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1、2.2 抛物线的简单性质,抛物线的简单性质,【做一做1】 抛物线y=4x2的焦点到准线的距离是( ),答案:C,【做一做2】 等腰直角三角形ABO内接于抛物线y2=2px(p0),O为抛物线的顶点,OAOB,则ABO的面积是( ) A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2,答案:B,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)抛物线既是轴对称图形也是中心对称图形. ( ) (2)抛物线的顶点一定在过焦点且与准线垂直的直线上. ( ) (3)直线与抛物线相交时,直线与抛物线不一定有两个公共点. ( ),探究一,探究二,探究三,思维辨析,直线与抛物线的位置
2、关系 【例1】 已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k.当k为何值时,直线l与抛物线:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点? 思维点拨:用解析法解决这个问题,只要讨论直线l的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况,由方程组解的情况判断直线l与抛物线的位置关系. 解:由题意,设直线l的方程为y-1=k(x+2).,得ky2-4y+4(2k+1)=0.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)当k0时,方程的判别式为=-16(2k2+k-1). 1由=0,即2k2+k-1=0,从而方程组(*)只有一个解. 这时,直线l与抛物线只有一个公共点.,探究一,探究二,探究
3、三,思维辨析,于是,当k 时,方程没有实数解,从而方程组(*)没有解.这时,直线l与抛物线没有公共点. 综上,我们可得,反思感悟解决直线与圆锥曲线的交点问题时,主要方法是构建一元二次方程,判断其解的个数,确定斜率或直线的倾斜角时,应特别注意斜率为0和斜率不存在两种情形,还应注意在抛物线中,直线和曲线有一个公共点并不一定相切.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1 如图,已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)(k0)相交于A,B两点,且直线与x轴交于点N. (1)求证:OAOB; (2)当OAB的面积等于 时,求k的值. 思维点拨:利用根与系数的关系、弦长公式或应用向量解题.,探究一
4、,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,求抛物线方程 【例2】 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于2 ,求这条抛物线的方程. 思维点拨:因为圆和抛物线都关于x轴对称,所以它们的交点也关于x轴对称,即公共弦被x轴垂直平分,于是由弦长等于2 ,可知交点纵坐标为 .,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:设所求抛物线方程为y2=2px或y2=-2px,p0. 设交点A(x1,y1),B(x2,y2)(y10,y20),所求抛物线方程为y2=3x或y2=-3x. 反思感悟因为抛物线是轴对称图形,所以与对称轴垂直的弦一定被对称轴平分.,
5、探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的方程.,解:如图,依题意设抛物线方程为y2=2px(p0),则经过焦点且倾斜角为135的直线方程为y=-x+ p. 设直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线的定义,又点A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,探究一,探究二,探究三,思维辨析,x1+x2=3p.将其代入,得p=2. 所求抛物线的方程为y2=4x. 当抛物线的方程设为y2=-2px时,同理可求得抛物线的方程为y2=-4x.,探究一,探究二,探究三
6、,思维辨析,与抛物线有关的最值问题 【例3】如图所示,已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使PAB的面积最大,并求出这个最大面积. 思维点拨:通过联立方程组求得A,B坐标,从而可得|AB|的大小;设出P点坐标,利用点到直线的距离公式表示出AB边上的高,从而表示出PAB的面积;考虑P点坐标变量的范围求得目标函数的最大值即可.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,设P(x0,y0)为抛物线AOB这段曲线上一点,d为P点到直线AB的距离,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟解决本题的关键是弦AB为定值,将点P到直线AB的距离的最值转化为二次
7、函数问题求解.在应用配方法求最值时,一定要注意自变量的取值范围.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3在抛物线y2=2x上求一点P,使P到直线x-y+3=0的距离最短,并求出距离的最小值.,解:(方法一)设P(x0,y0)是y2=2x上任一点,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(方法二)设与抛物线相切且与直线x-y+3=0平行的直线方程为x-y+m=0,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因忽视斜率不存在及二次项系数而致误 【典例】 求过点P(0,1)且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程. 易错分析:当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线只有一个公共点.另外,设直线方程时要讨
8、论斜率是否存在.,解:(1)若直线斜率不存在,则过点P(0,1)的直线方程为x=0.,直线x=0与抛物线只有一个公共点.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)若直线斜率存在,设为k,则过点P的直线方程为y=kx+1.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得错误之一是遗漏直线斜率不存在的情况,仅考虑斜率存在的直线.错误之二是方程组消元后的方程k2x2+2(k-1)x+1=0被认定为二次方程,因而由直线与抛物线只有一个公共点,得出=0.事实上方程的二次项系数为含字母的k2,方程不一定是二次方程.当k=0时,方程是一次方程-2x+1=0,此时方程组只有一解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析
9、,变式训练设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( ),解析:设直线方程为y=k(x+2),与抛物线联立方程组整理得ky2-8y+16k=0.当k=0时,直线与抛物线有一个交点;当k0时,由=64-64k20,解得-1k1,所以-1k1. 答案:C,1 2 3 4 5,1.抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,其通径的两端与顶点连成的三角形的面积为4,则此抛物线的方程是 ( ),答案:B,1 2 3 4 5,2.已知A,B是抛物线y2=2px(p0)上两点,O为原点,若|OA|=|OB|,且AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,则A,B两点所
10、在的直线方程为( ),解析:因为|OA|=|OB|,所以A,B两点关于x轴对称,设A,B两点的坐标分别为(x0,y0),(x0,-y0)(x00).由于AOB的垂心是焦点,焦点坐标为,答案:D,1 2 3 4 5,3.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为 .,由线段AB的中点的纵坐标为2,得y1+y2=2p=4. 所以p=2,故准线方程为x=-1. 答案:x=-1,1 2 3 4 5,4.如图所示,过抛物线y2=4x的焦点F,作倾斜角为60的直线与抛物线交于A,B两点,设AB的中点为M,则|FM|= .,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,5.求抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的最小距离.,解:(方法一)设A(t,-t2)为抛物线上的点,1 2 3 4 5,(方法二)如图,设与直线4x+3y-8=0平行的抛物线的切线方程为,