2019届高考数学二轮复习 第二部分专项一 3 第3练　不等式与合情推理 学案 Word版含解析.pdf

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1、第 3 练 不等式与合情推理 年份卷别考查内容及考题位置命题分析 卷利用线性规划求线性目标函数的最值T13 卷利用线性规划求线性目标函数的最值T142018 卷不等式的性质及对数的运算T12 卷利用线性规划求线性目标函数的最值T14 利用线性规划求线性目标函数的最值T5 卷 合情推理T7 利用线性规划求线性目标函数的最值T13 2017 卷 分段函数与不等式的解法T15 卷线性规划的实际应用T16 卷合情推理T15 2016 卷利用线性规划求线性目标函数的最值T13 1.不等式作为高考命题热点 内容之一，多年来命题较稳 定，多以选择、填空题的形 式进行考查，题目多出现在 第 59 或第 131

2、5 题的位 置上，难度中等，直接考查 时主要是简单的线性规划问 题，关于不等式性质的应用、 不等式的解法以及基本不等 式的应用，主要体现在其工 具作用上 2在全国课标卷中很少直接 考查“推理与证明” ，特别是 合情推理，而演绎推理，则 主要体现在对问题的证明上. 不等式的性质及解法 一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax2bxc0(a0)， 再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根， 最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集 简单分式不等式的解法 (1)0(0(0，B0)，g(x)恒正或恒负的形 A g(x) 式，然后运用基本不等式来求最值 (4)“1”的

3、代换：先把已知条件中的等式变形为“1”的表达式，再把“1”的表达式与所求最 值的表达式相乘求积，通过变形构造和或积为定值的代数式求其最值 考法全练 1若 log4(3a4b)log2，则 ab 的最小值是( )ab A62 B7233 C64 D7433 解析 ： 选 D.因为 log4(3a4b)log2， 所以 log22(3a4b)log2， 所以 log2(3a4b)abab 1 2 log2，所以 log2(3a4b)2log2，所以 log2(3a4b)log2ab，所以 3a4bab，即abab 1，故 ab(ab)774.故选 D. 4 a 3 b( 4 a 3 b) 4b a

4、 3a b 3 2已知向量 a(x1，3)，b(1，y)，其中 x，y 都为正实数若 ab，则 的最 1 x 1 3y 小值为( ) A2 B2 2 C4 D2 3 解析 ： 选 C.因为 ab，所以 abx13y0，即 x3y1.又 x，y 为正实数，所以 1 x (x3y)2224，当且仅当 x3y 时取等号所以 1 3y( 1 x 1 3y) 3y x x 3y 3y x x 3y 1 2 1 x 的最小值为 4.故选 C. 1 3y 3(2018合肥调研)已知 ab0，则 a的最小值为( ) 4 ab 1 ab A. B4 3 10 2 C2 D332 解析：选 D.因为 ab0，所以

5、 a 4 ab 1 ab 1 2(ab 8 abab 2 ab) 23，当且仅当 a，b时等号成立(ab) 8 ab (ab) 2 ab 222 3 2 2 2 2 4(2018高考天津卷)已知 a，bR，且 a3b60，则 2a的最小值为_ 1 8b 解析 ： 由 a3b60， 得 a3b6， 所以 2a23b62223 1 8b 1 23b 23b6 1 23b ，当且仅当 23b6，即 b1 时等号成立 1 4 1 23b 答案：1 4 5某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储 费用为 4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则

6、x 的值是_ 解析 ： 由题意知一年购买次， 则总运费与总存储费用之和为64x4 600 x 600 x( 900 x x) 8240， 当且仅当 x30 时取等号， 故总运费与总存储费用之和最小时， x 的值是 30. 900 x x 答案：30 线性规划问题 常见的 3 种目标函数 (1)截距型 ： 形如 zaxby，求这类目标函数的最值常将函数 zaxby 转化为 y x a b ，通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值 z b z b (2)距离型：形如 z(xa)2(yb)2，设动点 P(x，y)，定点 M(a，b)，则 z|PM|2. (3)斜率型：形如 z，设动点 P(x，

7、y)，定点 M(a，b)，则 zkPM. yb xa 考法全练 1(2018南昌调研)设变量 x，y 满足约束条件则 z3x2y 的最大值 xy1 0， x2y2 0， 2xy2 0，) 为( ) A2 B2 C3 D4 解析 ： 选 C.作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作 出直线 y x，平移该 直线，当直线经过 C(1， 0)时，在 y 轴上的截距 3 2 最小，z 最大，此时 z3103，故选 C. 2(2018南昌模拟)设不等式组表示的平面区域 xy3 0 xy1 0 3xy5 0) 为 M，若直线 ykx 经过区域 M 内的点，则实数 k 的取值范围为( ) A. B.

8、( 1 2，2 1 2， 4 3 C. D. 1 2，2 4 3，2 解析：选 C.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，即三角形 xy3 0 xy1 0 3xy5 0) ABC(含边界)，由得点 A(2，1)，由得点 C(1，2)，又直线 OA 的 xy30 3xy50) xy30 xy10) 斜率为 kOA ，直线 OC 的斜率为 kOC2，而直线 ykx 表示过原点 O 的直线，因此根据 1 2 题意可得 kOAkkOC，即 k2，故选 C. 1 2 3(2018广州模拟)若 x，y 满足约束条件则 zx22xy2的最小值为 xy2 0， 2y1 0， x1 0， ) ( ) A.

9、B. 1 2 1 4 C D 1 2 3 4 解析 ： 选 D.画出约束条件对应的平面区域， 如图中阴影部分所 示， 目标函数 zx22xy2(x1)2y21 的几何意义是平面区域内的点到定点(1， 0)的 距离的平方再减去 1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(1，0)的距离的最小值为 ，故 z 1 2 x22xy2的最小值为 zmin 1 ，故选 D. 1 4 3 4 4 (2018辽宁五校联合体模拟)已知实数x， y满足若目标函数zaxy xy6 0， xy 0， x 3， ) 的最大值为 3a9，最小值为 3a3，则实数 a 的取值范围是( ) Aa|1a1 Ba|a1 Ca|a1

10、或 a1 Da|a1 解析：选 A.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标 xy6 0， xy 0， x 3 ) 函数zaxy的最大值为3a9， 最小值为3a3， 所以目标函数zaxy的图象经过点A(3， 9)时，z 取得最大值，经过点 B(3，3)时，z 取得最小值，由图象得，1a1，所以 1a1，故选 A. 5 (2018武汉调研)某公司生产甲、 乙两种桶装产品， 已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克，B 原料 3 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克，B 原料 1 千克，每桶甲产品的利 润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元，公司在每天消耗 A

11、，B 原料都不超过 12 千克的 条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为( ) A1 800 元 B2 100 元 C2 400 元 D2 700 元 解析：选 C.设生产甲产品 x 桶，生产乙产品 y 桶，每天的利润为 z 元根据题意，有 z300x400y.作出所表示的可行域， 为图中 2x2y 12， 3xy 12， x 0，x N * ， y 0，y N * ，) 2x2y 12， 3xy 12， x 0，x N * ， y 0，y N *) 阴影部分中的整点， 作出直线 3x4y0 并平移， 当直线经过点 A(0， 6)时， z 有最大值， zmax 40062 400，故选 C.

12、 合情推理 破解归纳推理题的思维 3 步骤 (1)发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律) (2)归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想) (3)检验，得结论：对所得的一般性命题(猜想)进行检验，一般地， “求同存异”“逐步 细化” “先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧 破解类比推理题的 3 个关键 (1)会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征 (2)会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想 (3)会检验，即检验猜想的正确性要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理 中提高自己的观察、归纳、类

13、比能力 考法全练 1(2018南昌模拟)已知 1323，132333，13233343， ( 6 2) 2 ( 12 2) 2 ( 20 2) 2 若 13233343n33 025，则 n( ) A8 B9 C10 D11 解析：选 C.1323， ( 6 2) 2 ( 2 3 2) 2 132333， ( 12 2) 2 ( 3 4 2) 2 13233343， ( 20 2) 2 ( 4 5 2) 2 由此归纳可得 13233343n3， n(n1) 2 2 因为 13233343n33 025， 所以3 025， 所以 n2(n1)2(255)2， n(n1) 2 2 所以 n10，故

14、选 C. 2平面内直角三角形两直角边长分别为 a，b，则斜边长为，直角顶点到斜边的a2b2 距离为.空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为 S1，S2，S3，类 ab a2b2 比推理可得底面积为，则三棱锥顶点到底面的距离为( )SSS A. B. 3 S1S2S3 SSS S1S2S3 SSS C. D. 2S1S2S3 SSS 3S1S2S3 SSS 解析 ： 选C.设空间中三棱锥OABC的三条两两垂直的侧棱OA， OB， OC的长分别为a， b， c， 不妨设三个侧面的面积分别为 SOAB abS1， SOAC acS2， SOBC bcS3， 则 ab 1 2 1 2 1

15、 2 2S1，ac2S2，bc2S3. 过 O 作 ODBC 于 D，连接 AD，由 OAOB，OAOC，且 OBOCO，得 OA平 面 OBC，所以 OABC，又 OAODO，所以 BC平面 AOD， 又 BC平面 OBC， 所以平面 OBC平面 AOD， 所以点 O 在平面 ABC 内的射影 O在线段 AD 上，连接 OO. 在直角三角形 OBC 中，OD. bc b2c2 因为 AOOD，所以在直角三角形 OAD 中， OO OAOD OA2OD2 a bc b2c2 a2( bc b2c2) 2 abc (ab)2(ac)2(bc)2 (ab)(bc)(ca) (ab)2(ac)2(b

16、c)2 ，故选 C. (2S1)(2S2)(2S3) (2S1)2(2S3)2(2S2)2 2S1S2S3 SSS 3(2018长春质量检测)有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师，期间他们做了一个 游戏，张老师的生日是 m 月 n 日，张老师把 m 告诉了甲，把 n 告诉了乙，然后张老师列出 来如下 10 个日期供选择 ： 2 月 5 日，2 月 7 日，2 月 9 日，5 月 5 日，5 月 8 日，8 月 4 日，8 月 7 日，9 月 4 日，9 月 6 日，9 月 9 日看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不 知道”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了”甲接着说：“哦

17、，现 在我也知道了”则张老师的生日是_ 解析：根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道” ，可排除 5 月 5 日、5 月 8 日、9 月 4 日、9 月 6 日、9 月 9 日 ； 根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道了” ， 可排除 2 月 7 日、8 月 7 日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了” ，可以得知张老师生 日为 8 月 4 日 答案：8 月 4 日 一、选择题 1设 x，y 满足约束条件则 z2xy 的最小值与最大值的和为( ) xy3 0， xy1 0， x 3， ) A7 B8 C13 D14 解析：选 D.作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作

18、 xy3 0， xy1 0， x 3 ) 出直线 2xy0，平移直线 2xy0，当直线经过点 A(1，2)时，z2xy 取得最小值 4， 当经过点 B(3，4)时，z2xy 取得最大值 10，故 z 的最小值与最大值的和为 41014.故 选 D. 2(2018长春质量检测(一)已知 x0，y0，且 4xyxy，则 xy 的最小值为( ) A8 B9 C12 D16 解析 ： 选 B.由 4xyxy 得 1， 则 xy(xy) 14259， 4 y 1 x( 4 y 1 x) 4x y y x 4 当且仅当 ，即 x3，y6 时取“” ，故选 B. 4x y y x 3(一题多解)(2018福

19、州模拟)设函数 f(x)则满足不等式 f(x22) 0，x 0， 2x2x，x0，) f(x)的 x 的取值范围是( ) A(，1)(2，) B(，)(，)22 C(，)(2，)2 D(，1)(，)2 解析 ： 选 C.法一 ： 因为当 x0 时， 函数 f(x)单调递增 ； 当 x0 时， f(x)0， 故由 f(x22) f(x)得，或解得 x2 或 x，所以 x 的取值范围是(， x0， x22x) x 0， x220，) 22 )(2，)，故选 C. 法二：取 x2，则 f(222)f(2)，所以 x2 不满足题意，排除 B，D；取 x1.1， 则 f(1.1)22)f(0.79)0，

20、f(1.1)0，所以 x1.1 不满足题意，排除 A，故选 C. 4(一题多解)若关于 x 的不等式 x22ax10 在0，)上恒成立，则实数 a 的取值 范围为( ) A(0，) B1，) C1，1 D0，) 解析：选 B.法一：当 x0 时，不等式 10 恒成立， 当 x0 时，x22ax102ax(x21)2a，又2，当且仅 (x 1 x) (x 1 x) 当 x1 时，取等号，所以 2a2a1，所以实数 a 的取值范围为1，) 法二：设 f(x)x22ax1，函数图象的对称轴为直线 xa， 当a0，即 a0 时，f(0)10，所以当 x0，)时，f(x)0 恒成立； 当a0， 即 a0

21、 时， 要使 f(x)0 在0， )上恒成立， 需 f(a)a22a21a2 10，得1a0. 综上，实数 a 的取值范围为1，)，故选 B. 5(2018南宁模拟)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分 子已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小根据以上情 况，下列判断正确的是( ) A甲是工人，乙是知识分子，丙是农民 B甲是知识分子，乙是农民，丙是工人 C甲是知识分子，乙是工人，丙是农民 D甲是农民，乙是知识分子，丙是工人 解析：选 C.由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民， 所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”

22、 ，可知甲是知识分子，故乙是工 人所以选 C. 6若 maxs1，s2，sn表示实数 s1，s2，sn中的最大者设 A(a1，a2，a3)，B ，记 ABmaxa1b1，a2b2，a3b3设 A(x1，x1，1)，B，若 ABx1， ( b1 b2 b3) ( 1 x2 |x1|) 则 x 的取值范围为( ) A1，1 B1，132 C1，1 D1，123 解析 ： 选B.由A(x1， x1， 1)， B， 得ABmaxx1， (x1)(x2)， |x1|x ( 1 x2 |x1|) 1，则化简，得由，得 1x1. x1 (x1)(x2)， x1 |x1|.) x22x1 0， x1 |x1|

23、.) 22 由，得 x1.所以不等式组的解集为 1x1，则 x 的取值范围为1，1故选 B.22 7 (2018长沙模拟)某班级有一个学生A在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步， 每52 秒跑完一圈，在学生 A 开始跑步时，在教室内有一个学生 B，往操场看了一次，以后每 50 秒他都往操场看一次，则该学生 B“感觉”到学生 A 的运动是( ) A逆时针方向匀速前跑 B顺时针方向匀速前跑 C顺时针方向匀速后退 D静止不动 解析：选 C.令操场的周长为 C，则学生 B 每隔 50 秒看一次，学生 A 都距上一次学生 B 观察的位置(弧长)，并在上一次位置的后面，故学生 B“感觉”到学生 A 的运动

24、是顺时针 C 26 方向匀速后退的，故选 C. 8已知变量 x，y 满足约束条件若目标函数 zaxby(a0，b0)的 xy 6， x3y 2， x 1， ) 最小值为 2，则 的最小值为 ( ) 1 a 3 b A2 B5236 C8 D2153 解析：选 A.作出约束条件所对应的可行域，如图中阴影部 分因为 a0，b0，所以 0.所以目标函数zaxby在点A(1，1)处取 a b 得最小值2，即2a1b1，所以ab2.所以 (ab) 1 a 3 b 1 2( 1 a 3 b) (42)2.故选 A. 1 2(4 b a 3a b) 1 2 33(当且仅当b a 3a b ，即b 3a时取等

25、号) 9 (一题多解)(2018合肥质量检测)设 x， y 满足约束条件若 z2xy x 0， xy2 0， axya 0，) 的最大值为 ，则 a 的值为( ) 7 2 A B0 7 2 C1 D 或 1 7 2 解析：选 C.法一：由 z2xy 存在最大值，可知 a1，显然 a0 不符合题意作 出不等式组所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分所示，作直线2xy x 0， xy2 0， axya 0) 0，平移该直线，易知，当平移到过直线 xy20 与 axya0 的交点时，z 取得最大 值，由得把代入 2xy 得 a1，故选 C. xy20， axya0，) xa2 a1， y a a1

26、，) xa2 a1， y a a1 ) 7 2 法二：由 z2xy 存在最大值，可知 a1，显然 a0 不符合题意作出不等式组 所表示的平面区域，如图 1 或图 2 中阴影部分所示，作直线 2xy0，平 x 0， xy2 0， axya 0) 移该直线，易知，当平移到过直线 xy20 与 axya0 的交点时，z 取得最大值 ， 7 2 由得把代入 axya0 得 a1，故选 C. xy20， 2xy7 2，) x3 2， y1 2，) x3 2， y1 2 ) 10某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品所需原 料及每天原料的可用限额如表所示如果生产 1 吨

27、甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万 元，则该企业每天可获得的最大利润为 ( ) 甲乙原料限额 A/吨3212 B/吨128 A.15 万元 B16 万元 C17 万元 D18 万元 解析 ： 选D.设生产甲产品x吨， 乙产品y吨， 获利润z万元， 由题意可知z 3x2y 12， x2y 8， x 0， y 0， ) 3x4y，画出可行域如图中阴影部分所示，直线 z3x4y 过点 M 时，z3x4y 取得最 大值，由得所以 M(2，3)，故 z3x4y 的最大值为 18，故选 D. 3x2y12， x2y8，) x2， y3，) 11(2018兰州模拟)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千

28、里之外” ，其中的“筹”原 意是指孙子算经中记载的算筹古代用算筹(一根根同样长短和粗细的小棍子)来进行运 算算筹的摆放有纵式、横式两种(如图所示)当表示一个多位数时，个位、百位、万位数 用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，以此类推，遇零则置空例如 3 266 用算 筹表示就是，则 8 771 用算筹应表示为( ) 解析：选 C.由算筹的定义，得 8 7 7 1 (千位)横式 (百位)纵式 (十位)横式 (个位)纵式 ，所以 8 771 用算筹应表示为 ，故选 C. 12(2018太原模拟)我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有 ： “割之弥细，所 失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆

29、周合体而无所失矣” 它体现了一种无限与有限 的转化过程比如在表达式 1中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值， 1 1 1 1 它可以通过方程 1 x 求得 x.类比上述过程，则( ) 1 x 51 2 32 32 A3 B. 131 2 C6 D2 2 解析 ： 选 A.令 x(x0)， 两边平方， 得 32x2， 即 32xx2，32 32 32 解得 x3，x1(舍去)，故3，选 A.32 32 二、填空题 13在 R 上定义运算：x*yx(1y)，若不等式(xa)*(xa)1 对任意的 x 恒成立， 则实数 a 的取值范围是_ 解析：由于(xa)*(xa)(xa)(1xa)，则不等式

30、(xa)*(xa)1 对任意的 x 恒成 立， 即 x2xa2a10 恒成立， 所以 a2a1x2x 恒成立， 又 x2x (x 1 2) 2 1 4 ，则 a2a1 ，解得 a . 1 4 1 4 1 2 3 2 答案：1 2， 3 2 14设 zkxy，其中实数 x，y 满足若 z 的最大值为 12，则实数 k xy2 0， x2y4 0， 2xy4 0.) _. 解析：作出可行域，如图中阴影部分所示， 由图可知当 0k 时，直线 ykxz 经过点 M(4，4)时 z 最大，所以 4k412， 1 2 解得 k2(舍去)； 当k 时， 直线 ykxz 经过点(0， 2)时 z 最大， 此时

31、 z 的最大值为 2， 1 2 不合题意 ； 当k0 时， 直线 ykxz 经过点 M(4， 4)时 z 最大， 所以 4k412， 解得 k2， 符合题意综上可知 k2. 答案：2 15 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时， 四名嫌疑人甲、 乙、 丙、 丁的供词如下， 甲说 ： “罪 犯在乙、丙、丁三人之中” ；乙说：“我没有作案，是丙偷的” ；丙说：“甲、乙两人中有一 人是小偷” ；丁说：“乙说的是事实” 经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人 说的是假话，且这四人中有一人是罪犯，由此可判断罪犯是_ 解析 ： 由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么 甲、

32、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三 人不是罪犯，显然两结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话， 由甲、丙供述可得，乙是罪犯 答案：乙 16 记 mina， b为 a， b 两数的最小值 当正数 x， y 变化时， 令 tmin， 2xy， 2y x22y2 则 t 的最大值为_ 解析 ： 因为 x0， y0， 所以问题转化为 t2(2xy) 2y x22y2 4xy2y2 x22y2 4x 2y2 2 2y2 x22y2 2，当且仅当 xy 时等号成立，所以 0t，所以 t 的最大值为. 2(x22y2) x22y2 22 答案： 2