《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第九章 平面解析几何 9.6 第2课时含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第九章 平面解析几何 9.6 第2课时含解析.pdf（16页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第第 2 课时 直线与椭圆课时 直线与椭圆 题型一 直线与椭圆的位置关系 例 1 (2019徐州模拟)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：1(ab0)的左、右焦 x2 a2 y2 b2 点分别为 F1，F2，点 P(3,1)在椭圆上，PF1F2的面积为 2 . 2 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)直线 yxk 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若以 AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数 k 的值 解 (1)由条件可知1， 9 a2 1 b2 2c1c2， 1 2 PF F S 1 2 2 又 a2b2c2，所以 a212，b24， 所以椭圆的标准方程为 1. x2 12 y2
2、4 (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由Error!得 4x26kx3k2120， 解得 x1,2， 6k 36k2163k2 12 8 则 x1x2，x1x2， 3k 2 3k212 4 y1y2(x1k)(x2k). k212 4 因为以 AB 为直径的圆经过坐标原点， 则x1x2y1y2k260，OA OB 解得 k，此时 1200，满足条件6 因此 k . 6 思维升华 研究直线与椭圆位置关系的方法 (1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个 数 (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点 跟踪训
3、练 1 (1)若直线 ykx1 与椭圆 1 总有公共点，则 m 的取值范围是_ x2 5 y2 m 答案 1,5)(5，) 解析 方法一 由于直线 ykx1 恒过点(0,1)， 所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上， 则 00 且 m5，m1 且 m5. (2)(2018江苏十校联考)已知椭圆 C：1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率 x2 a2 y2 b2 为 e.直线 l： yexa 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点， 设e，则该椭圆的离心率 e 为_AM AB 答案 51 2 解析 因为点 A，B 分别是直线 l： yexa
4、与 x 轴、y 轴的交点，所以点 A，B 的坐标分别是 ，(0，a) ( a e，0) Error!由 e 化简得，x22cxc20， c a 解得 M(c，aec)，由e得，AM AB e， (c a e，aec) ( a e，a) 即 aecea，即 e2e10， 解得 e或 e(舍去) 51 2 51 2 题型二 弦长及中点弦问题 命题点 1 弦长问题 例 2 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 y21 相交于 A，B 两点，则 AB 的最大值为_ x2 4 答案 4 10 5 解析 设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 直线 l 的方程为 yxt， 由Error!消
5、去 y，得 5x28tx4(t21)0， 则 x1,2， 4t 2 5t2 5 AB|x1x2|，1k2 4 2 5 5t2 当 t0 时，ABmax. 4 10 5 命题点 2 中点弦问题 例 3 已知 P(1,1)为椭圆 1 内一定点，经过 P 引一条弦，使此弦被 P 点平分，则此弦 x2 4 y2 2 所在的直线方程为_ 答案 x2y30 解析 易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为 k，弦所在的直线与椭圆相交于 A，B 两 点， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 1， x2 1 4 y2 1 2 1， x2 2 4 y2 2 2 得0， x 1x2 x 1x2 4 y 1
6、y2 y 1y2 2 x1x22，y1y22， y1y20，k . x1x2 2 y1y2 x1x2 1 2 此弦所在的直线方程为 y1 (x1)， 1 2 即 x2y30. 思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方 程联立，求出两根，结合已知条件，解决相关问题涉及中点弦的问题时用“点差法”解决， 往往会更简单 (2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB|x1x2|y1y2|(k1k21 1 k2 为直线斜率) (3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式 跟踪训练 2 (1)已知
7、椭圆 1 以及椭圆内一点 P(4，2)，则以 P 为中点的弦所在直线的斜 x2 36 y2 9 率为_ 答案 1 2 解析 设弦的端点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x28，y1y24，Error! 两式相减，得 0， x 1x2 x 1x2 36 y 1y2 y 1y2 9 所以， 2x1x2 9 4y1y2 9 所以 k . y1y2 x1x2 1 2 经检验，k 满足题意 1 2 (2)已知 F1(1,0)， F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点， 过 F2且垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 交于 A， B 两点，且 AB3，则椭圆 C 的方程为_ 答案 1 x2 4 y2
8、 3 解析 设椭圆 C 的方程为1(ab0)， 则 c1.因为过 F2且垂直于 x 轴的直线与椭圆交 x2 a2 y2 b2 于 A，B 两点，且 AB3，所以 ，b2a2c2，所以 a24，b2a2c2413，即椭 b2 a 3 2 圆 C 的方程为 1. x2 4 y2 3 题型三 椭圆与向量等知识的综合 例 4 已知椭圆 C：1(ab0)，e ，其中 F 是椭圆的右焦点，焦距为 2，直线 l 与椭 x2 a2 y2 b2 1 2 圆 C 交于点 A，B，线段 AB 的中点横坐标为 ，且(其中 1) 1 4 AF FB (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)求实数 的值 解 (1)由椭圆的
9、焦距为 2，知 c1，又 e ，a2， 1 2 故 b2a2c23， 椭圆 C 的标准方程为 1. x2 4 y2 3 (2)由，可知 A，B，F 三点共线，AF FB 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) 若直线 ABx 轴，则 x1x21，不符合题意； 当 AB 所在直线 l 的斜率存在时， 设 l 的方程为 yk(x1) 由Error!消去 y 得 (34k2)x28k2x4k2120.(*) (*)的判别式 64k44(4k23)(4k212)144(k21)0. x1,2， 8k2 144k2 1 24k2 3 4k2 6 k21 4k23 x1x22 ，k2 . 8k2 4k2
10、3 1 4 1 2 1 4 x1,2. 1 3 5 4 又(1x1，y1)，(x21，y2)，AF FB AF FB 即 1x1(x21)，又 1，. 1x1 x21 3 5 2 思维升华 一般地，在椭圆与向量等知识的综合问题中，平面向量只起“背景”或“结论”的 作用，几乎都不会在向量的知识上设置障碍，所考查的核心内容仍然是解析几何的基本方法 和基本思想 跟踪训练 3 已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1(1,0)， F2(1， 0)， 短轴的两个端点分别为 B1， B2. (1)若F1B1B2为等边三角形，求椭圆 C 的方程； (2)若椭圆 C 的短轴长为 2，过点 F2的直线 l 与椭圆
11、C 相交于 P，Q 两点，且，求F1P F1Q 直线 l 的方程 解 (1)F1B1B2为等边三角形， 则Error!Error!Error! 椭圆 C 的方程为3y21. 3x2 4 (2)易知椭圆 C 的方程为 y21， x2 2 当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x1，不符合题意； 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk(x1)， 由Error!得(2k21)x24k2x2(k21)0， 由已知得 0， 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则 x1,2， 4k2 16k44 2k21 2k2 1 22k2 1 所以 x1x2，x1x2， 4k2 2k21 2k2
12、1 2k21 (x11，y1)，(x21，y2)，F1P F1Q 因为，所以0，F1P F1Q F1P F1Q 即(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k21)(x1x2)k2 10， 7k21 2k21 解得 k2 ，即 k， 1 7 7 7 故直线 l 的方程为 xy10 或 xy10.77 1若直线 mxny4 与O：x2y24 没有交点，则过点 P(m，n)的直线与椭圆 1 x2 9 y2 4 的交点个数是_ 答案 2 解析 由题意知，2，即b0)的一条弦所在的直线方程是 xy50，弦的中点坐标是 x2 a2 y2 b2 M(4,
13、1)，则椭圆的离心率是_ 答案 3 2 解析 设直线与椭圆交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知 yM xM，代入 k1，M(4，1)，解得 ，e . b2 a2k b2 a2 1 4 1(b a) 2 3 2 5(2018南京模拟)已知椭圆 C：mx2y21(0b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2c.若直线 y(xc)与 x2 a2 y2 b2 3 椭圆 的一个交点 M 满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_ 答案 13 解析 直线 y(xc)过点 F1(c,0)， 且倾斜角为 60， 所以MF1F260， 从而MF2F13 30，
14、所以 MF1MF2. 在 RtMF1F2中，MF1c，MF2c，3 所以该椭圆的离心率 e1. 2c 2a 2c c 3c 3 9已知椭圆 C：1(ab0)的左焦点为 F，椭圆 C 与过原点的直线相交于 A，B 两点， x2 a2 y2 b2 连结 AF，BF，若 AB10，AF6，cosABF ，则椭圆 C 的离心率 e_. 4 5 答案 5 7 解析 设椭圆的右焦点为 F1，在ABF 中，由余弦定理可解得 BF8，所以ABF 为直角三 角形，且AFB90，又因为斜边 AB 的中点为 O，所以 OFc5，连结 AF1，因为 A，B 关于原点对称，所以 BFAF18，所以 2a14，a7，所以
15、离心率 e . 5 7 10已知直线 MN 过椭圆 y21 的左焦点 F，与椭圆交于 M，N 两点直线 PQ 过原点 O x2 2 与 MN 平行，且 PQ 与椭圆交于 P，Q 两点，则_. PQ2 MN 答案 2 2 解析 不妨取直线 MNx 轴，椭圆 y21 的左焦点 F(1,0)，令 x1，得 y2 ， x2 2 1 2 所以 y，所以 MN，此时 PQ2b2， 2 2 2 则2. PQ2 MN 4 2 2 11已知椭圆 C 的一个焦点为 F1(2,0)，相应准线为 x8，离心率 e . 1 2 (1)求椭圆 C 的方程； (2)求过另一个焦点且倾斜角为 45的直线截椭圆 C 所得的弦长
16、 解 (1)设点 P(x，y)为椭圆上一点， 由统一定义得 ， x22y2 |8x| 1 2 两边同时平方得 4(x2)2y2(8x)2， 化简得1. x2 16 y2 12 故椭圆 C 的方程为1. x2 16 y2 12 (2)设椭圆的另一个焦点为 F2(2,0)， 过 F2且倾斜角为 45的直线方程为 yx2， 与椭圆 x2 16 1 联立消去 y，得 7x216x320. y2 12 设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1,2，x1x2， 8 12 2 7 16 7 ABAF2BF2aex1aex22ae(x1x2) 24 (x1x2). 1 2 48 7
17、 12设椭圆1(ab0)的左焦点为 F，离心率为，过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆 x2 a2 y2 b2 3 3 截得的线段长为. 4 3 3 (1)求椭圆的方程； (2)设 A， B 分别为椭圆的左、 右顶点， 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C， D 两点， 若AC 8，O 为坐标原点，求OCD 的面积DB AD CB 解 (1)过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为， 4 3 3 所以. 2b2 a 4 3 3 因为椭圆的离心率为，所以 ， 3 3 c a 3 3 又 a2b2c2，可解得 b，c1，a.23 所以椭圆的方程为 1. x2 3 y2 2 (2)由(
18、1)可知 F(1,0)， 则直线 CD 的方程为 yk(x1) 联立Error! 消去 y 得(23k2)x26k2x3k260. 设 C(x1，y1)，D(x2，y2)， 所以 x1,2， 6k2 36k4423k2 3k 2 6 223k2 则 x1x2，x1x2. 6k2 23k2 3k26 23k2 又 A(，0)，B(，0)，33 所以AC DB AD CB (x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)3333 62x1x22y1y2 62x1x22k2(x11)(x21) 6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k2 68， 2k212 23k2 解得 k . 2 所
19、以式化为 2x23x0，x1 ，x20， 3 2 所以|x1x2| . 3 2 CD|x1x2|1k2 .12 3 2 3 3 2 而原点 O 到直线 CD 的距离为 d， |k| 1k2 2 12 6 3 所以OCD 的面积为 S CDd . 1 2 1 2 3 3 2 6 3 3 2 4 13正方形 ABCD 的四个顶点都在椭圆1 上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭 x2 a2 y2 b2 圆的离心率的取值范围是_ 答案 (0， 51 2 ) 解析 设正方形的边长为 2m，椭圆的焦点在正方形的内部，mc，又正方形 ABCD 的四 个顶点都在椭圆1 上， 1e2， 即 e43e210， e
20、2b0)短轴的端点为 P(0，b)，Q(0，b)，长轴的一个端点为 M，AB x2 a2 y2 b2 为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦， 若 PA， PB 的斜率之积等于 ， 则点 P 到直线 QM 1 4 的距离为_ 答案 b 4 5 5 解析 设 A(x0，y0)，则 B 点坐标为(x0，y0)， 则 ，即 ， y0b x0 y0b x0 1 4 y2 0b2 x2 0 1 4 由于1，则， x2 0 a2 y2 0 b2 y2 0b2 x2 0 b2 a2 故 ，则 ，不妨取 M(a,0)，则直线 QM 的方程为 bxayab0， b2 a2 1 4 b a 1 2 则点 P 到直线
21、 QM 的距离 db. |2ab| a2b2 2b 1(b a) 2 4 5 5 15平行四边形 ABCD 内接于椭圆 1，直线 AB 的斜率 k12，则直线 AD 的斜率 k2 x2 8 y2 4 _. 答案 1 4 解析 设 AB 的中点为 G，则由椭圆的对称性知，O 为平行四边形 ABCD 的对角线的交点， 则 GOAD. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有Error!两式相减得 ， x 1x2 x 1x2 8 y 1y2 y 1y2 4 整理得k12， x1x2 2y1y2 y1y2 x1x2 即 .又 G， y1y2 x1x2 1 4 ( x1x2 2 ，y 1y2 2 )
22、 所以 kOG ，即 k2 . y1y2 2 0 x1x2 2 0 1 4 1 4 16过椭圆1(ab0)上的动点 M 作圆 x2y2的两条切线，切点分别为 P 和 Q， y2 a2 x2 b2 b2 3 直线 PQ 与 x 轴和 y 轴的交点分别为 E 和 F，求EOF 面积的最小值 解 设 M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由题意知 PQ 斜率存在，且不为 0，所以 x0y00， 则直线 MP 和 MQ 的方程分别为 x1xy1y，x2xy2y.因为点 M 在 MP 和 MQ 上，所以 b2 3 b2 3 有 x1x0y1y0，x2x0y2y0，则 P，Q 两点的坐标满足方程 x0xy0y，所以直线 PQ b2 3 b2 3 b2 3 的方程为 x0xy0y，可得 E和 F， b2 3 ( b2 3x0，0) (0， b2 3y0) 所以 SEOF OEOF， 1 2 b4 18|x0y0| 因为 b2y a2x a2b2，b2y a2x 2ab|x0y0|， 2 02 02 02 0 所以|x0y0|，所以 SEOF， ab 2 b4 18|x0y0| b3 9a 当且仅当 b2y a2x 时取“” ， 2 02 0 a2b2 2 故EOF 面积的最小值为. b3 9a