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1、(二)数 列(二)数 列 1(2018潍坊模拟)已知数列an的前n项和为Sn，且 1，an，Sn成等差数列 (1)求数列an的通项公式； (2)若数列bn满足anbn12nan，求数列bn的前n项和Tn. 解 (1)由已知 1，an，Sn成等差数列，得 2an1Sn， 当n1 时，2a11S11a1，a11. 当n2 时，2an11Sn1， 得 2an2an1an， 2， an an1 数列an是以 1 为首项，2 为公比的等比数列， ana1qn112n12n1(nN N*) (2)由anbn12nan，得bn2n， 1 an Tnb1b2bn 242n 1 a1 1 a2 1 an (24
2、2n) ( 1 a1 1 a2 1 an) n2n2(nN N*) 1 1 2n 11 2 22nn 2 1 2n1 2 (2018四川成都市第七中学三诊)已知公差不为零的等差数列an中，a37， 且a1，a4，a13 成等比数列 (1)求数列an的通项公式； (2)记数列an2n的前n项和为Sn，求Sn. 解 (1)设等差数列an 的公差为d(d0)， 则a3a12d7. 又a1，a4，a13成等比数列， aa1a13，即(a13d)2a1(a112d)， 2 4 整理得 2a13d a10， 由Error!解得Error! an32(n1)2n1(nN N*) (2)由(1)得an2n(2
3、n1)2n， Sn32522(2n1)2n1(2n1)2n， 2Sn322523(2n1)2n(2n1)2n1， 得 Sn623242n1(2n1)2n1 22223242n1(2n1)2n1 (2n1)2n1 212n1 12 2(12n)2n1. Sn2(2n1)2n1(nN N*) 3(2018厦门质检)已知等差数列an满足(n1)an2n2nk，kR R. (1)求数列an的通项公式； (2)设bn，求数列bn的前n项和Sn. 4n2 anan1 解 (1)方法一 由(n1)an2n2nk， 令n1,2,3， 得到a1，a2，a3， 3k 2 10k 3 21k 4 an是等差数列，2
4、a2a1a3， 即， 202k 3 3k 2 21k 4 解得k1. 由于(n1)an2n2n1(2n1)(n1)， 又n10，an2n1(nN N*) 方法二 an是等差数列，设公差为d， 则ana1d(n1)dn(a1d)， (n1)an(n1)(dna1d) dn2a1na1d， dn2a1na1d2n2nk对于nN N*均成立， 则Error!解得k1，an2n1(nN N*) (2)由bn 4n2 anan1 4n2 2 n12n 1 1 4n2 4n21 1 4n21 11， 1 2 n12n 1 1 2( 1 2n1 1 2n1) 得Snb1b2b3bn 1111 1 2(1 1
5、 3) 1 2( 1 3 1 5) 1 2( 1 5 1 7) 1 2( 1 2n1 1 2n1) n 1 2(1 1 3 1 3 1 5 1 5 1 7 1 2n1 1 2n1) n 1 2(1 1 2n1) n(nN N*) n 2n1 2n22n 2n1 4(2018安徽省江南十校模拟)数列an满足a12a23a3nan2. n2 2n (1)求数列an的通项公式； (2)设bn，求bn的前n项和Tn. an 1 an 1 an1 解 (1)当n1 时，a12 ； 3 2 1 2 当n2 时，由a12a23a3nan2， n2 2n a12a23a3(n1)an12， n1 2n1 得n
6、an2 ， n2 2n(2 n1 2n1) n 2n 可得an， 1 2n 又当n1 时也成立，an(nN N*) 1 2n (2)bn 1 2n (1 1 2n)(1 1 2n1) 2n1 2 n12n1 1 2， ( 1 2n1 1 2n11) Tn2( 1 21 1 221 1 221 1 231 1 2n1 1 2n11) 2 (nN N*) ( 1 3 1 2n11) 2 3 2 2n11 5 (2018宿州模拟)已知数列an的前n项和为Sn， 数列Sn的前n项和为Tn， 满足Tn2Snn2. (1)证明数列an2是等比数列，并求出数列an的通项公式； (2)设bnnan，求数列bn
7、的前n项和Kn. 解 (1)由Tn2Snn2，得a1S1T12S11， 解得a1S11， 由S1S22S24，解得a24. 当n2 时，SnTnTn1 2Snn22Sn1(n1)2， 即Sn2Sn12n1， Sn12Sn2n1， 由得an12an2， an122(an2)， 又a222(a12)， 数列an2是以a123 为首项，2 为公比的等比数列， an232n1， 即an32n12(nN N*) (2)bn3n2n12n， Kn3(120221n2n1)2(12n) 3(120221n2n1)n2n. 记Rn120221n2n1， 2Rn121222(n1)2n1n2n， 由，得 Rn2021222n1n2n n2n (1n)2n1， 12n 12 Rn(n1)2n1. Kn3(n1)2nn2n3(nN N*)