决的变量的函数，通过求解函数的最值解决的(普 通方法、基本不等式方法、导数方法 普 通方法、基本不等式方法、导数方法(如本例如本例)等等) 应用体验应用体验 3(2018合肥一检合肥一检)在平面直角坐标系中，圆在平面直角坐标系中，圆 O 交交 x 轴于点轴于点 F1，F2，交，交 y 轴于点轴于点 B1，B2. 以以 B1，B2为顶点，为顶点，F
17、1，F2分别为左、右焦点的椭圆分别为左、右焦点的椭圆 E 恰好经过点恰好经过点. (1， ， 2 2) (1)求椭圆求椭圆 E 的方程；的方程； (2)设经过点设经过点(2,0)的直线的直线 l 与椭圆与椭圆 E 交于交于 M，N 两点，求两点，求F2MN 面积的最大值面积的最大值 解：解：(1)由已知可得，椭圆由已知可得，椭圆 E 的焦点在的焦点在 x 轴上轴上 设椭圆设椭圆 E 的标准方程为的标准方程为1(ab0)， x2 a2 y2 b2 焦距为焦距为 2c，则，则 bc， a2b2c22b2， 椭圆椭圆 E 的方程为的方程为1. x2 2b2 y2 b2 又椭圆又椭圆 E 过点，过点，
18、1，解得，解得 b21. (1， ， 2 2) 1 2b2 1 2 b2 椭圆椭圆 E 的方程为的方程为y21. x2 2 (2)点点(2,0)在椭圆在椭圆 E 外，直线外，直线 l 的斜率存在的斜率存在 设直线设直线 l 的方程为的方程为 yk(x2)，M(x1，y1)，N(x2，y2) 由由Error!消去消去 y 得，得， (12k2)x28k2x8k220. 由由 0，得，得 0b0)，四点，四点 P1(1,1)，P2(0，1)，P3 x2 a2 y2 b2 ，P4中恰有三点在椭圆中恰有三点在椭圆 C 上上 ( 1， ， 3 2) (1， ， 3 2) (1)求求 C 的方程；的方程；
19、 (2)设直线设直线 l 不经过不经过 P2点且与点且与 C 相交于相交于 A，B 两点若直线两点若直线 P2A 与直线与直线 P2B 的斜率的和 为 的斜率的和 为1，证明：，证明：l 过定点过定点 解解 (1)由于由于 P3，P4两点关于两点关于 y 轴对称，轴对称， 故由题设知椭圆故由题设知椭圆 C 经过经过 P3，P4两点两点 又由又由知，椭圆知，椭圆 C 不经过点不经过点 P1， 1 a2 1 b2 1 a2 3 4b2 所以点所以点 P2在椭圆在椭圆 C 上上 因此因此Error!解得解得Error! 故椭圆故椭圆 C 的方程为的方程为y21. x2 4 (2)证明：设直线证明：设
20、直线 P2A 与直线与直线 P2B 的斜率分别为的斜率分别为 k1，k2. 如果如果 l 与与 x 轴垂直， 设轴垂直， 设 l： xt， 由题设知， 由题设知 t0， 且， 且|t|0. 设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则则 x1x2，x1x2. 8km 4k21 4m24 4k21 而而 k1k2 y11 x1 y21 x2 kx1m1 x1 kx2m1 x2 . 2kx1x2 m1 x1x2 x1x2 由题设由题设 k1k21， 故故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0. 即即(2k1)(m1)0. 4m24 4k21 8km 4k21 解得解得 m2k1. 当且仅当当且
21、仅当 m1 时，时，0，于是，于是 l：ykx2k1k(x2)1， 所以所以 l 过定点过定点(2，1) 题后悟通题后悟通 直线过定点问题的解题模型 直线过定点问题的解题模型 应用体验应用体验 5(2018贵阳摸底考试贵阳摸底考试)过抛物线过抛物线 C：y24x 的焦点的焦点 F 且斜率为且斜率为 k 的直线的直线 l 交抛物线交抛物线 C 于于 A，B 两点，且两点，且|AB|8. (1)求求 l 的方程；的方程； (2)若若 A 关于关于 x 轴的对称点为轴的对称点为 D，求证：直线，求证：直线 BD 过定点，并求出该点的坐标过定点，并求出该点的坐标 解 ：解 ： (1)易知点易知点 F
22、的坐标为的坐标为(1,0)，则直线，则直线 l 的方程为的方程为 yk(x1)，代入抛物线方程，代入抛物线方程 y24x 得得 k2x2(2k24)xk20， 由题意知由题意知 k0，且，且 (2k24)24k2k216(k21)0， 设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， x1x2，x1x21， 2k24 k2 由抛物线的定义知由抛物线的定义知|AB|x1x228， 6，k21，即，即 k1， 2k24 k2 直线直线 l 的方程为的方程为 y(x1)， 即即 xy10 或或 xy10. (2)证明 ： 由抛物线的对称性知，证明 ： 由抛物线的对称性知， D 点的坐标为点的坐标为(x1，
23、 ， y1)， 直线， 直线 BD 的斜率的斜率 kBD y2y1 x2x1 ， y2y1 y2 2 4 y 2 1 4 4 y2y1 直线直线 BD 的方程为的方程为 yy1(xx1)， 4 y2y1 即即(y2y1)yy2y1y 4x4x1， 2 1 y 4x1，y 4x2，x1x21， 2 12 2 (y1y2)216x1x216， 即即 y1y24(y1，y2异号异号)， 直线直线 BD 的方程为的方程为 4(x1)(y1y2)y0，恒过点，恒过点(1,0) 考法考法策略策略(六六) 假设存在定结论 假设存在定结论(探索性问题探索性问题) 典例典例 已知椭圆 已知椭圆 C：1(ab0)
24、的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 F1，F2，其离心率为 ，其离心率为 ， x2 a2 y2 b2 1 2 短轴长为短轴长为 2 . 3 (1)求椭圆求椭圆 C 的标准方程；的标准方程； (2)过定点过定点M(0,2)的直线的直线l与椭圆与椭圆C交于交于G， H两点两点(G在在M， H之间之间)， 设直线， 设直线l的斜率的斜率k0， 在 ， 在 x 轴上是否存在点轴上是否存在点 P(m,0)，使得以，使得以 PG，PH 为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求 出 为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求 出 m 的取值范围；如果不存在，请说明理由的取值范围；如果不存在，请说明理由 解解 (
25、1)由已知，得由已知，得Error!解得解得Error! 所以椭圆所以椭圆 C 的标准方程为 的标准方程为 1. x2 4 y2 3 (2)设直线设直线 l 的方程为的方程为 ykx2(k0)， 联立联立Error!消去消去 y 并整理得，并整理得，(34k2)x216kx40，由，由 0，解得，解得 k . 1 2 设设 G(x1，y1)，H(x2，y2)，则，则 y1kx12，y2kx22，x1x2. 16k 4k23 假设存在点假设存在点 P(m,0)，使得以，使得以 PG，PH 为邻边的平行四边形为菱形，为邻边的平行四边形为菱形， 则则(x1x22m，k(x1x2)4)，PG PH (
26、x2x1，y2y1)(x2x1，k(x2x1)，GH ()0，PG PH GH 即即(1k2)(x1x2)4k2m0， 所以所以(1k2)4k2m0， 16k 4k23 解得解得 m. 2k 4k23 2 4k3 k 因为因为 k ，所以 ，所以m0，当且仅当 ，当且仅当 4k 时等号成立，时等号成立， 1 2 3 6 3 k 故存在满足题意的点故存在满足题意的点 P，且，且 m 的取值范围是的取值范围是. 3 6 ， ，0) 题后悟通题后悟通 探索性问题的解题策略 探索性问题的解题策略 探索性问题， 先假设存在， 推证满足条件的结论， 若结论正确， 则存在， 若结论不正确， 则不存在 探索性
27、问题， 先假设存在， 推证满足条件的结论， 若结论正确， 则存在， 若结论不正确， 则不存在 (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论当条件和结论不唯一时，要分类讨论 (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件 (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径 应用体验应用体验 6已知椭圆已知椭圆 C：1(ab0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 F1(1,0)，F2(1,0)，点，点 A x2 a2 y2 b2(1， ，
28、2 2) 在椭圆在椭圆 C 上上 (1)求椭圆求椭圆 C 的标准方程；的标准方程； (2)是否存在斜率为是否存在斜率为 2 的直线，使得当直线与椭圆的直线，使得当直线与椭圆 C 有两个不同交点有两个不同交点 M，N 时，能在直 线 时，能在直 线 y 上找到一点 上找到一点 P， 在椭圆， 在椭圆 C 上找到一点 Q， 满足？若存在， 求出直线的方程 ；上找到一点 Q， 满足？若存在， 求出直线的方程 ； 5 3 PM NQ Q 若不存在，说明理由若不存在，说明理由 解：解：(1)设椭圆设椭圆 C 的焦距为的焦距为 2c，则，则 c1， 因为因为 A在椭圆在椭圆 C 上，所以上，所以 2a|A
29、F1|AF2|2，因此，因此 a，b2a2c21， (1， ， 2 2) 22 故椭圆故椭圆 C 的方程为的方程为y21. x2 2 (2)不存在满足条件的直线，证明如下：不存在满足条件的直线，证明如下： 假设存在斜率为假设存在斜率为2的直线， 满足条件， 则设直线的方程为的直线， 满足条件， 则设直线的方程为y2xt， 设， 设M(x1， y1)， N(x2， y2)， P，Q，Q(x4，y4)，MN 的中点为的中点为 D(x0，y0)， (x 3， ，5 3) 由由Error!消去消去 x，得，得 9y22tyt280， 所以所以 y1y2 ，且 ，且 4t236(t28)0， 2t 9
30、故故 y0 ，且 ，且3t3. y1y2 2 t 9 由，得由，得(x4x2，y4y2)，PM NQ Q (x 1 x3， ，y15 3) 所以有所以有 y1 y4y2，y4y1y2 t . 5 3 5 3 2 9 5 3 也可由， 知四边形也可由， 知四边形 PMQ QN 为平行四边形， 而为平行四边形， 而 D 为线段为线段 MN 的中点， 因此，的中点， 因此， DPM NQ Q 也为线段也为线段 PQ 的中点，所以Q 的中点，所以 y0 ， ，Error! 5 3 y4 2 t 9 又又3t3，所以，所以 y41， 7 3 与椭圆上点的纵坐标的取值范围是与椭圆上点的纵坐标的取值范围是1,1矛盾矛盾 因此不存在满足条件的直线因此不存在满足条件的直线