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1、专题 09 三角恒等变换与求值 文专题 09 三角恒等变换与求值 文 考纲解读明方向 考点内容解读要求高考示例常考题型 预测热 度 1.两角和与差 的 三角函数公式 掌握 2017 江苏,5; 2016 江苏,15; 2015 课标,2; 2014 课标,14 选择题 填空题 解答题 2.二倍角公式 (1)两角和与差的三角函数公式 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公 式; 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正 弦、正切公式; 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正 弦、 余弦、 正切公式,导出二倍角的正弦、 余弦、 正切公式,了解它们的内在联系. (2)简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简
2、单的恒等变换(包括导 出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三 组公式不要求记忆) 掌握 2016 浙江,10; 2016课标全国,9; 2016 四川,11 选择题 填空题 解答题 分析解读： 1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等. 3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的 化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为 5 分或 12 分,为中低档题. 考点内容解读要求高考示例 常考题 型 预测热 度 三角函数的概
3、念、 同角三角函数的 基本关系式和诱 导公式 了解任意角的概念和弧度制的概念; 能进行弧度与角度的互化; 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的 定义; 理 解 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 式:sin2x+cos2x=1,=tan x; 能 利 用 单 位 圆 中 的 三 角 函 数 线 推 导 出 , 的正弦、余弦、正切的诱导公式 理解 2017 北京,12; 2016 课标全国 ,5; 2015 广东,16; 2014 四川,13; 2014 大纲全 国,3 选择 题 填空 题 分析解读 1.了解任意角、弧度制的概念,能正确进行弧度与角度的互化. 2.会判断三角函数值的符
4、号;理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 3.能利用单位圆中的三角函数线推导出, 的正弦、余弦、正切的诱导公式,会用三角函数 线解决相关问题. 4.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x,全面系统地掌握知识的来龙去脉,熟悉各 知识点之间的联系. 5.本节内容在高考中一般融入三角函数求值、化简中,不能单独考查. 2018 年高考全景展示 1.【2018 年文北京卷】在平面坐标系中，是圆上的四段弧（如图） ，点P在其中一段 上，角 以O为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是 A. B. C. D. 【答案】C A 选项：当点 在上时，故 A 选项错误；B
5、 选项：当点 在上时， ，故 B 选项错误；C 选项：当点 在上时， ，故 C 选项正确；D 选项：点 在上且在第三象限， ，故 D 选项错误.综上，故选 C. 点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所 对应的三角函数线进行比较. 2 【2018 年全国卷文】函数的最小正周期为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析:将函数进行化简即可 点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题 3.【2018 年新课标 I 卷文】 已知角 的顶点为坐标原点， 始边与 轴的非负半轴重合， 终边上有两点， ，且，则 A. B. C. D. 【答
6、案】B 【解析】分析 ： 首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的 定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项. 详解 ： 根据题的条件，可知三点共线，从而得到，因为， 解得，即，所以，故选 B. 点睛：该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系， 余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果. 4 【2018 年全国卷 II 文】已知，则_ 【答案】 【解析】分析：利用两角差的正切公式展开，解方程可得. 详解：，解方程得. 点睛：本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况
7、，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记 忆准确，特殊角的三角函数值运算准确. 5【2018 年浙江卷】 已知角的顶点与原点O重合， 始边与x轴的非负半轴重合， 它的终边过点P（ ） （）求 sin（+）的值； （）若角满足 sin（+）=，求 cos的值 【答案】 （） , （） 或 【解析】 分析 ： （） 先根据三角函数定义得， 再根据诱导公式得结果，（） 先根据三角函数定义得， 再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果. 点睛：三角函数求值的两种类型： (1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是
8、找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. 一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； 变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 6 【2018 年文北京卷】已知函数. （）求的最小正周期； （）若在区间上的最大值为 ，求的最小值. 【答案】 （） （） 【解析】分析：（1）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（2） 根据，可求的范围，结合函数图像的性质，可得参数的取值范围. 点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简 时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负. 7 【2018 年江苏卷
9、】已知为锐角， （1）求的值； （2）求的值 【答案】 （1）（2） 【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正 切公式得，再利用两角差的正切公式得结果. 详解：解：（1）因为，所以因为，所以， 因此， （2）因为为锐角，所以又因为，所以 ，因此因为，所以， 因此， 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度 (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”. (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦” 、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目
10、标，其手法通常有：“常值 代换” 、“逆用变用公式” 、“通分约分” 、“分解与组合” 、“配方与平方”等. 2017 年高考全景展示 1.【2017 课标 3，文 6】函数 1 ( )sin()cos() 536 f xxx的最大值为（ ） A 6 5 B1C 3 5 D 1 5 【答案】A 【考点】三角函数性质 【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为 sin()yAxB的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征 2.【2017 课标 3，文 4】已知 4 sincos 3 ，则sin2=（ ） A 7 9 B
11、 2 9 C 2 9 D 7 9 【答案】A 【解析】 2 sincos17 sin22sincos 19 . 所以选 A. 【考点】二倍角正弦公式 【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度 (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”. (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦” 、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值 代换” 、“逆用变用公式” 、“通分约分” 、“分解与组合” 、“配方与平方”等. 3. 【2017 山东，文 4】已知 3 cos
12、 4 x ,则cos2x A. 1 4 B. 1 4 C. 1 8 D. 1 8 【答案】D 【解析】 试题分析：由 3 cos 4 x 得 2 2 31 cos22cos121 48 xx ,故选 D. 【考点】二倍角公式 【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征(2) 三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数 公式之间的共同点 4.【2017 江苏，5】 若 1 tan(), 46 则tan . 【答案】 7 5 【考点】两角和正切公式 【名师点睛】三角函数求值的三种类型 (1)给
13、角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. 一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； 变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. (3)给值求角：实质是转化为“给值求值” ，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 5.【2017 课标 1，文 15】已知 (0) 2 a，tan =2，则 cos () 4 =_ 【答案】 3 10 10 【解析】 试题分析：由tan2得sin2cos 又 22 sincos1 所以 2 1 cos 5 因为(0,) 2 所以
14、 52 5 cos,sin 55 因为cos()coscossinsin 444 所以 522 523 10 cos() 4525210 【考点】三角函数求值 【名师点睛】三角函数求值的三种类型 （1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数 （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异 一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； 变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的 （3）给值求角：实质是转化为“给值求值” ，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角 6.【2017 北京，文 16】已知函数( )3co
15、s(2)2sincos 3 f xx-xx . （I）f(x)的最小正周期； （II）求证：当, 4 4 x 时， 1 2 f x 【答案】（） ；（）详见解析. 【解析】 试题分析 ： （）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为 sin 2 3 f xx ，根据 公式 2 T 求周期；（）当, 4 4 x 时，先求2 3 x 的范围再求函数的最小值. （）因为 44 x， 所以 5 2 636 x. 所以 1 sin(2)sin() 362 x . 所以当 , 4 4 x 时， 1 ( ) 2 f x . 【考点】1.三角函数的性质；2.三角恒等变换. 【名师点睛】本题考查三角
16、函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，本题属于基础题，要求准确应用 降幂公式和辅助角公式进行变形，化为标准的sinyAx的形式，借助正弦函数的性质去求函数的 周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值要给出自变量的取值. 2016 年高考全景展示 1.【2016 高考新课标 2 文数】函数 ( )cos26cos() 2 f xxx的最大值为（ ） （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 【答案】B 【解析】 考点： 正弦函数的性质、二次函数的性质. 【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当 3 sin 2 x 时，函数 2 311 2(sin) 22 yx 取得最大值. 2.2016 高考
17、新课标文数若tan 1 3 ，则cos2（ ） （A） 4 5 （B） 1 5 （C） 1 5 （D） 4 5 【答案】D 【解析】 试题分析： 2 222 222 2 1 1 ( ) cossin1tan4 3 cos2 1 cossin1tan5 1 ( ) 3 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角 【方法点拨】三角函数求值：“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角， 进而求出三角函数值；“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系 3.【2016 高考新课标 1 文数】已知是第四象限角,且 sin(+ 4 )= 3 5 ,则 tan( 4 )= .
18、 【答案】 4 3 【解析】 试题分析：由题意sinsin 442 3 cos 45 , 因为222 2 kk k Z,所以 7 22 444 kk k Z, 从而 4 sin 45 ,因此 4 tan 43 故填 4 3 考点：三角变换 4.【2016 高考浙江文数】已知 2 2cossin2sin()(0)xxAxb A，则A _，b _ 【答案】2；1 【解析】 考点：三角恒等变换. 【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简 2 cos x，再用辅助角公式化简cos2sin21xx，进而对照 sinxbA可得A和b 5.【2016 高考四川文科】 0 750sin = . 【答案】 1 2
19、 【解析】 试题分析：由三角函数诱导公式 1 sin750sin(72030 )sin30 2 . 考点：三角函数诱导公式 【名师点睛】本题也可以看作是一个来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于 课本有许多三角函数的求值问题一般都是通过三角函数的公式把函数化为特殊角的三角函数值而求解 6.【2016 高考北京文数】 （本小题 13 分） 已知函数)0(2coscossin2)(xxxxf的最小正周期为. （1）求的值； （2）求)(xf的单调递增区间. 【答案】 （）1（） 3 , 88 kk （k） 【解析】 试题分析：（）运用两角和的正弦公式对)(xf化简整理，由周期公式求的值； （）根据函数xysin的单调递增区间对应求解即可. 考点：两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性. 【名师点睛】三角函数的单调性：1.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式， 然后通过同解变形或利用数形结合方法求解关于复合函数的单调性的求法；2 利用三角函数的单调性比较 两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至 同一单调区间内若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与 0 比较，与 1 比较 等)求解