《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第九章 平面解析几何 9.7含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第九章 平面解析几何 9.7含解析.pdf（22页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、9.7 双曲线 双曲线 考情考向分析 主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体研究参数 a，b，c 及与渐近 线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点以填空题的形式考查，难度为中低档解题时 应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法，能灵活应用双曲线的几何性质 1双曲线的定义 平面内到两个定点 F1， F2的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2的正数)的点的轨迹叫做双 曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程1(a0，b0) x2 a2 y2 b2 1(a0，b0) y2 a2 x2 b2 图形 范围xa 或 xa，yRxR，ya
2、或 ya 对称性 对称轴：x 轴，y 轴 对称中心：(0,0) 对称轴：x 轴，y 轴 对称中心：(0,0) 顶点 顶点坐标： A1(a,0)，A2(a,0) 顶点坐标： A1(0，a)，A2(0，a) 性 质 渐近线y x b a y x a b 离心率e ，e(1，) c a 实虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长 A1A22a； 线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长 B1B22b； a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系c2a2b2(ca0，cb0) 3.等轴双曲线 实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程为 x2y2(0)，离心率 e，渐近
3、2 线方程为 yx. 4双曲线的第二定义 平面内动点 P 到定点 F 的距离和它到定直线 l(点 F 不在直线 l 上)的距离的比是常数 e(e1)的 点的轨迹是双曲线 定点 F 是焦点， 定直线 l 是准线， 常数 e 是离心率 双曲线1(a0， x2 a2 y2 b2 b0)的准线方程为 x，双曲线1(a0，b0)的准线方程为 y. a2 c y2 a2 x2 b2 a2 c 概念方法微思考 1平面内与两定点 F1，F2的距离之差的绝对值等于常数 2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗？ 为什么？ 提示 当 2aF1F2时，动点的轨迹是两条射线； 当 2aF1F2时，动点的轨迹不存在； 当 2a
4、0 时，动点的轨迹是线段 F1F2的中垂线 2方程 Ax2By21 表示双曲线的充要条件是什么？ 提示 若 A0，B0，表示焦点在 y 轴上的双曲 线所以 Ax2By21 表示双曲线的充要条件是 AB0)表示焦点在 x 轴上的双曲线( ) x2 m y2 n (3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即 0.( ) x2 m2 y2 n2 x2 m2 y2 n2 x m y n (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )2 (5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是 e1，e2，则 x2 a2 y2 b2 x2 b2 y2 a2 1 e2 1 1 e2
5、2 1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)( ) 题组二 教材改编 2P48T15若双曲线1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线 x2 a2 y2 b2 的离心率为_ 答案 5 解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长， 双曲线的渐近线方程为 0， 即 bxay x a y b 0， 2ab.又 a2b2c2，5a2c2. bc a2b2 e25，e. c2 a2 5 3P58T7若双曲线 1 左支上的一点 P 到左焦点的距离为 15，则点 P 到右准线的距 x2 9 y2 16 离为_ 答案 63 5 解析 a3，b4，c5，e . 5 3 PF115，PF2PF1
6、2a15621， 点 P 到右准线的距离 d. PF2 e 63 5 4P48A 组 T7经过点 A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_ 答案 1 x2 15 y2 15 解析 设双曲线的方程为1(a0)， x2 a2 y2 a2 把点 A(4,1)代入，得 a215(舍负)， 故所求方程为1. x2 15 y2 15 题组三 易错自纠 5已知方程1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值 x2 m2n y2 3m2n 范围是_ 答案 (1,3) 解析 方程1 表示双曲线， x2 m2n y2 3m2n (m2n)(3m2n)0，解得m20，b0)的一条渐近
7、线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为 x2 a2 y2 b2 _ 答案 5 3 解析 由条件知 y x 过点(3，4)，4， b a 3b a 即 3b4a，9b216a2，9c29a216a2， 25a29c2，e . 5 3 7(2018南通模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x2 1 的一条渐近线与准线的交点 y2 4 到另一条渐近线的距离为_ 答案 4 5 解析 由题意，双曲线的一条渐近线 y2x 与右准线 x的交点为，其到另一 5 5 ( 5 5 ，2 5 5 ) 条渐近线 y2x 的距离为 . 4 5 题型一 双曲线的定义 例 1 (1)已知定点 F1(2,0)，F2(
8、2,0)，N 是圆 O：x2y21 上任意一点，点 F1关于点 N 的对 称点为 M，线段 F1M 的中垂线与直线 F2M 相交于点 P，则点 P 的轨迹是_ 答案 双曲线 解析 如图，连结 ON，PF1， 由题意可得 ON1，且 N 为 MF1的中点，又 O 为 F1F2的中点，MF22. 点 F1关于点 N 的对称点为 M，线段 F1M 的中垂线与直线 F2M 相交于点 P，由垂直平分线 的性质可得 PMPF1，|PF2PF1|PF2PM|MF220，b0) x2 a2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 由题意知，2b12，e ， c a 5 4 b6，c10，a8. 双曲线的标准方程为
9、1 或1. x2 64 y2 36 y2 64 x2 36 双曲线经过点 M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a12. 又 2c26，c13，b2c2a225. 双曲线的标准方程为1. y2 144 x2 25 设双曲线方程为 mx2ny21(mn0) Error!Error!解得Error!Error! 双曲线的标准方程为1. y2 25 x2 75 思维升华 求双曲线标准方程的方法 (1)定义法 (2)待定系数法 当双曲线焦点位置不确定时，设为 Ax2By21(AB0，b0)的一条渐近线方程为 yx，且与椭圆 1 有 x2 a2 y2 b2 5 2 x
10、2 12 y2 3 公共焦点，则 C 的方程为_ 答案 1 x2 4 y2 5 解析 由 yx，可得 . 5 2 b a 5 2 由椭圆 1 的焦点为(3,0)，(3,0)， x2 12 y2 3 可得 a2b29. 由可得 a24，b25. 所以 C 的方程为 1. x2 4 y2 5 题型三 双曲线的几何性质 命题点 1 与渐近线有关的问题 例 3 过双曲线1(a0， b0)的左焦点 F 作圆 O： x2y2a2的两条切线， 切点为 A， B， x2 a2 y2 b2 双曲线左顶点为 C，若ACB120，则双曲线的渐近线方程为_ 答案 yx3 解析 如图所示， 连结 OA， OB， 设双曲
11、线1(a0， b0)的焦距为 2c(c0)， 则 C(a,0)， x2 a2 y2 b2 F(c,0) 由双曲线和圆的对称性知， 点 A 与点 B 关于 x 轴对称， 则ACOBCO ACB 120 1 2 1 2 60. 因为 OAOCa，所以ACO 为等边三角形， 所以AOC60. 因为 FA 与圆 O 切于点 A，所以 OAFA， 在 RtAOF 中，AFO90AOF906030，所以 OF2OA，即 c2a， 所以 ba，c2a22a2a23 故双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为 y x，即 yx. x2 a2 y2 b2 b a 3 命题点 2 求离心率的值(或范围) 例 4 已知
12、双曲线 C：1(a0， b0)的左、 右焦点分别为 F1(c,0)， F2(c,0)， A， B 是圆(x x2 a2 y2 b2 c)2y24c2与 C 位于 x 轴上方的两个交点，且 F1AF2B，则双曲线的离心率为_ 答案 3 17 4 解析 由双曲线定义及题意得 AF22a2c，BF22c2a， 因为 F1AF2B， 所以F2F1AF1F2B180， 所以 cosF2F1AcosF1F2B， 则4c 24c22a2c2 2 2c 2c ， 4c22c2a24c2 2 2c 2c2a 化简得 2e23e10， 因为 e1，所以 e. 317 4 思维升华 1.求双曲线的渐近线的方法 求双
13、曲线 1(a0， b0)或 1(a0， b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0， x2 a2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 即令 0，得 y x； 或令 0，得 y x.反之，已知渐近线方程为 y x，可设 x2 a2 y2 b2 b a y2 a2 x2 b2 a b b a 双曲线方程为 (a0，b0，0) x2 a2 y2 b2 2求双曲线的离心率 (1)求双曲线的离心率或其范围的方法 求 a，b，c 的值，由1直接求 e. c2 a2 a2b2 a2 b2 a2 列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2c2a2消去 b，然后转化成关于 e 的 方程(或不等
14、式)求解 (2)双曲线的渐近线的斜率 k 与离心率 e 的关系：k . b a c2a2 a c2 a21 e21 跟踪训练 3 已知点 F1，F2是双曲线 C：1(a0，b0)的左、右焦点，O 为坐标原点， x2 a2 y2 b2 点 P 在双曲线 C 的右支上，且满足 F1F22OP，PF13PF2，则双曲线 C 的离心率的取值范 围是_ 答案 (1， 10 2 解析 由 F1F22OP， 可得 OPc， 故PF1F2为直角三角形， 且 PF1PF2， 则 PF PF F1F 2 12 2 . 2 2 由双曲线的定义可得 PF1PF22a，则 PF12aPF2，所以(PF22a)2PF 4
15、c2， 2 2 整理得(PF2a)22c2a2. 又 PF13PF2，即 2aPF23PF2，可得 PF2a， 所以 PF2a2a，即 2c2a24a2，可得 ca. 10 2 由 e ，且 e1，可得 1b0)的右焦点为 F， 短轴的一个端点为 M， 直线 l： 3x4y0 x2 a2 y2 b2 交椭圆 E 于 A，B 两点若 AFBF4，点 M 到直线 l 的距离不小于 ，则椭圆 E 的离心率 4 5 的取值范围是_ 答案 (0， 3 2 解析 设左焦点为 F0，连结 F0A，F0B，则四边形 AFBF0为平行四边形 AFBF4， AFAF04， a2. 设 M(0，b)，则 M 到直线
16、 l 的距离 d ， 4b 5 4 5 1b0，b0)， x2 a2 y2 b2 由已知，取 A 点坐标为，取 B 点坐标为，则 C 点坐标为且 (c， b2 a) (c， b2 a) (0， b2 2a) F1(c,0) 由 ACBF1知0， 又， 可得 2c2AC BF1 AC (c， 3b2 2a) BF1 (2c， b2 a) 3b4 2a2 0， 又 b2c2a2， 可得 3c410c2a23a40， 则有 3e410e230， 可得 e23 或 ， 又 e1， 1 3 所以 e . 3 1(2019江苏南京外国语学校月考)已知双曲线y21(a0)的一条准线为 x ，则该双 x2 a
17、2 3 2 曲线的离心率为_ 答案 2 3 3 解析 由 得 a，c2， a2 1a2 3 2 3 所以双曲线的离心率为 . c a 2 3 23 3 2(2018南京金陵中学期末)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线y21(m0)的一条渐近 x2 m2 线方程为 xy0，则实数 m 的值为_3 答案 3 解析 双曲线y21(m0)的渐近线方程为 y x， x2 m2 1 m ，m. 1 m 1 3 3 3若双曲线 x2 1 的焦点到渐近线的距离为 2，则实数 k 的值是_ y2 k 2 答案 8 解析 双曲线的一条渐近线方程为 yx， 一个焦点坐标为(， 0)， 由题意得kk1 kk1 k
18、1 2，解得 k8.2 4已知双曲线 C：1(a0，b0)的右焦点为 F，点 B 是虚轴的一个端点，线段 BF 与 x2 a2 y2 b2 双曲线 C 的右支交于点 A，若2，且|4，则双曲线 C 的方程为_BA AF BF 答案 1 x2 4 y2 6 解析 不妨设 B(0，b)，由2，F(c,0)，BA AF 可得 A，代入双曲线 C 的方程可得 1，即 ， ( 2c 3 ，b 3) 4 9 c2 a2 1 9 4 9 a2b2 a2 10 9 . b2 a2 3 2 又|4，c2a2b2，BF b2c2 a22b216， 由可得，a24，b26， 双曲线 C 的方程为 1. x2 4 y
19、2 6 5设 F1，F2分别为双曲线 1 的左、右焦点，过 F1引圆 x2y29 的切线 F1P 交双曲 x2 9 y2 16 线的右支于点 P，T 为切点，M 为线段 F1P 的中点，O 为坐标原点，则 MOMT_. 答案 1 解析 连结PF2， OT， 则有MO PF2 (PF12a) (PF16) PF13， MT PF1F1T 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 PF1 PF14，于是有 MOMT1. 1 2 c232 1 2 ( 1 2PF 13) (1 2PF 14) 6已知双曲线 x2 1 的左、右焦点分别为 F1，F2，双曲线的离心率为 e，若双曲线上存 y2 3 在一点
20、P 使e，则的值为_ sinPF2F1 sinPF1F2 F2P F2F1 答案 2 解析 由题意及正弦定理得e2， sinPF2F1 sinPF1F2 PF1 PF2 PF12PF2， 由双曲线的定义知 PF1PF22， PF14，PF22， 又 F1F24， 在PF1F2中，由余弦定理得， cosPF2F1PF 2 2F1F2 2PF2 1 2PF2F1F2 ， 41616 2 2 4 1 4 |cosPF2F1F2P F2F1 F2P F2F1 24 2. 1 4 7已知双曲线 1 的右焦点为 F，P 为双曲线左支上一点，点 A(0，)，则APF 周 x2 4 y2 2 2 长的最小值为
21、_ 答案 4(1)2 解析 由题意知 F(，0)，设左焦点为 F0，则 F0(，0)，由题意可知APF 的周长 l66 为 PA PF AF， 而 PF 2a PF0， l PA PF0 2a AFAF0 AF 2a 22444(1)，当且仅当 A， 0 62 20 2 60 20 2222 F0，P 三点共线时取得“” 8已知离心率为的双曲线 C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，M 是双 5 2 x2 a2 y2 b2 曲线 C 的一条渐近线上的点，且 OMMF2，O 为坐标原点，若16，则双曲线的实 2 OMF S 轴长是_ 答案 16 解析 由题意知 F2(c,0)，不妨
22、令点 M 在渐近线 y x 上，由题意可知 F2Mb，所 b a bc a2b2 以 OMa.由16，可得 ab16，即 ab32，又 a2b2c2， ，所c2b2 2 OMF S 1 2 c a 5 2 以 a8，b4，c4，所以双曲线 C 的实轴长为 16.5 9已知双曲线 C：1(a0，b0)的右焦点为 F，左顶点为 A，以 F 为圆心，FA 为半 x2 a2 y2 b2 径的圆交 C 的右支于 P， Q 两点， APQ 的一个内角为 60， 则双曲线 C 的离心率为_ 答案 4 3 解析 设左焦点为 F1，由于双曲线和圆都关于 x 轴对称， 又APQ 的一个内角为 60， PAF30，
23、PFA120，AFPFca， PF13ac， 在PFF1中，由余弦定理得， PF PF2F1F22PFF1FcosF1FP， 2 1 即 3c2ac4a20，即 3e2e40，e (舍负) 4 3 10(2019徐州模拟)设双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为该双曲 x2 a2 y2 b2 线上一点，若 PF1与 x 轴垂直，cosPF2F1，则该双曲线的离心率为_ 12 13 答案 3 2 解析 PF1F1F2，cosPF2F1， 12 13 PF1，PF2， b2 a 13b2 5a 又 PF2PF12a， 2a，即 8b28(c2a2)10a2， 13b2 5a
24、b2 a e2 ，又 e1，e . c2 a2 9 4 3 2 11 已知 F1， F2分别是双曲线 x21(b0)的左、 右焦点， A 是双曲线上在第一象限内的点， y2 b2 若 AF22 且F1AF245， 延长 AF2交双曲线的右支于点 B， 则F1AB 的面积等于_ 答案 4 解析 由题意知 a1，由双曲线定义知 AF1AF22a2，BF1BF22a2， AF12AF24，BF12BF2.由题意知 ABAF2BF22BF2，BABF1， BAF1为等腰三角形，F1AF245， ABF190，BAF1为等腰直角三角形 BABF1AF142， 2 2 2 2 2 BABF1 224. 1
25、 F AB S 1 2 1 2 22 12已知双曲线 C1：1(a0，b0)，圆 C2：x2y22ax a20，若双曲线 C1的一 x2 a2 y2 b2 3 4 条渐近线与圆 C2有两个不同的交点，则双曲线 C1的离心率的取值范围是_ 答案 (1，2 3 3 ) 解析 由双曲线方程可得其渐近线方程为 y x， 即 bxay0， 圆 C2： x2y22ax a20 b a 3 4 可化为(xa)2y2 a2， 圆心 C2的坐标为(a,0)， 半径 r a， 由双曲线 C1的一条渐近线与圆 C2 1 4 1 2 有两个不同的交点，得2b，即 c24b2，又知 b2c2a2，所以 c24(c2a2
26、)， |ab| a2b2 1 2 即 c21，所以双曲线 C1的离心率的取值范围为. 4 3 c a 23 3 (1， 23 3 ) 13已知双曲线 C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为双曲线 C 上第二 x2 a2 y2 b2 象限内一点，若直线 y x 恰为线段 PF2的垂直平分线，则双曲线 C 的离心率为_ b a 答案 5 解析 如图，直线 PF2的方程为 y (xc)， a b 设直线 PF2与直线 y x 的交点为 N，易知 N.又线段 PF2的中点为 N，所以 P b a ( a2 c ，ab c) .因为点 P 在双曲线 C 上，所以1，即 5a2c2，
27、( 2a2c2 c ，2ab c) 2a 2c22 a2c2 4a2b2 c2b2 所以 e . c a 5 14已知 F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过 F1的直线 l 与双曲线的左支 x2 a2 y2 b2 交于点 A，与右支交于点 B，若 AF12a，F1AF2，则_. 2 3 1 2 2 AF F ABF S S 答案 1 2 解析 如图所示，由双曲线定义可知 AF2AF12a. 又 AF12a，所以 AF24a， 因为F1AF2 ， 2 3 所以 AF1AF2sinF1AF2 2a4a2a2. 1 2 AF F S 1 2 1 2 3 2 3 由双曲线定义可知 BF1
28、BF22a， 所以 BF12aBF2， 又知 BF12aBA，所以 BABF2. 又知BAF2 ， 3 所以BAF2为等边三角形，边长为 4a， 所以AB2(4a)24a2， 2 ABF S 3 4 3 4 3 所以 . 1 2 2 AF F ABF S S 2 3a 2 4 3a 2 1 2 15已知双曲线 E：1(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，F1F28，P 是 E 右支 x2 a2 y2 b2 上的一点，PF1与 y 轴交于点 A，PAF2的内切圆与边 AF2的切点为 Q.若 AQ，则 E 的3 离心率是_ 答案 4 3 3 解析 如图所示， 设 PF1， PF2分别与PA
29、F2的内切圆切于点 M， N， 依题意， 有 MAAQ， NP MP，NF2QF2， AF1AF2QAQF2， 2aPF1PF2(AF1MAMP)(NPNF2)2QA2， 故 a33 ，从而 e . c a 4 3 43 3 16已知双曲线1 (a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线的右支上， x2 a2 y2 b2 且 PF16PF2，则此双曲线的离心率 e 的最大值为_ 答案 7 5 解析 由定义，知 PF1PF22a. 又 PF16PF2，PF1a，PF2 a. 12 5 2 5 当 P，F1，F2三点不共线时， 在PF1F2中，由余弦定理， 得 cosF1PF2e2， PF2 1PF2 2F1F2 2 2PF1PF2 144 25 a2 4 25a 24c2 212 5 a2 5a 37 12 25 12 即 e2cosF1PF2. 37 25 12 25 cosF1PF2(1,1)，e. (1， 7 5) 当 P，F1，F2三点共线时， PF16PF2，e ， c a 7 5 综上，e 的最大值为 . 7 5