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1、数学归纳法,一.由系列有限的特殊事例得出一般结论 的推理方法叫归纳法.,举例说明: 等差数列通项的推导;,an=a1+(n-1)d,二、数学归纳法的概念：,一般地，证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)验证当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立 (2)(归纳递推)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。,多米诺骨牌倒下的条件?,验证n=n0时命题成立,若n=k(kn0)时命题成立, 证明n=k+1时命题也成立.,归纳奠基,归纳推理
2、,命题对从n0开始所有的正整数n都成立,数学归纳法的步骤可用框图表示为：,2.,例1:用数学归纳法证明,例2:已知数列 计算 ,根据计算的结果,猜想 的表达式,并用数学归纳法进行证明.,2.,案例分析：,案例一(缺少初始步),设nN+，求证：2+4+6+2n=n2+n+1,证明：假设当n=k时等式成立，即,那么,当n=k+1时，有,2+4+6+2k=k2+k+1,2+4+6+2k+2(k+1),=k2+k+1+2(k+1),=(k+1)2+(k+1)+1,这就是说，当n=k+1时等式也成立.,所以，对一切nN+等式都成立.,案例二(错证递推步),设nN+，求证：2n n2,证明: (1) 当n
3、=1时，2112 ,不等式显然成立.,(2) 假设当n=k时不等式成立，即 2kk2,那么，当n=k+1时，有,2k+1=22k=2k+2k k2+k2k2+2k+1 =(k+1)2,这就是说，当n=k+1时不等式也成立.,根据(1)和(2),可知不等式对任何nN+都成立.,评注：归纳假设运用后按所证结果进行“拼凑” 是可以的，但不能出现错误的推理.,案例三(未用归纳假设),设nN+，求证：2+4+6+2n=n2+n,证明: (1)当n=1时,左边=2,右边=12+1=2,等式成立.,(2) 假设当n=k时等式成立，即,2+4+6+2k=k2+k+1,那么,当n=k+1时，有,2+4+6+2k
4、+2(k+1),=(k+1)2+(k+1)+1,这就是说，当n=k+1时等式也成立.,所以，对一切nN+等式都成立.,评注：证明递推步时一定要用到归纳假设，否则 递推关系不能成立.,2.,例3:是否存在常数a、b,使得等式: 对一切正整数n都成立,并证明你的结论.,点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.,解:令n=1,2,并整理得,以下用数学归纳法证明:,(2)假设当n=k时结论正确,即:,则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.,根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.,(1)当n=1时,由上面解法知结论正确
5、.,例4:比较 2n 与 n2 (nN*)的大小,注：先猜想，再证明,解：当n=1时，2n=2,n2=1, 2nn2 当n=2时，2n=4,n2=4, 2n=n2 当n=3时，2n=8,n2=9, 2nn2 当n=6时，2n=64,n2=36, 2nn2 猜想当n5时，2nn2(证明略),例6:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)=n(n-1)/2.,说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.,：证第K+1步时注意凑归纳假设即可。,练习,数学归纳法总结,1.适用范围:某些与正整数有关的数学命题.,2.数学归纳法的解题步骤：,(1)(归纳奠基)验证当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立 (2)(归纳递推)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,(3)下结论:由以上可知:命题对从n0开始的所有正整数n都成立。,简言之,重点：两个步骤、一个结论； 注意：递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。,3.数学归纳法的应用：,（1）证明恒等式,（2）证明不等式,（3）三角方面,（4）整除性,（5）几何方面,（6）计算、猜想、证明,再见!,