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1、名校精品资料数学专题能力训练11等差数列与等比数列能力突破训练1.(2017甘肃肃南模考)在等差数列an中,a4+a10+a16=30,则a18-2a14的值为()A.20B.-20C.10D.-102.(2017贵州黔东南州模拟)在各项均为正数的等比数列an中,若log2(a2a3a5a7a8)=5,则a1a9=()A.4B.5C.2D.253.设an是等比数列,Sn是an的前n项和.对任意正整数n,有an+2an+1+an+2=0,又a1=2,则S101的值为()A.2B.200C.-2D.04.已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1
2、d0,dS40B.a1d0,dS40,dS40D.a1d05.(2017广西南宁适应性测试)已知数列an满足an+1an+1+1=12,且a2=2,则a4等于()A.-12B.23C.12D.116.(2017三湘名校联盟联考三)已知各项均为正数的等差数列an的前n项和为Sn,S10=40,则a3a8的最大值为.7.设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为.8.设x,y,z是实数,若9x,12y,15z成等比数列,且1x,1y,1z成等差数列,则xz+zx=.9.已知Sn为数列an的前n项和,且a2+S2=31,an+1=3an-2n(nN*).(1)求证:
3、an-2n为等比数列;(2)求数列an的前n项和Sn.10.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数.(1)证明:an+2-an=;(2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.11.已知数列an是等比数列.设a2=2,a5=16.(1)若a1+a2+a2n=t(a12+a22+an2),nN*,求实数t的值;(2)若在1a1与1a4之间插入k个数b1,b2,bk,使得1a1,b1,b2,bk,1a4,1a5成等差数列,求k的值.思维提升训练12.(2017全国,理12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们
4、推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.11013.若数列an为等比数列,且a1=1,q=2,则Tn=1a1a2+1a2a3+1anan+1等于()A.1-14nB.231-14nC.1-12nD.231-12n14.已知等比数列an的首项为43,公比为-13,其前n项和为S
5、n,若ASn-1SnB对nN*恒成立,则B-A的最小值为.15.无穷数列an由k个不同的数组成,Sn为an的前n项和,若对任意nN*,Sn2,3,则k的最大值为.16.等比数列an的各项均为正数,且2a1+3a2=1,a32=9a2a6.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=log3a1+log3a2+log3an,求数列1bn的前n项和.17.若数列an是公差为正数的等差数列,且对任意nN*有anSn=2n3-n2.(1)求数列an的通项公式.(2)是否存在数列bn,使得数列anbn的前n项和为An=5+(2n-3)2n-1(nN*)?若存在,求出数列bn的通项公式及其前n项和Tn;若不
6、存在,请说明理由.参考答案专题能力训练11等差数列与等比数列能力突破训练1.D解析对题目中下标数值仔细观察,有a4+a10+a16=303a10=30,a10=10,所以a18-2a14=-a10=-10.故选D.2.A解析由题意得log2(a2a3a5a7a8)=log2a55=5log2a5=5,所以a5=2.所以a1a9=a52=4.故选A.3.A解析设公比为q,an+2an+1+an+2=0,a1+2a2+a3=0,a1+2a1q+a1q2=0,q2+2q+1=0,q=-1.又a1=2,S101=a1(1-q101)1-q=21-(-1)1011+1=2.4.B解析设an的首项为a1,
7、公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.a3,a4,a8成等比数列,(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.d0,a1d=-53d20,且a1=-53d.dS4=4d(a1+a4)2=2d(2a1+3d)=-23d2100,令n(1+n)2100,得n14且nN*,即N出现在第13组之后.若要使最小整数N满足:N100且前N项和为2的整数幂,则SN-Sn(1+n)2应与-2-n互为相反数,即2k-1=2+n(kN*,n14),所以k=log2(n+3),解得n=29,k=5.所以N=29(1+29)2+5=440,故选A.13.B解析因
8、为an=12n-1=2n-1,所以anan+1=2n-12n=22n-1=24n-1,所以1anan+1=1214n-1.所以1anan+1是等比数列.故Tn=1a1a2+1a2a3+1anan+1=1211-14n1-14=231-14n.14.5972解析易得Sn=1-13n89,11,43,因为y=Sn-1Sn在89,43上单调递增(y0),所以y-1772,712A,B,因此B-A的最小值为712-1772=5972.15.4解析要满足数列中的条件,涉及最多的项的数列可以为2,1,-1,0,0,0,所以最多由4个不同的数组成.16.解(1)设数列an的公比为q.由a32=9a2a6得a
9、32=9a42,所以q2=19.由条件可知q0,故q=13.由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=13.故数列an的通项公式为an=13n.(2)bn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n)=-n(n+1)2.故1bn=-2n(n+1)=-21n-1n+1,1b1+1b2+1bn=-21-12+12-13+1n-1n+1=-2nn+1.所以数列1bn的前n项和为-2nn+1.17.解(1)设等差数列an的公差为d,则d0,an=dn+(a1-d),Sn=12dn2+a1-12dn.对任意nN*,恒有anSn=2n3-n2,则dn+(a1-d)12dn2+a1
10、-12dn=2n3-n2,即dn+(a1-d)12dn+a1-12d=2n2-n.12d2=2,12d(a1-d)+da1-12d=-1,(a1-d)a1-12d=0.d0,a1=1,d=2,an=2n-1.(2)数列anbn的前n项和为An=5+(2n-3)2n-1(nN*),当n=1时,a1b1=A1=4,b1=4,当n2时,anbn=An-An-1=5+(2n-3)2n-1-5+(2n-5)2n-2=(2n-1)2n-2.bn=2n-2.假设存在数列bn满足题设,且数列bn的通项公式bn=4,n=1,2n-2,n2,T1=4,当n2时,Tn=4+1-2n-11-2=2n-1+3,当n=1时也适合,数列bn的前n项和为Tn=2n-1+3.