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1、课时规范练 42 空间向量及其运算课时规范练 42 空间向量及其运算 一、基础巩固组 1 1.已知空间四边形OABC中,=a a,=b b,=c c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则=( ) A. a- b+ ca- b+ cB.-a+ b+ ca+ b+ c 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 1 2 C. a+ b- ca+ b- cD. a+ b- ca+ b- c 1 2 1 2 1 2 2 3 2 3 1 2 2 2.设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O,球面上的两个点A,B的坐标分别为A(1,2,2),B(2,- 2,1),则|AB|等于( ) A.18B.1
2、2C.3D.2 23 3 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为上底面A1C1的中心,若+x+y,则x,y的值分别 = 1 为( ) A.x=1,y=1B.x=1,y=1 2 C.x=,y=D.x=,y=1 1 2 1 2 1 2 4 4.向量 a a=(-2,-3,1),b=b=(2,0,4),c c=(-4,-6,2),下列结论正确的是( ) A.a ab b,a ac cB.a ab b,a ac c C.a ac c,a ab bD.以上都不对 5 5.A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足=0,=0,=0,M为BC中点,则AMD是 ( ) A.钝角三角形B.锐角三角形
3、C.直角三角形D.不确定 6 6.(2017 浙江舟山模拟)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量两两的夹角均为 60,且|,1 |=1,|=2,|=3,则|等于( )11 A.5B.6C.4D.8 7 7.已知空间向量 a a,b b,满足|a|=|b|a|=|b|=1,且 a a,b b 的夹角为 ,O为空间直角坐标系的原点,点A,B满足 3 =2a+ba+b,=3a-ba-b,则OAB的面积为 . 8 8.在空间直角坐标系中,以点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)为顶点的ABC是以BC为斜边的等 腰直角三角形,则实数x的值为 . 9 9.(2017 宁夏银川模
4、拟)已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则|的值 是 . 1010. 如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为BC1D的重心, 求证:(1)A1,G,C三点共线; (2)A1C平面BC1D. 导学号 21500751 二、综合提升组 1111.已知=(2,2,-2),=(1,y,z),若=(x-1,y,1),且BPAB,则实数x,y,z分别为 , ( ) A.5,-1,1B.1,1,-1 C.-3,1,1D.4,1,-2 1212.(2017 安徽合肥质检)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3,点M是BC的中点
5、,点P AC1,QMD,则PQ长度的最小值为( ) A.1B.C.D.2 4 3 2 3 3 1313.(2017 内蒙古包头模拟)如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标, 3 3 为 .导学号 21500752 1414.在四棱锥P-ABCD中,PD底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点. (1)求证:EFCD. (2)在平面PAD内是否存在一点G,使GF平面PCB.若存在,求出点G坐标;若不存在,试说明理由. 三、创新应用组 1515
6、.如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别 为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为,则 cos 的最大值为 . 1616.如图所示的直三棱柱ABC-A1B1C1,在其底面三角形ABC中,CA=CB=1,BCA=90,棱AA1=2,M,N分 别是 A1B1,A1A的中点. (1)求的模; (2)求 cos0),则E,所以=(0,0,a),|=a,|= (1,1, 2) =(- 1,1, 2) ( - 1)2+ 12+( 2) 2 = 2 + 2 4 = 8 + 2 2 . 又 cos=,所以,解得a2=4,即a=2,所以E(1,
7、1,1)., 3 3 0 ( - 1) + 0 1 + 2 2 8 + 2 2 = 3 3 1414.(1)证明 如图,以DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则 D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E,P(0,0,a),F ( , 2 ,0 )( 2, 2, 2). =(0,a,0). =(- 2,0, 2), =0, 即EFCD. (2)解 假设存在满足条件的点G,设G(x,0,z), 则,若使GF平面PCB, =( - 2, - 2, - 2) 则由x-,-,z-(a,0,0)=a=0,得x= = ( 2 2 2
8、 ) ( - 2) 2. 由x-,-,z-(0,-a,a)=+a=0,得z=0. = ( 2 2 2 ) 2 2 ( - 2) 点G坐标为,即存在满足条件的点G,且点G为AD的中点. ( 2,0,0) 1515 以A为坐标原点,射线AB,AD,AQ分别为x,y,z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系2 5 设正方形ABCD和ADPQ的边长为 2,则E(1,0,0),F(2,1,0),M(0,y,2)(0y2). 所以=(2,1,0),=(-1,y,2). 所以=-2+y,|=,|= 5 5 + 2. 所以 cos = | |A| = | - 2 + | 5 5 + 2 = 2 - 5 5
9、+ 2 . 令 2-y=t, 则y=2-t,且t0,2. 所以 cos = 5 5 + (2 - )2 = 5 9 - 4 + 2 . 当t=0 时,cos =0. 当t0 时, cos = 1 5 9 2 - 4 + 1 =, 1 5 9(1 - 2 9) 2 + 5 9 由t(0,2,得, 1 1 2, + ) 所以9(1 - 2 9) 2 + 5 9 9 (1 2 - 2 9) 2 + 5 9 = 5 2 . 所以 0=1,1 1 1 |1|1| = 30 10 . (3)证明 依题意,得C1(0,0,2),M=(-1,1,-2), ( 1 2, 1 2 ,2 ),A1B C1M =(1 2, 1 2 ,0 ) =-+0=0. A1BC1M 1 2 + 1 2 ,A1BC1M. A1B C1M