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1、课时规范练 35 直接证明与间接证明课时规范练 35 直接证明与间接证明 一、基础巩固组 1 1.要证:a2+b2-1-a2b20,只需证明( ) A.2ab-1-a2b20B.a2+b2-1-0 4+ 4 2 C.-1-a2b20D.(a2-1)(b2-1)0 ( + )2 2 2 2.用反证法证明结论“三角形内角至少有一个不大于 60”,应假设( ) A.三个内角至多有一个大于 60 B.三个内角都不大于 60 C.三个内角都大于 60 D.三个内角至多有两个大于 60 3 3.(2017 河南郑州模拟)设x0,P=2x+2-x,Q=(sin x+cos x)2,则( ) A.PQB.Pb
2、0,m=,n=,则m,n的大小关系是 . - 6 6.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,求证:ab+bc+ac. 1 3 7 7.(2017 河北唐山模拟)已知a0,1,求证:. 1 1 1 + 1 1 - 二、综合提升组 8 8.设f(x)是定义在 R R 上的奇函数,且当x0 时,f(x)单调递减,若x1+x20,则f(x1)+f(x2)的值 ( ) A.恒为负值B.恒等于零 C.恒为正值D.无法确定正负 9 9.如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值,则( ) A.A1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形 B.A1B1C1和A2B2C2都是钝角三角
3、形 C.A1B1C1是钝角三角形,A2B2C2是锐角三角形 D.A1B1C1是锐角三角形,A2B2C2是钝角三角形导学号 21500552 1010.已知a,b是不相等的正数,x=,y=,则x,y的大小关系是 . + 2 + 1111.已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx- x2+ x3,函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象在交点(0,0)处 1 2 1 3 有公共切线. (1)求a,b的值; (2)证明f(x)g(x). 三、创新应用组 1212.(2017 贵州安顺调研)已知函数f(x)=3x-2x,求证:对于任意的x1,x2R R,均有f (1) + (2) 2 .
4、( 1+ 2 2 ) 1313.在等差数列an中,a1=3,其前n项和为Sn,等比数列bn的各项均为正数,b1=1,公比为q(q1), 且b2+S2=12,q=. 2 2 (1)求an与bn; (2)证明:+. 1 3 1 1 + 1 2 1 0,所以P2;又(sin x+cos 2 2 - x)2=1+sin 2x,而 sin 2x1,所以Q2.于是PQ.故选 A. 4 4.D a0,b0,c0, 6,( + 1 ) +( + 1 ) +( + 1 ) =( + 1 ) +( + 1 ) +( + 1 ) 当且仅当a=b=c=1 时,等号成立,故三者不能都小于 2,即至少有一个不小于 2.
5、5 5.m0,显然成立. - 6 6.证明 由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac得 a2+b2+c2ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 所以 3(ab+bc+ca)1,即ab+bc+ca 1 3. 7 7.证明 由已知1 及a0 可知 01, 1 1 1 + 1 1 - 1 + 1 - 只需证 1+a-b-ab1,只需证a-b-ab0,即1, - 即1,这是已知条件,所以原不等式得证. 1 1 8 8.A 由f(x)是定义在 R R 上的奇函数,且当x0 时,f(x)单调递减,可知f(x)是 R R 上的单调递减
6、函 数.由x1+x20,可知x1-x2,即f(x1)22(a+b)a+b+2a+b + 2 ,即x + 2 1111.(1)解 f(x)=,g(x)=b-x+x2, 1 1 + 由题意得 (0) = (0), (0) = (0), 解得a=0,b=1. (2)证明 令h(x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)- x3+ x2-x(x-1). 1 3 1 2 h(x)=-x2+x-1=, 1 + 1 - 3 + 1 h(x)在(-1,0)内为增函数,在(0,+)内为减函数. h(x)max=h(0)=0,即h(x)h(0)=0,即f(x)g(x). 1212.证明 要证f,即证-2, (1)
7、+ (2) 2 ( 1+ 2 2 ) (3 1 - 21) + (32- 22) 2 3 1+ 2 2 1+ 2 2 因此只要证-(x1+x2)-(x1+x2), 31+ 32 2 3 1+ 2 2 即证,因此只要证, 31+ 32 2 3 1+ 2 2 31+ 32 2 31 3 2 由于x1,x2R R 时,0,0,3132 因此由基本不等式知显然成立, 31+ 32 2 31 3 2 故原结论成立. 1313.(1)解 设等差数列an的公差为d. 因为 2+ 2= 12, = 2 2, 所以 + 6 + = 12, = 6 + , 解得(q=-4 舍去). = 3, = 3, 故an=3+3(n-1)=3n,bn=3n-1. (2)证明 因为Sn=,所以 (3 + 3) 2 1 = 2 (3 + 3) = 2 3( 1 - 1 + 1). 所以+ 1 1 + 1 2 1 n = 2 3(1 - 1 2) +(1 2 - 1 3) +(1 3 - 1 4) + +(1 - 1 + 1) = 2 3(1 - 1 + 1). 因为n1,所以 0,所以1-1,所以 1 + 1 1 2 1 2 1 + 1 1 3 2 3(1 - 1 + 1) 2 3. 所以+ 1 3 1 1 + 1 2 1 2 3.