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1、考点规范练考点规范练 33 基本不等式及其应用基本不等式及其应用 考点规范练考点规范练 A 册第册第 24 页页 一、基础巩固 1.下列不等式一定成立的是( ) A.lglg x(x0) (2+ 1 4) B.sin x+2(xk,kZ) 1 sin C.x2+12|x|(xR) D.1(xR) 1 2+ 1 答案 C 解析因为 x0,所以 x2+ 2x =x, 1 4 1 2 所以 lglg x(x0),故选项 A 不正确; (2+ 1 4) 当 xk,kZ 时,sin x的正负不定,故选项 B 不正确; 由基本不等式可知选项 C 正确; 当 x=0 时,=1,故选项 D 不正确. 1 2+
2、 1 2.已知 a0,b0,a,b的等比中项是 1,且 m=b+ ,n=a+ ,则 m+n 的最小值是( ) 1 1 A.3B.4C.5D.6 答案 B 解析由题意知 ab=1,则 m=b+ =2b,n=a+ =2a,故 m+n=2(a+b)4=4(当且仅当 a=b=1 时,等号成 1 1 立). 3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a 2 2 ,即,a0,b0)对称,则的最小值为( ) 1 + 4 A.8B.9C.16D.18 答案 B 解析由圆的对称性可得,直线 ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以 a+b=1. 所以(a+b)=5+5+4=9,当且仅当,即 2a=
3、b= 时等号成立,故选 B. 1 + 4 =(1 + 4 ) + 4 = 4 2 3 5.若正数 x,y满足 4x2+9y2+3xy=30,则 xy 的最大值是( ) A.B.C.2D. 4 3 5 3 5 4 答案 C 解析由 x0,y0,得 4x2+9y2+3xy2(2x)(3y)+3xy(当且仅当 2x=3y 时等号成立), 则 12xy+3xy30,即 xy2,故 xy 的最大值为 2. 6.若两个正实数 x,y 满足=1,且 x+2ym2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( ) 2 + 1 A.(-,-2)4,+)B.(-,-42,+) C.(-2,4)D.(-4,2) 答案
4、D 解析因为 x0,y0,=1, 2 + 1 所以 x+2y=(x+2y)=2+28, ( 2 + 1 ) 4 + 当且仅当,即 x=2y 时等号成立. 4 = 由 x+2ym2+2m 恒成立, 可知 m2+2m1,b1,若 ax=by=3,a+b=2,则的最大值为( ) 3 1 + 1 A.2B.C.1D. 3 2 1 2 答案 C 解析由 ax=by=3, 1 + 1 = 1 log3 + 1 log3 = lg + lg lg3 = lg() lg3 又 a1,b1,所以 ab=3, ( + 2 ) 2 所以 lg(ab)lg 3, 从而=1,当且仅当 a=b=时等号成立. 1 + 1
5、lg3 lg3 3 8.已知 x1,则 logx9+log27x的最小值是 . 答案 26 3 解析x1,logx9+log27x=2,当且仅当 x=时等号成立. 2lg3 lg + lg 3lg3 2 3 = 26 3 3 6 logx9+log27x的最小值为. 26 3 9.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单位:万元)与机 器运转时间 x(单位:年)的关系为 y=-x2+18x-25(xN*).则当每台机器运转 年时,年平均利 润最大,最大值是 万元. 答案 5 8 解析每台机器运转 x年的年平均利润为 =18-,而 x0,所以 18-2=8
6、,当且仅当 x=5 时, ( + 25 ) 25 年平均利润最大,最大值为 8 万元. 10.(2018天津,文 13)已知 a,bR,且 a-3b+6=0,则 2a+的最小值为 . 1 8 答案 1 4 解析a-3b+6=0,a-3b=-6. a,bR,2a0,0. 1 8 2a+2=2, 1 8 2 - 32 - 6 = 1 4 当且仅当 2a=,即 a=-3,b=1 时取等号. 1 8 11.某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价 p%,第二次提价 q%;方案乙:每次都提 价%,若 pq0,则提价多的方案是 . + 2 答案乙 解析设原价为 a,则方案甲提价后为 a(1+
7、p%)(1+q%),方案乙提价后为 a. (1 + + 2 %) 2 由于(1+p%)(1+q%)0,a 为大于 2x的常数. (1)求函数 y=x(a-2x)的最大值; (2)求 y=-x 的最小值. 1 - 2 解(1)x0,a2x,y=x(a-2x)= 2x(a-2x),当且仅当 x= 时取等号, 1 2 1 2 2 + ( - 2) 2 2 = 2 8 4 故函数 y=x(a-2x)的最大值为. 2 8 (2)y=-x=2,当且仅当 x=时取等号. 1 - 2 1 - 2 + - 2 2 2 1 2 2 = 2 2 - 2 2 故 y=-x的最小值为. 1 - 2 2 2 16.某工厂
8、某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C(x)(单元:万元),当年产 量不足 80千件时,C(x)= x2+10x(单位:万元).当年产量不少于 80 千件时,C(x)=51x+-1 450(单位: 1 3 10 000 万元).每件商品售价为 0.05 万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完. (1)写出年利润 L(x)(单位:万元)关于年产量 x(单位:千件)的函数解析式; (2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 解(1)因为每件商品售价为 0.05 万元,则 x千件商品销售额为 0.051 000x 万元,依题意得,当 0
9、x80 时,L(x)=(0.051 000x)- x2-10x-250=- x2+40x-250; 1 3 1 3 当 x80时,L(x)=(0.051 000x)-51x-+1 450-250=1 200-, 10 000 ( + 10 000 ) 则 L(x)= - 1 3 2+ 40 - 250,0 80, 1 200 -( + 10 000 ), 80. (2)当 0x80时,L(x)=- (x-60)2+950,此时,当 x=60 时,L(x)取得最大值 L(60)=950. 1 3 当 x80时,L(x)=1 200-1 200-2=1 200-200=1 000,当且仅当 x=时, ( + 10 000 ) 10 000 10 000 即 x=100 时,L(x)取得最大值 1 000. 因为 9501 000,所以当年产量为 100 千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.最大利润 为 1 000万元. 三、高考预测 17.若 a,b满足 ab=a+b+3,求 ab 的取值范围. 解ab=a+b+3,a+b=ab-3, (a+b)2=(ab-3)2. (a+b)24ab, (ab-3)24ab, 即(ab)2-10ab+90, 故 ab1 或 ab9. 因此 ab 的取值范围是(-,19,+).