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1、基础课基础课 4 万有引力定律 万有引力定律 一、选择题(17 题为单项选择题，814 题为多项选择题) 1(2017湖南衡阳五校联考)在力学理论建立的过程中，有许多伟大的科学家做 出了贡献。关于科学家和他们的贡献，下列说法中不正确的是( ) A伽利略首先将实验事实和逻辑推理(包括数学推演)和谐地结合起来 B笛卡儿对牛顿第一定律的建立做出了贡献 C开普勒通过研究行星观测记录，发现了行星运动三大定律 D牛顿总结出了万有引力定律并用实验测出了引力常量 答案 D 2假设有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力 加速度的 4 倍，则该星球的质量是地球质量的( ) A. B4 倍C
2、16 倍 D64 倍 1 4 解析 由mg 得 M，所以 ，地，即 GMm R2 gR2 G M V gR2 G 4 3R 3 3g 4GR 3g 4GR ，得 R4R地，故64。选项 D 正确。 3g地 4GR地 M M地 gR2 G G g地R 答案 D 3火星成为我国深空探测的第二颗星球，假设火星探测器在着陆前，绕火星表 面匀速飞行(不计周围其他天体的影响)，宇航员测出飞行 N 圈用时 t，已知地球 质量为 M，地球半径为 R，火星半径为 r，地球表面重力加速度为 g。则( ) A火星探测器匀速飞行的速度约为2NR t B火星探测器匀速飞行的向心加速度约为4 2N2r t2 C火星探测器
3、的质量为4N 2r3 gR2t2 D火星的平均密度为3MN 2 gR2t 解析 火星探测器匀速飞行的速度约为 v，A 错误 ； 火星探测器匀速飞行， 2Nr t G，对于地球，g，两式结合，得到 M火，火星的 M火m探 r2 m探v2 r GM R2 42N2r3M t2gR2 平均密度为 ，故 D 错误；火星探测器的质量不可能计算出来， M火 V 3MN2 gR2t2 故 C 错误。 答案 B 4(2017湖南衡阳联考)两颗互不影响的行星 P1、P2，各有一颗近地卫星 S1、S2 绕其做匀速圆周运动。图 1 中纵轴表示行星周围空间某位置的引力加速度 a，横 轴表示该位置到行星中心距离 r 平
4、方的倒数，a 关系图如图所示，卫星 S1、S2 1 r2 的引力加速度大小均为 a0。则( ) 图 1 AS1的质量比 S2的大 BP1的质量比 P2的大 CP1的第一宇宙速度比 P2的小 DP1的平均密度比 P2的大 解析 根据万有引力定律可知引力加速度 a，由此可知图像的斜率为 GM， GM r2 P1的斜率大，对应的行星质量大，而卫星质量未知，选项 A 错，B 对；两行星 半径关系未知，则第一宇宙速度大小无法比较，选项 C 错；同理无法比较行星 密度，选项 D 错。 答案 B 5中国北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美 国全球定位系统(GPS)、俄罗斯格洛纳
5、斯卫星导航系统(GLONASS)之后第三个成 熟的卫星导航系统。预计 2020 年左右，北斗卫星导航系统将形成全球覆盖能力。 如图 2 所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知 a、b、c 三颗卫星均 做圆周运动，a 是地球同步卫星，则( ) 图 2 A卫星 a 的角速度小于 c 的角速度 B卫星 a 的加速度大于 b 的加速度 C卫星 a 的运行速度大于第一宇宙速度 D卫星 b 的周期大于 24 h 解析 a 的轨道半径大于 c 的轨道半径，因此卫星 a 的角速度小于 c 的角速度， 选项 A 正确；a 的轨道半径与 b 的轨道半径相等，因此卫星 a 的加速度等于 b 的 加速度，选项
6、 B 错误；a 的轨道半径大于地球半径，因此卫星 a 的运行速度小于 第一宇宙速度，选项 C 错误；a 的轨道半径与 b 的轨道半径相等，卫星 b 的周期 等于 a 的周期，为 24 h，选项 D 错误。 答案 A 6(2015海南单科，6)若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的 高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为 2，7 已知该行星质量约为地球的 7 倍，地球的半径为 R。由此可知，该行星的半径约 为( ) A. R B. RC2R D.R 1 2 7 2 7 2 解析 平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，即 xv0t，在竖直方向上做自由 落体运动， 即
7、 h gt2， 所以 xv0， 两种情况下， 抛出的速率相同， 高度相同， 1 2 2h g 所以 ， 根据公式 Gmg 可得 R2， 故2， 解得 R g行 g地 x x 7 4 Mm R2 GM g R行 R地 M行 M地 g地 g行 行2R，故 C 正确。 答案 C 7(2016辽宁大连重点中学联考)如图 3 所示，某极地轨道卫星的运行轨道平面 通过地球的南北两极，已知该卫星从北纬 60的正上方按图示方向第一次运行到 南纬 60的正上方时所用时间为 1 h，则下列说法正确的是( ) 图 3 A该卫星的运行速度一定大于 7.9 km/s B该卫星与同步卫星的运行速度之比为 12 C该卫星与
8、同步卫星的运行半径之比为 14 D该卫星的机械能一定大于同步卫星的机械能 解析 近地卫星的环绕速度等于第一宇宙速度 7.9 km/s。 根据 Gm， 得 v Mm r2 v2 r ，半径越大线速度越小，该卫星的半径大于地球半径，则其运行速度一定小 GM r 于 7.9 km/s，选项 A 错误；该卫星从北纬 60到南纬 60，转过 120用时 1 h，则 其转过 360用时 3 h，即周期为 3 h，而同步卫星的周期为 24 h，即该卫星与同 步卫星的周期之比为 18。根据 Gmr，得，则可得半径之比为 Mm r2 42 T2 r3 T2 GM 42 14， 选项 C 正确 ； 再由 v可得该
9、卫星与同步卫星的运行速度之比为 21， GM r 选项 B 错误；该卫星与同步卫星的质量关系未知，无法判断两者机械能的大小 关系，选项 D 错误。 答案 C 8下列关于三种宇宙速度的说法正确的是( ) A第一宇宙速度 v17.9 km/s，第二宇宙速度 v211.2 km/s，则人造卫星绕地 球在圆轨道上运行时的速度大于等于 v1，小于 v2 B美国发射的“凤凰”号火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度 C第二宇宙速度是使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的小行星的 最小发射速度 D第一宇宙速度 7.9 km/s 是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度 解析 根据 v可知，卫星的
10、轨道半径 r 越大，即距离地面越远，卫星的环 GM r 绕速度越小，v17.9 km/s 是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度， 选项 D 正确；其余绕地球在圆轨道上运行时的卫星的速度都小于第一宇宙速度， 选项 A 错误；美国发射的“凤凰”号火星探测卫星，仍在太阳的引力范围内， 所以其发射速度小于第三宇宙速度，选项 B 错误；第二宇宙速度是物体挣脱地 球束缚而成为一颗绕太阳运行的小行星的最小发射速度(在地面上发射)， 选项 C 正确。 答案 CD 9据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器。探测器升空后，先在 近地轨道上以线速度 v 环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后
11、再一 次调整速度以线速度 v在火星表面附近环绕飞行。 若认为地球和火星都是质量分 布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为 12，密度之比为 57，设火星 与地球表面重力加速度分别为 g和 g，下列结论正确的是( ) Agg41 Bgg514 Cvv Dvv 5 28 5 14 解析 在天体表面附近，重力与万有引力近似相等，Gmg，M R3，解 Mm R2 4 3 两式得：g GR，所以 gg514，A 项错，B 项正确；探测器在天体表 4 3 面飞行时，万有引力充当向心力，即 ： Gm，M R3，解两式得 ： v2R Mm R2 v2 R 4 3 ，所以 vv，C 项正确，D 项错。 G 3
12、 5 28 答案 BC 10(2016山西四校联考)宇宙中有这样一种三星系统，系统由两个质量为 m 的 小星体和一个质量为 M 的大星体组成，两个小星体围绕大星体在同一圆形轨道 上运行，轨道半径为 r。关于该三星系统的说法正确的是( ) A在稳定运行的情况下，大星体提供两小星体做圆周运动的向心力 B在稳定运行的情况下，大星体应在小星体轨道中心，两小星体在大星体相对 的两侧 C小星体运行的周期为 T 4r3 2 G（4Mm） D大星体运行的周期为 T 4r3 2 G（4Mm） 解析 在稳定运行的情况下，对某一个环绕星体而言，受到其他两个星体的万有 引力，两个万有引力的合力提供环绕星体做圆周运动的
13、向心力，选项 A 错误； 在稳定运行的情况下，大星体应在小星体轨道中心，两小星体在大星体相对的两 侧，选项 B 正确；对某一个小星体有，解得小星体运行的 GMm r2 Gmm （2r）2 42rm T2 周期为 T，选项 C 正确；大星体相对静止，选项 D 错误。 4r3 2 G（4Mm） 答案 BC 11北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统， 建成后的北斗卫星导航系统包括 5 颗同步卫星和 30 颗一般轨道卫星。关于这些 卫星，下列说法正确的是( ) A5 颗同步卫星的轨道半径都相同 B5 颗同步卫星的运行轨道必定在同一平面内 C导航系统所有卫星的运行速度一定大于
14、第一宇宙速度 D导航系统所有卫星中，运行轨道半径越大的卫星，周期越小 解析 所有同步卫星的轨道都位于赤道平面内，轨道半径和运行周期都相同，选 项 A、B 正确；卫星绕地球做匀速圆周运动，有 Gm，v，故随着 Mm r2 v2 r GM r 卫星运行轨道半径的增大，运行速度减小，在地球表面附近运行的卫星的速度最 大，等于第一宇宙速度，导航系统所有卫星运行的速度都小于第一宇宙速度，选 项 C 错误；由 Gmr 得 T2，则轨道半径越大，周期越大，选项 D Mm r2 42 T2 42r3 GM 错误。 答案 AB 12(2016四川绵竹市诊断)某物理兴趣小组通过查资料得到以下量的具体数据 (用字母
15、表示)：地球半径 R，地球质量 m，日地中心距离 r，地球的近地卫星绕 地球运行的周期 T1，地球的同步卫星绕地球运行的周期 T0，地球绕太阳运行的 周期 T。由此可知( ) A太阳质量为r 3Tm R3T2 B太阳质量为R 3T2m r3T C地球同步卫星离地面的高度为(1)R 3 T T D地球同步卫星离地面的高度为(1)R 3 T T 解析 设太阳质量为M， 由万有引力提供向心力有Gmr， 在地球表面有G Mm r2 42 T2 mR，得 M，A 正确，B 错误 ； 由开普勒第三定律有， mm R2 42 T r3Tm R3T2 R3 T （Rh）3 T 可得地球同步卫星离地面的高度为
16、h(1)R，C 正确，D 错误。 3 T T 答案 AC 13海南文昌卫星发射场靠近赤道，主要用于发射中国新一代无毒、无污染运载 火箭和新型航天器，承担地球同步轨道卫星、大质量极轨卫星、大吨位空间站和 深空探测航天器等航天发射任务。假设海南文昌卫星发射场的地理纬度是 ，地 球半径为 R，地球自转周期为 T，该地的重力加速度为 g，则( ) A卫星静止在发射塔时的线速度为2R T B质量为 m 的卫星所受地球的引力可能小于 mg C质量为 m 的卫星静止在发射塔时的向心加速度 a()2Rcos 2 T D质量为 m 的卫星静止在发射塔时对发射塔的压力大小等于 mg 解析 卫星静止在发射塔时的线速
17、度为 vRcos ，选项 A 错误 ； 由 2Rcos T 于地球自转，质量为 m 的卫星所受地球的引力一定大于 mg，选项 B 错误；质量 为 m 的卫星随地球自转， 轨迹圆半径为 rRcos ， 向心加速度 a2Rcos (2 T )2Rcos ，选项 C 正确；质量为 m 的卫星静止在发射塔时对发射塔的压力大小等 于其重力 mg，选项 D 正确。 答案 CD 142016 年 6 月 25 日 20 时 00 分，长征七号运载火箭成功发射，6 月 26 日 15 时 04 分许，围绕地球飞行了 13 圈的多用途飞船缩比返回舱开始返回。假设多用 途飞船围绕地球做匀速圆周运动，若已知地面的重
18、力加速度和地球半径，根据以 上信息，可以求出的物理量为( ) A多用途飞船围绕地球做匀速圆周运动的向心力 B多用途飞船围绕地球做匀速圆周运动的轨道半径 C地球质量 D多用途飞船围绕地球做匀速圆周运动的线速度 解析 根据题述信息，可求出多用途飞船围绕地球飞行 13 圈的时间，进而求出 多用途飞船围绕地球做匀速圆周运动的周期 T。 由 Gmg， 解得地球质量 M Mm R2 ， 由于引力常量 G 未知， 所以不能得出地球质量， 选项 C 错误 ； 由 Gmg， G gR2 G Mm R2 mr()2，解得 r，选项 B 正确；多用途飞船围绕地球做匀速圆周 Mm r2 2 T 3 gR2T2 42
19、运动的向心力 Fm()2r，由于不知飞船的质量 m，不能求出多用途飞船围绕地 2 T 球做匀速圆周运动的向心力，选项 A 错误；已知轨道半径 r 和运动周期 T，可以 求出多用途飞船围绕地球做匀速圆周运动的线速度 v，选项 D 正确。 2r T 答案 BD 二、非选择题 15中国计划在 2017 年实现返回式月球软着陆器对月球进行科学探测，宇航员 在月球上着陆后，自高 h 处以初速度 v0水平抛出一小球，测出水平射程为 L(这 时月球表面可以看成是平坦的)，已知月球半径为 R，万有引力常量为 G，求： (1)月球表面处的重力加速度及月球的质量 M月； (2)如果要在月球上发射一颗绕月球运行的卫
20、星，所需的最小发射速度为多大？ (3)当着陆器绕距月球表面高 H 的轨道上运动时，着陆器环绕月球运动的周期是 多少？ 解析 (1)设月球表面的重力加速度为 g，由平抛运动规律有 h gt2 1 2 Lv0t 得 g 2hv L2 着陆器在月球表面所受的万有引力等于重力， Gmg M月m R2 得 M月 2hvR2 GL2 (2)卫星绕月球表面运行，有 G M月m R2 mv2 R 联立得 v v0 L 2hR (3)由牛顿第二定律有 Gm(RH) M月m （RH）2 42 T2 联立得 T 22L2（RH）3 hR2v 答案 (1) (2) 2hv L2 2hvR2 GL2 v0 L 2hR (3) 22L2（RH）3 hR2v