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1、第一章 检测试题 (时间:120 分钟 满分:150 分) 【选题明细表】 知识点、方法题号 空间几何体的结构1,2 直观图4 空间几何体的侧面积与表面积3,7,8 空间几何体的体积5,6,9,10,11,14,15 综合应用12,13,17,18,19,20,21 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.下列说法正确的是( D ) (A)有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 (B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 (C)各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 (D)九棱柱有 9 条侧棱,9 个侧面,侧面均为平行四边形 解析:选项 A,B
2、 都不正确,反例如图所示.选项 C 也不正确,上、 下底面 是全等的菱形,各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体.根据棱 柱的定义知选项 D 正确. 2.如图所示是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴 对称平面图形,若将它绕轴 l 旋转 180后形成一个组合体,下面说法 不正确的是( A ) (A)该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体 (B)该组合体仍然关于轴 l 对称 (C)该组合体中的圆锥和球只有一个公共点 (D)该组合体中的球和半球只有一个公共点 解析:组合体中只有一个球体和一个半球.故选 A. 3.长方体的高为1,底面积为2,垂直于底的对角面的面积是,则长方 体的侧
3、面积等于( C ) (A)2(B)4(C)6(D)3 解析:设长方体的长、宽、高分别为 a,b,c, 则 c=1,ab=2,c=, 所以 a=2,b=1, 故 S侧=2(ac+bc)=6. 4.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角 梯形,其中 OA=2,BAO=45,BCOA.则原平面 图形的面积为( A ) (A)3 (B)6 (C) (D) 解析:因为 OA=2,BOA=BAO=45,所以 OB= ,又 BCOA,所以CBO=45,OCB=90, 所 以BC=1,所以原图形为梯形,其上底为1,下底为2,高为2,所以 S=3. 5.底面是边长为 1 的正方形,侧面是等边三
4、角形的四棱锥的外接球的 体积为( A ) (A) (B) (C) (D) 解析:底面 ABCD 外接圆的半径是,即 AO=, 则 PO=, 所以四棱锥的外接球的半径为, 所以四棱锥的外接球的体积为 3= . 故选 A. 6.如图,正方体 ABCD ABCD的棱长为 4,动点 E,F 在棱 AB 上, 且 EF=2,动点 Q 在棱 DC上,则三棱锥 A EFQ 的体积( D ) (A)与点 E,F 的位置有关 (B)与点 Q 的位置有关 (C)与点 E,F,Q 的位置都有关 (D)与点 E,F,Q 的位置均无关,是定值 解析:= EFAAAD=, 所以三棱锥 A EFQ 的体积为定值,与点 E,
5、F,Q 的位置均无关.故选 D. 7.已知圆台的上下底面半径分别为 1 和 2,高为 1,则该圆台的表面积 为( B ) (A)3 (B)(5+3) (C) (D) 解析:设圆台上底面的半径为 r,下底面的半径为 r,高为 h,母线长 为l.则r=1,r=2,h=1.则l=.由圆台表面积公式得S圆 台=(r2+r2+rl+rl)=(1+4+ +2)=(5+3).故选 B. 8.已知圆锥的底面半径为 R,高为 3R,在它的所有内接圆柱中,表面积 的最大值是( B ) (A)22R2 (B) R2 (C) R2 (D) R2 解析:如图所示为组合体的轴截面,记BO1的长度为x,由相似三角形的 比例
6、关系,得= ,则 PO1=3x,圆柱的高为 3R-3x,所以圆柱的表面积 为 S=2x2+2x(3R-3x)=-4x2+6Rx,则当 x= R 时,S 取最大 值,Smax= R2.故选 B. 9.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问 题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?” 其意 思为 “在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆 底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多 少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放 的米约有( B ) (A)14 斛 (B)22 斛 (C)36 斛
7、 (D)66 斛 解析:设圆锥底面半径为 r, 因为米堆底部弧长为 8 尺, 所以 r=8,r=(尺), 所以米堆的体积为 V= ()25(立方尺), 又 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺, 所以该米堆有1.6222(斛),选 B. 10.若两球的体积之和是 12,经过两球球心的截面圆周长之和为 6,则两球的半径之差为( A ) (A)1(B)2(C)3(D)4 解析:设两球的半径分别为 R、r(Rr), 则由题意得解得 故 R-r=1. 11.如图所示,在三棱柱 ABC A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB=AC=, BB1=BC=6,E,F 为侧棱 AA1上的两点,且 EF=3,则多面
8、体 BB1C1CEF 的体 积为( A ) (A)30 (B)18 (C)15 (D)12 解 析 :=-=S ABC6- S ABCA1F- S ABC AE=SABC6- (A1F+AE)=5SABC. 因为 AC=AB=,BC=6, 所以 SABC= 6=6. 所以=56=30.故选 A. 12.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2,DAB=60,E 为 AB 的中点, 将ADE 和BEC 分别沿 ED,EC 向上折起,使 A,B 重合于点 P,则三棱 锥 P DCE 的外接球的体积为( C ) (A) (B) (C) (D) 解析:因为ABCD为等腰梯形,AB=2DC,E为
9、AB的中点,所以AD=DE=CE=BC, 又DAB=60,所以ADE,DCE,CEB 均为边长为 1 的正三角形,故 翻 折 后 的 三 棱 锥 PD C E 为 正 四 面 体 , 其 高 P O 1 = =,设球的半径为R,所以R2=(-R)2+()2,得R=,所以 V= .故选 C. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若圆锥的表面积是 15,侧面展开图的圆心角是 60,则圆锥的 体积为 . 解析:设圆锥的底面半径是 r,母线长是 l,高为 h, 则有 所以 l=6r,r2=,l2=.h2=l2-r2=75, 所以 h=5. 所以 V= r2h= 5=.
10、 答案: 14.如图所示,扇形的中心角为 90,弦 AB 将扇形分成两个部分,这两 部 分 各 以 AO 为 轴 旋 转 一 周 ,所 得 的 旋 转 体 体 积 V1和 V2之 比 为 . 解析:RtAOB 绕 OA 旋转一周形成圆锥, 其体积 V1= R3,扇形绕 OA 旋转一周形成半球面,其围成的半球的体积 V=R3, 所以 V2=V-V1=R3- R3= R3, 所以 V1V2=11. 答案:11 15.现有橡皮泥制作的底面半径为 5,高为 4 的圆锥和底面半径为 2, 高 为 8 的圆柱各一个,若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但 底 面 半 径 相 同 的 新 的 圆 锥 和
11、 圆 柱 各 一 个 ,则 新 的 底 面 半 径 为 . 解析:原两个几何体的总体积 V= 524+228=.由题 意知新圆锥的高为 4,新圆柱的高为 8,且它们的底面半径相同,可设 两几何体的底面半径均为 r(r0),则 r24+r28=, 解得 r2=7,从而 r=. 答案: 16.在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1中,EF 是棱 AB 上的一条线段, 且EF=b(bV1,S2S1, 所以方案二比方案一更加经济. 20.(本小题满分 14 分) 如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知 半球的直径是 6 cm,圆柱筒高为 2 cm. (1)这种“浮球
12、”的体积是多少 cm3(结果精确到 0.1)? (2)要在 2 500 个这样的 “浮球” 表面涂一层胶,如果每平方米需要涂 胶 100 克,那么共需胶多少克? 解:(1)因为半球的直径是6 cm,可得半径R=3 cm,所以两个半球的体积 之和为 V球= R3= 27=36(cm3). 又圆柱筒的体积为 V圆柱=R2h=92=18(cm3). 所以这种“浮球”的体积是 V=V球+V圆柱=36+18=54169.6(cm3). (2)根据题意,上下两个半球的表面积是 S球表=4R2=49=36(cm2), 又“浮球”的圆柱筒的侧面积为 S圆柱侧=2Rh=232=12(cm2), 所以 1 个“浮
13、球”的表面积为 S=(m2). 因此,2 500 个这样的“浮球”表面积的和为 2 500S=2 500= 12(m2). 因为每平方米需要涂胶 100 克, 所以共需要胶的质量为 10012=1 200(克). 21.(本小题满分 14 分) 已知圆柱 OO1的底面半径为 2,高为 4. (1)求从下底面圆周上一点出发环绕圆柱侧面一周到达上底面的最短 路径长; (2)若平行于轴 OO1的截面 ABCD 将底面圆周截去四分之一,求截面 面积; (3)在(2)的条件下,设截面将圆柱分成的两部分中较小部分为,较 大部分为,求 VV(体积之比). 解:(1)将侧面沿过该点的母线剪开铺平得到一个矩形,邻边长分别是 4和 4, 则从下底面圆周上一点出发环绕侧面一周到达上底面的最短路径长 即为此矩形的对角线长 4. (2)连接 OA,OB,因为截面 ABCD 将底面圆周截去 , 所以AOB=90, 因为 OA=OB=2, 所以 AB=2, 而截面 ABCD 是矩形且 AD=4, 所以 S矩形 ABCD=8. (3)依题知 V圆柱=Sh=16, 三棱柱 AOB DO1C 的体积是 8, 则 V+8= V圆柱=4, 所以 V=4-8, 而 V=V圆柱-V=12+8, 于是 VV=.