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1、微专题一 多元变量的最值问题,大一轮复习讲义,第二章 函数概念与基本初等函数,经验分享 在数学中经常碰到求含有多个变量的最值问题，此类题目题型众多，解法也很多，学生在面对含有多个变量的问题时，最大的困扰是不知从何处入手.对于高中生，主要掌握的是一元变量的最值问题.因此，解决多元变量的最值问题，减元是常见的办法.,一、代入减元 例1 设x，yR，且2x8yxy0，求xy的最小值.,所以，当x12，y6时，xy取得最小值18.,点评 此题是一道学生经常见到的求多变量最值的试题，虽然此解法不是最优的解法，但可能是学生比较容易想到的解法.它的优点是由前面的等式可以得到y 代入xy中，从而使二元变量变为
2、一元变量，从而达到解题的目的.,解析 由已知得zx23xy4y2 (*),当且仅当x2y时取等号，把x2y代入(*)式，得z2y2，,三、换元减元 例3 已知 ，不等式2sin cos sin cos m10恒成立，求实数m的取值范围.,即求函数的最小值.,不等式m2sin cos sin cos 1恒成立.,当t1(即0)时，ymin2. 故m2.,点评 此题中的sin cos ，sin cos 若不加处理难以将变量统一起来.但是，观察到sin cos 与sin cos 的关系，通过换元很巧妙的将变量完善统一起来，达到减元的目的.,四、整体减元 例4 已知函数f(x)xln x x2xa(a
3、R)在其定义域内有两个不同的极值点. (1)求a的取值范围；,(2)设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1x2e2.,解 由题设有f(x)ln xax，故x1，x2是方程ln xax0的两根， 即ln x1ax1，ln x2ax2，不妨设x1x20，则由以上两式分别相加和相减得： ln(x1x2)a(x1x2)，,点评 此题属于难题.由证明的结论可知，结论中没有参数a，故首先需要先消掉参数a.故由ln x1ax1，ln x2ax2变形后再消去a，但是也不能就这两个式子简单地消掉a，只有这样才能有后面的将 当做整体进行减元的构造，从而达到解决问题的目的，这也是解决此题的艺术精华所在.,以上几题均是求多元变量的最值问题，可以发现这类问题的基本策略是减元，进而利用单元函数求最值，从而达到解题的目的.可见，减元是解决这类多元最值问题的一把利器.,