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1、专题 18 双曲线 文专题 18 双曲线 文 考纲解读明方向 考点内容解读要求常考题型预测热度 1.双曲线的定义 及其标准方程 了解 选择题 填空题 2.双曲线的几何 性质 了解 选择题 填空题 3.直线与双曲线 的位置关系 了 解 双 曲 线 的 定 义、几何图形和标 准方程,知道它的 简单几何性质 了解 选择题 解答题 分析解读 1.能根据所给几何条件求双曲线方程,能灵活运用双曲线定义及几何性质确定基本元素.2.理解 参数 a、b、c、e 的关系,渐近线及其几何意义.3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的 问题,判断位置关系及解决相关问题.4.能灵活运用数形结合的思想方法.
2、5.本节在高考中以双曲线的方程 和性质为主,分值约为 5 分,属中档题. 2018 年高考全景展示 1 【2018 年浙江卷】双曲线的焦点坐标是 A. (，0)，(，0) B. (2，0)，(2，0) C. (0，)，(0，) D. (0，2)，(0，2) 【答案】B 【解析】分析:根据双曲线方程确定焦点位置，再根据求焦点坐标. 点睛：由双曲线方程可得焦点坐标为，顶点坐标为，渐 近线方程为. 2 【2018 年天津卷文】已知双曲线 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 轴的直线与双 曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且 则双曲线的方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解
3、析】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后求解a的值即 可确定双曲线方程. 点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准 方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值如果已知双曲线的渐近线方程， 求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出的值即可. 3 【2018 年文北京卷】若双曲线的离心率为，则a=_. 【答案】4 【解析】分析：根据离心率公式，及双曲线中的关系可联立方程组，进而求解参数 的值. 详解：在双曲线中，且， 点睛：此题考查双曲线的基本知识，离心率是
4、高考对于双曲线考查的一个重要考点，根据双曲线的离心率 求双曲线的标准方程及双曲线的渐近线都是常见的出题形式，解题的关键在于利用公式，找 到之间的关系. 4 【2018 年江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近 线的距离为，则其离心率的值是_ 【答案】2 【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率. 详解：因为双曲线的焦点到渐近线即的距离为所以，因此 点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a. 2017 年高考全景展示 1.【2017 课表 1，文 5】已知F是双曲线C：1 3 2 2 y x的右焦点，P是C上一点，且
5、PF与x轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则APF的面积为 A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 2 【答案】D 【解析】 【考点】双曲线 【名师点睛】本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题由双曲线方程得)0 , 2(F，结合PF与x轴 垂直，可得3|PF，最后由点A的坐标是(1，3)，计算APF的面积 2.【2017 课标 II，文 5】若1a ，则双曲线 2 2 2 1 x y a 的离心率的取值范围是 A. ( 2,) B. ( 2,2) C. (1,2) D. (1,2) 【答案】C 【解析】由题意 22 2 222 11 1 ca e aaa ，因为1a ，所以 2 1
6、112 a ，则1 2e ，故选 C. 【考点】双曲线离心率 【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于, ,a b c的方程或不等 式，再根据, ,a b c的关系消掉b得到 , a c的关系式，而建立关于 , ,a b c的方程或不等式，要充分利用椭圆和 双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 3.【2017 天津，文 5】已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点为F，点A在双曲线的渐近线上， OAF是边长为 2 的等边三角形（O为原点） ，则双曲线的方程为 （A） 22 1 412 xy （B） 22 1 124 xy （C） 2 2
7、 1 3 x y（D） 2 2 1 3 y x 【答案】D 【解析】 【考点】双曲线方程 【名师点睛】 本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质， 属于基础题 解题时要注意a、 b、c的关系 222 cab，否则很容易出现错误解本题首先画图，掌握题中所给的几何关系，再结合双 曲线的一些几何性质，得到, ,a b c的关系，联立方程，求得, ,a b c的值， 4.【2017 山东，文 15】在平面直角坐标系xOy中,双曲线 22 22 1(00) xy ab ab ， 的右支与焦点为F的 抛物线 2 2(0)xpy p交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的
8、渐近线方程为 . 【答案】 2 2 yx 【解析】 试题分析：由抛物线定义可得：|=4 222 ABAB ppp AFBFyyyyp, 因为 22 22222 22 2 1 20 2 xy a ypb ya b ab xpy ,所以 2 2 2 2 AB pb yypab a 渐近线方程 为 2 2 yx . 【考点】抛物线的定义与性质、双曲线的几何性质 【名师点睛】若AB是抛物线 2 20ypx p的焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2)则 (1)y1y2p2,x1x2.(2)|AB|x1x2p(为AB的倾斜角)(3)为定值 . p2 4 2p sin2 1 |AF| 1 |BF| 2
9、 p (4)以AB为直径的圆与准线相切 (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切 5.【2017 课标 3，文 14】双曲线 22 2 1 9 xy a （a0）的一条渐近线方程为 3 5 yx，则a= . 【答案】5 【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为： 3 yx a ，结合题意可得：5a . 【考点】双曲线渐近线 【名师点睛】1.已知双曲线方程 22 22 1 xy ab 求渐近线： 22 22 0 xyb yx aba 2.已知渐近线ymx 设双曲线标准方程 222 m xy 3.双曲线焦点到渐近线距离为b，垂足为对应准线与渐近线的交点. 6.【2017 江苏， 8】 在平面直角坐
10、标系xOy中,双曲线 2 2 1 3 x y的右准线与它的两条渐近线分别交于点P, Q,其焦点是 12 ,F F,则四边形 12 FPF Q的面积是 . 【答案】2 3 【考点】双曲线渐近线 【名师点睛】1.已知双曲线方程 22 22 1 xy ab 求渐近线： 22 22 0 xyb yx aba 2.已知渐近线ymx 设双曲线标准方程 222 m xy 3，双曲线焦点到渐近线距离为b，垂足为对应准线与渐近线的交点. 2016 年高考全景展示 1. 【2016 高考山东文数】已知双曲线E： 2 2 x a 2 2 y b =1（a0，b0） 矩形ABCD的四个顶点在E上，AB， CD的中点为
11、E的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_ 【答案】2 【解析】 试题分析： 依题意，不妨设6,4ABAD，作出图象如下图所示 考点：双曲线的几何性质 【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题解答，利用特殊化思想，通过对特殊情况的讨论，转化 得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好的考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能 力等. 2.【2016 高考浙江文数】设双曲线x2 2 3 y =1 的左、右焦点分别为F1，F2若点P在双曲线上，且F1PF2 为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是_ 【答案】(2 7,8) 【解析】 考点：双曲线的几何性质
12、. 【思路点睛】先由对称性可设点在右支上，进而可得 1 F和 2 F，再由 12 F F 为锐角三角形可得 222 121 2 FFFF ，进而可得x的不等式，解不等式可得 12 FF 的取值范围 3.【2016 高考北京文数】已知双曲线 22 22 1 xy ab （0a ，0b ）的一条渐近线为20xy，一个焦 点为( 5,0)，则a _；b _. 【答案】1,2ab. 【解析】 试题分析：依题意有 5 2 c b a ,结合 222 cab,解得1,2ab. 考点：双曲线的基本概念 【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1) 掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数. 求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线 与椭圆的标准方程可统一为1 22 ByAx的形式，当0A，0B，BA 时为椭圆，当0AB时为双 曲线.