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1、课时规范练 39 直线、平面垂直的判定与性质课时规范练 39 直线、平面垂直的判定与性质 基础巩固组基础巩固组 1 1. (2017 山东临沂一模,文 19)如图,在直角梯形ABCD中,ABCD,BCD=90,BC=CD,AE=BE,ED平面 ABCD. (1)若M是AB的中点,求证:平面CEM平面BDE; (2)若N为BE的中点,求证:CN平面ADE. 导学号 24190773 2 2. 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1DA1F,A1C1 A1B1. 求证:(1)直线DE平面A1C1F; (2)平面B1DE平面A1C1F. 3
2、3. (2017 河北邯郸二模,文 19)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,底面ABCD是直角梯形, ADC=90,ADBC,ABAC,AB=AC=,点E在AD上,且AE=2ED.2 (1)已知点F在BC上,且CF=2FB,求证:平面PEF平面PAC; (2)若PBC的面积是梯形ABCD面积的 ,求点E到平面PBC的距离. 4 3 导学号 24190774 4 4. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱C1D1的中点,F为棱BC的中点. (1)求证:AEDA1; (2)在线段AA1上求一点G,使得AE平面DFG. 综合提升组综合提升组 5 5. (2017 广东江门一
3、模,文 19)如图,在 RtABC中,ACB=90,BC=2AC=4,D,E分别是AB,BC边的中 点,沿DE将BDE折起至FDE,且CEF=60. (1)求四棱锥F-ADEC的体积; (2)求证:平面ADF平面ACF. 6 6.(2017 山西孝义考前模拟,文 19)如图(1),五边形ABCDE中,ED=EA,ABCD,CD=2AB,EDC=150. 如图(2),将EAD沿AD折到PAD的位置,得到四棱锥P-ABCD,点M为线段PC的中点,且BM平面 PCD. 图(1) 图(2) (1)求证:平面PAD平面ABCD; (2)若四棱锥P-ABCD的体积为 2,求四面体BCDM的体积.3 导学号
4、 24190775 7 7. (2017 北京海淀模拟,文 15)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为 1 的正方形,侧棱PA底面ABCD, 且PA=2,E是侧棱PA上的动点. (1)求四棱锥P-ABCD的体积. (2)如果E是PA的中点,求证:PC平面BDE. (3)是否不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BDCE?证明你的结论. 创新应用组创新应用组 8 8. (2017 辽宁大连一模,文 19)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA底面 ABCD,AD=AP=2,AB=2,E为棱PD中点.7 (1)求证:PD平面ABE; (2)求四棱锥P-ABCD外接球的体积. 9 9
5、.(2017 山西太原二模,文 19)如图(1),在平面六边形ABFCDE中,四边形ABCD是矩形,且 AB=4,BC=2,AE=DE=,BF=CF=,点M,N分别是AD,BC的中点,分别沿直线AD,BC将ADE,BCF22 翻折成如图(2)的空间几何体ABCDEF. (1)利用下面的结论 1 或结论 2,证明:E,F,M,N四点共面; 结论 1:过空间一点作已知直线的垂面,有且只有一个; 结论 2:过平面内一条直线作该平面的垂面,有且只有一个. (2)若二面角E-AD-B和二面角F-BC-A都是 60,求三棱锥E-BCF的体积. 图(1) 图(2) 答案： 1 1.证明 (1)ED平面ABC
6、D, EDAD,EDBD,EDCM. AE=BE, RtADERtBDE, AD=BD. 连接DM,则DMAB, ABCD,BCD=90,BC=CD, 四边形BCDM是正方形,BDCM. 又DECM,BDDE=D, CM平面BDE, CM平面CEM, 平面CEM平面BDE. (2)由(1)知,AB=2CD,取AE中点G,连接NG,DG, 在EBA中,N为BE的中点, NGAB且NG= AB, 1 2 又ABCD,且AB=2CD, NGCD,且NG=CD, 四边形CDGN为平行四边形, CNDG.又CN平面ADE,DG平面ADE,CN平面ADE. 2 2.证明 (1)在直三棱柱ABC-A1B1C
7、1中,A1C1AC. 在ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DEAC,于是DEA1C1.又因为DE平面 A1C1F,A1C1平面A1C1F, 所以直线DE平面A1C1F. (2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A平面A1B1C1. 因为A1C1平面A1B1C1,所以A1AA1C1. 又因为A1C1A1B1,A1A平面ABB1A1,A1B1平面ABB1A1,A1AA1B1=A1, 所以A1C1平面ABB1A1. 因为B1D平面ABB1A1,所以A1C1B1D. 又因为B1DA1F,A1C1平面A1C1F,A1F平面A1C1F,A1C1A1F=A1, 所以B1D平面A1C1F.
8、因为B1D平面B1DE, 所以平面B1DE平面A1C1F. 3 3.(1)证明 ABAC,AB=AC, ACB=45. 底面ABCD是直角梯形,ADC=90,ADBC, ACD=45,AD=CD, BC=AC=2AD.2 AE=2ED,CF=2FB, AE=BF= AD, 2 3 四边形ABFE是平行四边形, ABEF. 又ABAC,ACEF. PA底面ABCD,PAEF. PAAC=A,EF平面PAC. EF平面PEF, 平面PEF平面PAC. (2)解 PA底面ABCD,且AB=AC, PB=PC, 取BC的中点G,连接AG,则AGBC,AG=CD=1. 设PA=x,连接PG,则PG=,x
9、2+ 1 PBC的面积是梯形ABCD面积的 倍, 4 3 2PG=(1+2)1,即PG=2,求得x=, 1 2 4 3 1 2 3 ADBC,AD平面PBC,BC平面PBC,AD平面PBC,点E到平面PBC的距离即是点A到平 面PBC的距离, VA-PBC=VP-ABC,SPBC=2SABC, 点E到平面PBC的距离为PA=. 1 2 3 2 4 4.(1)证明 连接AD1,BC1(图略). 由正方体的性质可知,DA1AD1,DA1AB,又ABAD1=A, DA1平面ABC1D1. AE平面ABC1D1,AEDA1. (2)解 所求点G即为点A1,证明如下: 由(1)可知AEDA1,取CD的中
10、点H,连接AH,EH(图略),由DFAH,DFEH,AHEH=H, 可得DF平面AHE. AE平面AHE,DFAE. 又DFA1D=D, AE平面DFA1, 即AE平面DFG. 5 5.解 (1)D,E分别是AB,BC边的中点, DEAC,DEBC,DE=1. 1 2 依题意,DEEF,BE=EF=2, EFEC=E,DE平面CEF, DE平面ACED, 平面ACED平面CEF. 作FMEC于M, 则FM平面ACED, CEF=60,FM=,3 梯形ACED的面积S=(AC+ED)EC=(1+2)2=3. 1 2 1 2 四棱锥F-ADEC的体积V= Sh= 3. 1 3 1 3 3 = 3
11、(2)(法一)如图,取线段AF,CF的中点N,Q,连接DN,NQ,EQ,则NQAC, 1 2 NQDE,四边形DEQN是平行四边形,DNEQ. EC=EF,CEF=60, CEF是等边三角形,EQFC, 又DE平面CEF,DEEQ, ACEQ, FCAC=C,EQ平面ACF, DN平面ACF, 又DN平面ADF, 平面ADF平面ACF. (法二)连接BF, EC=EF,CEF=60, CEF是边长为 2 等边三角形. BE=EF, EBF=CEF=30, 1 2 BFC=90,BFFC. DE平面BCF,DEAC, AC平面BCF. BF平面BCF,ACBF, 又FCAC=C, BF平面ACF
12、,又BF平面ADF,平面ADF平面ACF. 6 6.(1)证明 取PD的中点N,连接AN,MN,则MNCD,且MN= CD, 1 2 又ABCD,AB= CD, 1 2 MNAB,MN=AB, 四边形ABMN是平行四边形, ANBM, 又BM平面PCD,AN平面PCD,ANPD,ANCD, 由ED=EA,即PD=PA,及N为PD的中点, 得PAD为等边三角形, PDA=60, 又EDC=150,CDA=90, CDAD,又ANAD=A, CD平面PAD, 又CD平面ABCD, 平面PAD平面ABCD. (2)解 设四棱锥P-ABCD的高为h,四边形ABCD的面积为S, 则VP-ABCD= Sh
13、=2, 1 3 3 又SBCD= S,四面体BCDM的底面BCD上的高为 , 2 3 h 2 四面体BCDM的体积VBCDM= SBCDSh=. 1 3 h 2 = 1 6 2 3 23 3 7 7.(1)解 PA底面ABCD, PA为此四棱锥底面上的高. V四棱锥P-ABCD= S正方形ABCDPA= 122= . 1 3 1 3 2 3 (2)证明 连接AC交BD于点O,连接OE. 四边形ABCD是正方形, AO=OC. 又AE=EP,OEPC. 又PC平面BDE,OE平面BDE, PC平面BDE. (3)解 不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BDCE. 证明如下:四边形ABCD是正方形,
14、BDAC. PA底面ABCD,PABD. 又PAAC=A, BD平面PAC. CE平面PAC,BDCE. 8 8.(1)证明 PA底面ABCD,AB底面ABCD,PAAB, 又底面ABCD为矩形,ABAD, 又PA平面PAD,AD平面PAD,PAAD=A,AB平面PAD, 又PD平面PAD,ABPD,AD=AP,E为PD中点, AEPD,AEAB=A,AE平面ABE,AB平面ABE, PD平面ABE. (2)解 四棱锥P-ABCD外接球球心是线段BD和线段PA的垂直平分线交点O, 由已知BD=AB2+ AD2 =4,(2 7) 2 + 22 2 设M为BD中点, AM=2,OM= AP=1,2
15、 1 2 OA=AM2+ OM2 =3,(2 2) 2 + 12 四棱锥P-ABCD外接球的体积是 OA3=36. 4 3 9 9.(1)证明 由题意,点E在底面ABCD的射影在MN上,可设为点P, 同理,点F在底面ABCD的射影在MN上,可设为点Q,则EP平面ABCD,FQ平面ABCD, 平面EMP平面ABCD,平面FNQ平面ABCD, 又MN平面ABCD,MN平面EMP,MN平面FNQ, 由结论 2:过平面内一条直线作该平面的垂面,有且只有一个, 得到E,F,M,N四点共面. (2)解 二面角E-AD-B和二面角F-BC-A都是 60, EMP=FNQ=60, EP=EMsin 60=, 3 2 三棱锥E-BCF的体积VE-BCF=VABCDEF-VE-ABCD=23- 1 3 ( 1 2 2) 3 2 +( 1 2 3 2 2) 1 3 (42). 3 2 = 3 2