浙江专用2019高考数学二轮复习精准提分第一篇屑点抢先练基础题不失分第4练平面向量试题.pdf

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1、第 4 练 平面向量第 4 练 平面向量 明晰考情 1.命题角度：向量常与三角函数、不等式、解析几何等知识交汇命题，综合考 查向量的有关知识，一般以选择、填空题的形式考查.2.题目难度：中低档难度 考点一 平面向量的线性运算 要点重组 (1)平面向量的线性运算：加法、减法、数乘 (2)共线向量定理 (3)平面向量基本定理 方法技巧 (1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的 三角形法则：共起点连终点，指向被减 (2)已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s，t，使得stOC OA ，且st1，s，tR R.OB (3)证明三点共线问题，可转化

2、为向量共线解决 1(2018全国)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于( )EB A. 3 4AB 1 4AC B. 1 4AB 3 4AC C. 3 4AB 1 4AC D. 1 4AB 3 4AC 答案 A 解析 作出示意图如图所示 () ()EB ED DB 1 2AD 1 2CB 1 2 1 2 AB AC 1 2 AB AC . 3 4AB 1 4AC 故选 A. 2.如图，在ABC中，N是AC边上一点，且，P是BN上的一点，若m，AN 1 2NC AP AB 2 9AC 则实数m的值为( ) A.B. 1 9 1 3 C1D3 答案 B 解析 ，AN 1 2NC

3、 AN 1 3AC mm.AP AB 2 9AC AB 2 3AN 又B，N，P三点共线， m . 1 3 3.如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则等AC AM BN 于( ) A2B. C. D. 8 3 6 5 8 5 答案 D 解析 方法一 如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系， 设正方形边长为 1，AM (1， 1 2) ，(1,1)BN ( 1 2，1) AC ，AC AM BN (1， 1 2)( 1 2，1) ( 2 ， 2 ) Error!解得Error!故 . 8 5 方法二 以，作为基底，AB AD M，N分别为BC，CD的中点， ，AM A

4、B BM AB 1 2AD ，BN BC CN AD 1 2AB ，AC AM BN ( 2)AB ( 2 )AD 又，AC AB AD 因此Error!解得Error! 所以 . 8 5 4已知AB，DC为梯形ABCD的两腰，若(1,3)，(1x，2x)，则x_.AD BC 答案 3 解析 由梯形的性质知，且同向，AD BC 则12x3(1x)0，解得x3. 5在ABC中，点M是线段BC延长线上一点，且满足BM3CM，若xy，则xyAM AB AC _. 答案 2 解析 因为，AM AC CM AC 1 2BC BC AC AB 所以 ()，AM AC 1 2 AC AB 3 2AC 1 2

5、AB 所以x ，y ，则xy2. 1 2 3 2 考点二 平面向量的数量积 要点重组 (1)a ab b|a a|b b|cos. (2)|a a|2a aa a；cos. a ab b |a a|b b| 方法技巧 (1)向量数量积的求法：定义法，几何法(利用数量积的几何意义)，坐标法 (2)向量运算的两种基本方法：基向量法，坐标法 6 已知向量a a(1,2)，b b(1,0)，c c(3,4)， 若为实数， (b ba a)c c， 则的值为( ) AB C. D. 3 11 11 3 1 2 3 5 答案 A 解析 b ba a(1,0)(1,2)(1，2)，又c c(3,4)，且(b

6、 ba a)c c，所以(b b a a)c c0，即 3(1)243380，解得. 3 11 7已知ABC是边长为 2 的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是PA PB PC ( ) A2B3 2 CD1 4 3 答案 B 解析 方法一 (解析法) 建立坐标系如图所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(1，0)，C(1,0)设P3 点的坐标为(x，y)， 图 则(x，y)，PA 3 (1x，y)，PB (1x，y)，PC ()(x，y)(2x，2y)PA PB PC 3 2(x2y2y)22 .3 x 2(y 3 2) 23 4( 3 4) 3 2 当且仅当x0，y时

7、，()取得最小值，最小值为 . 3 2 PA PB PC 3 2 故选 B. 方法二 (几何法) 如图所示，2(D为BC的中点)，则()2.PB PC PD PA PB PC PA PD 图 要使最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2)min2|，PA PD PA PD PA PD PA PD 问题转化为求|的最大值PA PD 又当点P在线段AD上时， |2，PA PD AD 3 2 3 | 22 ， PA PD ( |PA |PD | 2 ) ( 3 2) 3 4 ()min(2)min2 .PA PB PC PA PD 3 4 3 2 故选 B. 8已知向量，则ABC等于( )BA

8、 ( 1 2， 3 2) BC ( 3 2 ，1 2) A30B45 C60D120 答案 A 解析 |1，|1，cosABC.BA BC BA BC |BA |BC | 3 2 又0ABC180，ABC30. 9 (2016浙江)已知向量a a，b b， |a a|1， |b b|2.若对任意单位向量e e， 均有|a ae e|b be e| ，则a ab b的最大值是_6 答案 1 2 解析 由已知可得|a ae e|b be e|a ae eb be e|(a ab b)e e|，6 由于上式对任意单位向量e e都成立 |a ab b|成立6 6(a ab b)2a a2b b22a

9、ab b12222a ab b. 即 652a ab b，a ab b . 1 2 10在平面内，6，动点P，M满足|2，则|2的AB AC BA BC CA CB AP PM MC BM 最大值是_ 答案 16 解析 由已知易得ABC是等边三角形且边长为 2.设O是ABC的中心， 则|3OA OB |2.OC 以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系， 如图所示， 则A(2,0)，B(1，)，C(1，)33 设P(x，y)，由已知|2，AP 得(x2)2y24.，PM MC M， ( x1 2 ，y 3 2) BM ( x1 2 ，y3 3 2) |2，BM x 1 2 y3 32 4

10、它表示圆(x2)2y24 上的点P(x，y)与点D(1，3)的距离的平方的 ，3 1 4 |max228，PD 2123 32 927 |16.BM 2max 82 4 考点三 平面向量的综合应用 方法技巧 (1)以向量为载体的综合问题，要准确使用平面向量知识进行转化，最后归结为 不含向量的问题 (2)平面向量常与三角函数、平面几何、解析几何等相结合，利用向量共线或数量积的知识 解题 11 (2018温州模拟)如图已知ABC的边BC的垂直平分线交BC于Q， 交AC于P， 若|1， |AB |2，则的值为( )AC AP BC A3B. C.D. 3 2 3 3 2 答案 B 解析 因为BC的垂

11、直平分线交AC于Q， 所以0，QP BC AP BC (AQ QP ) BC AQ BC QP ，故选 B.BC 1 2(AC AB )(AC AB ) 1 2(AC 2AB 2) 3 2 12 如图， 半径为 1 的扇形AOB中， AOB120，P是弧AB上的一点， 且满足OPOB, M，N 分别是线段OA，OB上的动点，则的最大值为( )PM PN A.B. 2 2 3 2 C1 D. 2 答案 C 解析 2 PM PN (PO OM ) (PO ON ) PO OM PO OM ON 1|cos150|cos1201001， 当且仅当M点与OOM OM ON ( 3 2) ( 1 2)

12、点重合时取等号，故选 C. 13如图，在ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且xy，则 的最AD AE AB AC 1 x 4 y 小值为( ) A.B2 3 2 C.D. 5 2 9 2 答案 D 解析 由题图可知x，y均为正，设mn，B，D，E，C共线，AD AB AC AE AB AC mn1，1， xy(m)(n)，AD AE AB AC AB AC 则xymn2， ， 1 x 4 y 1 2( 1 x 4 y)(xy) 1 2(5 y x 4x y) 1 2(52 y x 4x y) 9 2 当且仅当x ，y 时，等号成立 2 3 4 3 则 的最小值为 ，故选 D. 1 x 4

13、 y 9 2 14(2018浙江省名校协作体联考)设数列xn的各项都为正数且x11.ABC内的点 Pn(nN N*)均满足PnAB与PnAC的面积比为 21，若xn1(2xn1)0 0，PnA 1 2 PnB PnC 则x4的值为( ) A15B17 C29D31 答案 A 解析 由xn10 0 得(2xn1)xn1，PnA 1 2 PnB (2xn1)PnC PnA PnC 1 2 PnB 设(2xn1)，PnD PnC 以线段PnA，PnD作出平行四边形AEDPn，如图， 则xn1，PnA PnD PnE 1 2 PnB ， |PnE | |PnB | xn1 2 n n P AE P A

14、B S S , ， xn1 2 |PnC | |PnD | |PnC | AE 1 2xn1 n n P AC P AD S S n n P AC P AE S S ， 1 12xn 则 n n P AC P AB S S ， xn1 212xn 1 2 即xn12xn1， xn112(xn1), 则xn1构成以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列， 所以x4122316，所以x415.故选 A. 15在ABC中，ACB为钝角，ACBC1, xy且xy1，函数f(m)|mCO CA CB CA |的最小值为，则|的最小值为_CB 3 2 CO 答案 1 2 解析 在ABC中，ACB为钝角，A

15、CBC1， 函数f(m)的最小值为. 3 2 函数f(m)|m|CA CB CA 2m2CB 22mCA CB ，1m22mcosACB 3 2 化为 4m28mcosACB10 恒成立 当且仅当mcosACB时等号成立， 8cosACB 8 代入得到 cosACB (舍去正值)， 1 2 ACB. 2 3 2x22y222xy CO CA CB CA CB x2y22xycos2 3 x2(1x)2x(1x) 3 2 ， (x 1 2) 1 4 当且仅当x y时， 2取得最小值 ， 1 2 CO 1 4 的最小值为 . |CO | 1 2 1对任意向量a a，b b，下列关系式中不恒成立的是

16、( ) A|a ab b|a a|b b| B|a ab b|a a|b b| C(a ab b)2|a ab b|2 D(a ab b)(a ab b)a a2b b2 答案 B 解析 选项 B 中，当向量a a，b b反向及不共线时， 有|a ab b|，故 B 中关系式不恒成立|a a|b b| 2ABC的外接圆的圆心为O，半径为 1，若0 0，且|，则等于OA AB OC OA AB CA CB ( ) A. B.C3D2 3 2 33 答案 C 解析 0 0，故点O是BC的中点，且ABC为直角三角形，OA AB OC OB OC 又ABC的外接圆的半径为 1，|，BC2，AB1，CA

17、，BCA30，OA AB 3 |cos3023.CA CB CA CB 3 3 2 3已知向量a a(1,2)，b b(1,1)，且a a与a ab b的夹角为锐角，则实数的取值范围是 _ 答案 ( 5 3，0) (0，) 解析 a ab b(1，2)，由a a(a ab b)0，可得 . 5 3 又a a与a ab b不共线，0.故 且0. 5 3 4 向量a a，b b满足|a a|4，b b(a ab b)0， 若|a ab b|的最小值为 2(R R)， 则a ab b_. 答案 8 解析 向量a a，b b满足|a a|4，b b(a ab b)0， 即a ab bb b2. 若|a

18、 ab b|2(R R)，2a a22a ab bb b21622a ab ba ab b 化为 1622a ab ba ab b40 对于R R 恒成立， 4(abab)264(abab4)0， 化为(a ab b8)20， a ab b8. 解题秘籍 (1)熟练掌握向量数量积的概念，并且要从几何意义理解数量积的性质 (2)注意向量夹角的定义和范围在ABC中，和的夹角为 B；向量a a，b b的夹角为AB BC 锐角要和a ab b0 区别开来(不要忽视向量共线情况，两向量夹角为钝角类似处理) 1(2018金华模拟)已知平面向量a a，b b，c c，满足，且|a a|b b|c c|4，

19、a a |a a| b b |b b| c c |c c| 则c c(a ab b)的最大值为( ) A1B2C3D4 答案 B 解析 由题意可得， a a |a a| b b |b b| c c |c c| 可得a a，c c60， b b，c c60， 故c c(a ab b)， |a a|c c|b b|c c| 2 将|a a|b b|c c|4 两边同时乘以|c c|， 可得|a a|c c|b b|c c|c c|24|c c|， 故c c(a ab b)， |a a|c c|b b|c c| 2 |c c|24|c c| 2 |c c|224 2 故c c(a ab b)max

20、2. 4 2 2若|1，|4，2，则ABC的面积是( )OA OB OA OB OA OB OC A1B2C.D233 答案 C 解析 因为，OA OB OC 所以，OA OC OB BC OB OC OA AC 又|1，|4，OA OB 所以|1，|4，2，即2.BC AC OA OB BC AC 设与的夹角为，易知与BCA互为对顶角，BC AC 所以BCA. 由|cos14cos2，BC AC BC AC 得 cos ，BCA是三角形的内角，sinBCAsin， 1 2 3 2 所以SABC |sinBCA. 1 2 BC AC 3 3(2018诸暨月考)平行四边形ABCD中， ，在上的投

21、影分别为 3，1，则在上AC BD AB BD BC 的投影的取值范围是( ) A(1，) B(1,3) C(0，) D(0,3) 答案 A 解析 以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴， 建立如图所示的平面直角坐标系， 设B(a， 0)， CBD， 则C(3，b)，D(a1，b), 则 3(a1)a，解得a2. 所以D(1，b)，C(3，b) . 在上的投影为|coscos.BD BC BD 1b2 当b0 时，cos1，得BM1. 当b时，0，得BM. 故选 A. 4 (2018浙江湖州、 衢州、 丽水三市联考)已知O是ABC的外心， C45， 则mnOC OA (m，nR R)，则mn的取

22、值范围是( )OB A， B，1)222 C，1 D(1，22 答案 B 解析 由题意C45， 所以AOB90， 以OA，OB为x，y轴建立平面直角坐标系， 如图， 不妨设A(1,0)，B(0,1)，则C在圆O的优弧AB上，设C(cos，sin)，则， ( 2 ，2) 显然cossin，OC OA OB 即mcos，nsin，mncossinsin，2 ( 4) 由于，所以，sin， ( 2 ，2) 4( 3 4 ，9 4)( 4)1， 2 2) 所以mn，1)，故选 B.2 5 (2018浙江省金华十校模拟)已知平面内任意不共线的三点A，B，C， 则AB BC BC CA 的值为( )CA

23、AB A正数B负数 C0D以上说法都有可能 答案 B 解析 AB BC BC CA CA AB 2() 1 2 AB BC BC CA CA AB ()()() 1 2 AB BC BC CA AB BC CA AB BC CA CA AB ()()() 1 2 BC AB CA AB BC CA CA BC AB () 1 2 BC CB AB BA CA AC ( 222)0，20，由|，得|1|2|，即1c2b，亦AM AN AB AC 即 ，故选 A. 1 2 b c 7 (2018浙江省新昌中学、 台州中学等联考)如图， 点C在以AB为直径的圆上， 其中AB2， 过A向点C处的切线作

24、垂线，垂足为P，则的最大值是( )AC PB A2B1C0D1 答案 B 解析 连接BC，则ACB90， APPC， 2， AC PB AC (PC CB ) AC PC (AP PC ) PC PC 依题意可证 RtAPCRtACB，则， |PC| |CB| |AC| |AB| 即|PC|. |AC|CB| 2 |AC|2|CB|2|AB|2， |AC|2|CB|242|AC|CB|， 即|AC|CB|2，当且仅当|AC|CB|时取等号，2 |PC|1， 21， AC PB PC 的最大值为 1，故选 B.AC PB 8(2018浙江省嘉兴一中、杭州高级中学等联考)设a1，a2，a3，a4R

25、 R，且a1a4a2a31， 记f(a1，a2，a3，a4)aaaaa1a3a2a4，则f(a1，a2，a3，a4)的最小值为( ) 2 12 22 32 4 A1B.C2D233 答案 B 解析 设m m(a1，a2)，n n，(a3，a4) 因为a1a4a2a30，所以m m，n n不共线， 则f(a1，a2，a3，a4)|m m|2|n n|2m mn n， 记 cos，(0，)， m mn n |m m|n n| 则S |m m|n n|sin |m m|n n| 1 2 1 2 1cos2 |a1a4a2a3| |m m|n n|f(a1，a2，a3，a4) 1 2 1 2 1 si

26、n 2|m m|n n|m mn n(利用三角函数的有界性) 2 sin cos sin 3 9(2018浙江省嘉兴市第一中学模拟)设e e1，e e2为单位向量，其中a a2e e1e e2，b be e2，且a a 在b b上的投影为 2，则a ab b_，e e1与e e2的夹角为_ 答案 2 3 解析 因为2，所以a ab b2. a ab b |b b| 设e e1与e e2的夹角为，则 a ab b |b b| 2 e e1e e2 e e2 |e e2| 2|e e1|e e2|cos12， 2e e1e e2e e2 2 1 解得 cos ，又因为0，所以. 1 2 3 10在

27、ABC中，AB3，AC2，A60，m，则的最小值为_，又若AG AB AC |AG | ，则m_.AG BC 答案 3 1 6 解析 因为|cosA3，AB AC AB AC 所以 22 AG (mAB AC ) m2 22m 2 AB AB AC AC 9m26m4(3m1)23， 所以当 3m10 时，取最小值； |AG | 3 因为，AG BC 所以AG BC (mAB AC ) (AC AB ) (m1)m 223(m1)9m40， AB AC AB AC 解得m . 1 6 11(2018浙江省杭州市第二中学月考)已知点M为单位圆x2y21 上的动点，点O为坐 标原点，点A在直线x2

28、 上，则的最小值为_AM AO 答案 2 解析 设A(2，t)，M(cos，sin)0,2， 则(cos2，sint)，(2，t)，AM AO 所以4t22costsin.AM AO 又(2costsin)max，4t2 故4t2.AM AO 4t2 令s，则s2，又 4t2s2s2，4t24t2 当s2 即t0 时等号成立，故 min2. (AM AO ) 12若向量a a，b b满足a a2a ab bb b21，则的最大值为_ 1 2 |a ab b| 答案 2 10 5 解析 因为 222a a22b b2，224a ab b， |a ab b|a ab b|a ab b|a ab b| 所以1， |a ab b|2|a ab b|2 2 |a ab b|2|a ab b|2 8 即1， 5|a ab b|2 8 3|a ab b|2 8 即 2 ，|a ab b| 8 5 3|a ab b|2 5 8 5 故.|a ab b| 2 10 5