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1、2.2 函数的单调性 函数的单调性 考情考向分析 以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间的确定与应用；强 化对函数与方程思想、 转化与化归思想、 分类讨论思想的考查， 题型既有填空题， 又有解答题 函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数减函数 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的 任意两个自变量的值 x1，x2 定义 当 x1f(x2)，那么 就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数， 那么就说函数yf(x)在这一
2、区间具有(严格的) 单调性，区间 D 叫做 yf(x)的单调区间 概念方法微思考 1在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？ 提示 对x1，x2D，0f(x)在 D 上是增函数，减函数类似 fx1fx2 x1x2 2写出对勾函数 yx (a0)的增区间 a x 提示 (，和，)aa 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若定义在 R 上的函数 f(x)，有 f(1)0，则 f(3)与 f()的大 小关系是_ 答案 f(3)f() 解析 由(x1x2)f(x1)f(x2)0， 可知函数 f(x)为增函数， 又3，f(3)f() 5函数的单调递减区间为_ 2
3、 1 2 log (4)yx=- 答案 (2，) 6若函数 f(x)|2xa|的单调增区间是3，)，则 a 的值为_ 答案 6 解析 由图象(图略)易知函数 f(x)|2xa|的单调增区间是， a 2，) 令 3，得 a6. a 2 题型一 求函数的单调区间 1函数的单调递减区间为_ 2 1 2 log (231)yxx= 答案 (1，) 解析 由 2x23x10， 得函数的定义域为(1，) (， 1 2) 令 t2x23x1，x(1，) (， 1 2) 则， 1 2 logyt= t2x23x12 2 ， (x 3 4) 1 8 t2x23x1 的一个单调递增区间为(1，) 又是减函数， 1
4、 2 logyt= 函数的单调递减区间为(1，) 2 1 2 log (231)yxx= 2函数 yx22|x|3 的单调递减区间是_ 答案 1,0，1，) 解析 由题意知， 当x0时， yx22x3(x1)24； 当xx20，则 ( )( ) 12 12 12 11 (ee ) ee xx xx f xf x - 12 12 12 e1 (ee ) e xx xx xx + + - x1x20， 1212 ee0e10 xxxx f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)， 故函数 f(x)ex 在(0，)上是增函数 1 ex 引申探究 如何用导数法求解本例？ 解 f(x)ex ， 1 e
5、x x0，ex1，f(x)0， f(x)ex 在(0，)上是增函数 1 ex 命题点 2 讨论函数单调性 例 2 判断函数 f(x)(a0)在区间(1,1)上的单调性 ax x21 解 任取 x1，x2(1,1)，且 x10， x 1x21x2x1 x 2 11x2 2 1 当 a0 时，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)， f(x)在(1,1)上单调递减； 同理，当 a0,20， 1 x1x2 从而 f(x2)f(x1)0，即 f(x2)f(x1)， 故当 a(1,3)时，f(x)在1,2上单调递增 题型三 函数单调性的应用 命题点 1 比较函数值的大小 例 3 已知函数 f(x)
6、的图象向左平移 1 个单位长度后关于 y 轴对称，当 x2x11 时，f(x2) f(x1)(x2x1)ac 解析 根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称， 且在(1， )上是减函数， 因为 af f ，且 2ac. ( 1 2) ( 5 2) 5 2 命题点 2 解函数不等式 例 4 已知函数 f(x)ln x2x，若 f(x24)1)是增函数，故 a1，所以 a 的 1 2 取值范围为 10 恒成立 当 a0 时， g(x)x 在(0,1)上单调递增且 g(x)0， 符合题意 ； 当 a0 时， g(x) 图象的对称轴为 x0，符合题意 ； 当 a0，解得 a ，则 a0 成
7、立，那么 a 的取 fx1fx2 x1x2 值范围是_ 答案 3 2，2) 解析 对任意 x1x2，都有0， fx1fx2 x1x2 所以 yf(x)在(，)上是增函数 所以Error!解得 a 的解集为_ 答案 Error! 解析 由题意知，f f 0， ( 1 2) ( 1 2) f(x)在(，0)上也单调递增 或， 1 9 1 (log) 2 fxf 1 9 1 (log) 2 fxf - 或， 1 9 1 log 2 x 1 9 1 log0 2 x-0， 得2bc 解析 f(x)在 R 上是奇函数， af f f(log25) (log 21 5) (log 21 5) 又 f(x)
8、在 R 上是增函数， 且 log25log24.1log24220.8， f(log25)f(log24.1)f(20.8)，abc. 4如果函数 f(x)ax22x3 在区间(，4)上单调递增，则实数 a 的取值范围是 _ 答案 1 4，0 解析 当a0时， f(x)2x3在定义域R上是单调递增的， 故在(， 4)上单调递增 ； 当a0 时，二次函数 f(x)的对称轴为 x ，因为 f(x)在(，4)上单调递增，所以 a0 时， 它有两个减区间为(， 1)和(1， )，故只需区间1,2是 f(x)和 g(x)的减区间的子集即可，则 a 的取值范围是 0x1 对任意的 x1,2恒成立，等价于
9、ax23x1 对任意的 x1,2恒成立设 g(x)x23x1(1x2)，则 g(x) 2 (1x2)， (x 3 2) 13 4 当 x 时，g(x)取得最大值，且 g(x)maxg，因此 a. 3 2 ( 3 2) 13 4 13 4 9 若函数 f(x)x2|xa|b 在区间(， 0上为减函数， 则实数 a 的取值范围是_ 答案 0，) 解析 因为 f(x)x2|xa|bError! 由图象知(图略)，若函数 f(x)x2|xa|b 在区间(，0上为减函数，则应有 a0. 10设函数 f(x)Error!若函数 yf(x)在区间(a，a1)上单调递增，则实数 a 的取值范围是 _ 答案 (
10、，14，) 解析 作函数 f(x)的图象如图所示， 由图象可知 f(x)在(a，a1)上单调递增，需满足 a4 或 a12， 即 a1 或 a4. 11已知 f(x)(xa) x xa (1)若 a2，试证 f(x)在(，2)上单调递增； (2)若 a0 且 f(x)在(1，)上单调递减，求 a 的取值范围 (1)证明 当 a2 时，f(x). x x2 设 x10，x1x20，x2x10， 所以要使 f(x1)f(x2)0， 只需(x1a)(x2a)0 恒成立， 所以 a1.综上所述，00 且方程 ax2bx10 中 b24a(a1)24a(a1)20， a1. 从而 f(x)x22x1.
11、F(x)Error! (2)由(1)可知 f(x)x22x1， g(x)f(x)kxx2(2k)x1， 由 g(x)在2,2上是单调函数，知2 或2，得 k2 或 k6. 2k 2 2k 2 即实数 k 的取值范围为(，26，) 13已知函数 f(x)Error!若 f(2x2)f(x)，则实数 x 的取值范围是_ 答案 (2,1) 解析 当 x0 时，两个表达式对应的函数值都为 0， 函数的图象是一条连续的曲线 又当x0时， 函数f(x)x3为增函数， 当x0时， f(x)ln(x 1)也是增函数， 函数 f(x)是定义在 R 上的增函数 因此， 不等式 f(2x2)f(x)等价于 2x2x
12、， 即 x2x2f(2ax)在a，a1上恒成立，则实数 a 的取值范围是 _ 答案 (，2) 解析 二次函数 y1x24x3 的对称轴是 x2， 该函数在(，0上单调递减， x24x33，同样可知函数 y2x22x3 在(0，)上单调递减， x22x3f(2ax)得到 xa2 的解集为x21 _ 答案 (1 4，) 解析 由题意知，f(x)f(x)2， f(2x1)f(2x)2 可化为 f(2x1)f(2x)， 又由题意知函数 f(x)在 R 上单调递增，2x12x，x ， 1 4 原不等式的解集为. ( 1 4，) 16已知定义在区间(0，)上的函数 f(x)是增函数，f(1)0，f(3)1
13、. (1)解不等式 0f(x21)1； (2)若 f(x)m22am1 对所有 x(0,3，a1,1恒成立，求实数 m 的取值范围 解 (1)由Error!得x2 或2x.22 原不等式的解集为(2，)(，2)22 (2)函数 f(x)在(0,3上是增函数， f(x)在(0,3上的最大值为 f(3)1， 不等式 f(x)m22am1 对所有 x(0,3，a1，1恒成立转化为 1m22am1 对所 有 a1,1恒成立，即 m22am0 对所有 a1,1恒成立 设 g(a)2mam2，a1,1， 需满足Error!即Error! 解该不等式组，得 m2 或 m2 或 m0， 即实数 m 的取值范围为(，202，)