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三角形的“四心”,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。,证明外心定理,证明: 设AB、BC的中垂线交于点O， 则有OA=OB=OC， 故O也在AC的中垂线上， 因为O到三顶点的距离相等， 故点O是ABC外接圆的圆心 因而称为外心,O,O,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。,D,E,F,证明: AD、BE、CF为ABC三条高， 过点A、B、C分别作对边的平行线 相交成ABC，AD为BC 的中垂线；同理BE、CF也分别为 AC、AB的中垂线， 由外心定理，它们交于一点， 命题得证,证明垂心定理,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。,证明重心定理,E,F,D,G,例2证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍,另证:,想想看？,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。,证明内心定理,证明 : 设A、C的平分线相交于I, 过I作IDBC，IEAC， IFAB，则有IE=IF=ID 因此I也在C的平分线上， 即三角形三内角平分线 交于一点,I,I,E,F,D,