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1、第 5 讲 万有引力与天体运动第 5 讲 万有引力与天体运动 选择题(每小题 6 分,共 84 分)选择题(每小题 6 分,共 84 分) 1.(2018 北京密云一模)GPS 导航系统可以为陆、海、空三大领域提供实时、全天候和全球性的导航服务, 它由周期约为 12 小时的卫星群组成。则 GPS 导航卫星与地球同步卫星相比( ) A.地球同步卫星的角速度大 B.地球同步卫星的轨道半径小 C.GPS 导航卫星的线速度大 D.GPS 导航卫星的向心加速度小 2.(2018 北京理综,17,6 分)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律, 在已知月地距离约为地球半径 60
2、 倍的情况下,需要验证( ) A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的 1/602 B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 1/602 C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的 1/6 D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的 1/60 3.(2018 宁夏银川一模,3)过去几千年来,人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内,行星“51 peg b”的 发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动,周期约为 4 天,轨道 半径约为地球绕太阳运动半径的 。该中心恒星的质量与太阳的质量的比值约为( ) 1 20 A.B.1 C.5D.10 1 10
3、4.登上火星是人类的梦想,“嫦娥之父”欧阳自远透露:中国计划于 2020 年登陆火星。地球和火星公转 视为匀速圆周运动,忽略行星自转影响。根据表,火星和地球相比( ) 行星 半径/m 质量/kg 轨道半径 /m 地球 6.410 6 6.010 24 1.51011 火星 3.410 6 6.410 23 2.31011 A.火星的公转周期较小 B.火星做圆周运动的加速度较小 C.火星表面的重力加速度较大 D.火星的第一宇宙速度较大 5.双星系统由两颗恒星组成,两恒星在相互引力的作用下,分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀 速圆周运动。研究发现,双星系统演化过程中,两星的总质量、距离和周期均
4、可能发生变化。若某双星系 统中两星做圆周运动的周期为T,经过一段时间演化后,两星总质量变为原来的k倍,两星之间的距离变为 原来的 n 倍,则此时两星做圆周运动的周期为 ( ) A.TB.TC.TD.T n3 k2 n3 k n2 k n k 6.近年来,火星探索计划不断推进。如图所示,载人飞行器从地面发射升空,经过一系列的加速和变轨,在 到达“近火星点”Q 时,需要及时制动,使其成为火星的卫星。之后,又在绕火星轨道上的“近火星点”Q 经过多次制动,进入绕火星的圆形工作轨道,最后制动,实现飞行器的软着陆,到达火星表面。下列说法 正确的是( ) A.飞行器在轨道和轨道上均绕火星运行,所以具有相同的
5、机械能 B.由于轨道与轨道都是绕火星运行,故飞行器在两轨道上运行具有相同的周期 C.飞行器在轨道上从“远火星点”P 到 Q 的过程中,火星对飞行器的万有引力做正功 D.飞行器经过轨道和轨道上的 Q 时速率相同 7.(2018 山西太原一模)我国即将展开深空探测,计划在 2020 年通过一次发射,实现火星环绕探测和软着 陆巡视探测,已知太阳的质量为 M,地球、火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径分别为 R1和 R2,速率分 别为 v1和 v2,地球绕太阳运行的周期为 T。当质量为 m 的探测器被发射到以地球轨道上的 A 点为近日点, 火星轨道上的 B 点为远日点的轨道上围绕太阳运行时(如图),只考
6、虑太阳对探测器的作用,则( ) A.探测器在 A 点的加速度为 v21 R1 B.探测器在 B 点的加速度为 4GM (R1+ R2)2 C.探测器在 B 点的动能为 m 1 2 v22 D.探测器沿椭圆轨道从 A 飞行到 B 的时间为T 1 2( R1+ R2 R1 ) 3 2 8.(2018 江西上饶六校一联)(多选)2017 年 11 月 8 日,“雪龙号”极地考察船驶离码头,开始了第 34 次 南极考察之旅。“雪龙号”极地考察船在由我国驶向南极的过程中,经过赤道时测得某物体的重力是 G1; 在南极附近测得该物体的重力为 G2。已知地球自转的周期为 T,引力常量为 G。假设地球可视为质量
7、分布 均匀的球体,且海水的密度和船的总质量均不变,由此可知( ) A.“雪龙号”考察船在南极时的吃水深度与在赤道时相同 B.“雪龙号”考察船在南极时的吃水深度比在赤道时大 C.地球的密度为 3G2 GT2(G2- G1) D.当地球的自转周期为T 时,放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力 G2- G1 G2 9.(多选)假设地球可视为质量分布均匀的球体。已知地球表面两极处的重力加速度大小为 g0,地球的半 径为 R,地球的自转周期为 T,引力常量为 G,由此可知( ) A.地球的质量为 g0R G B.地球表面赤道处的重力加速度大小为 g0- 42R T2 C.近地卫星在轨运行的加速度大小
8、为 g0 D.地球同步卫星在轨道上运行的加速度大小为 3 164g0R2 T4 10.(2018 山东菏泽一模)(多选)某天文爱好者想计算地球表面到月球表面的距离,他通过查阅,知道了地 球质量 M、半径 R、表面重力加速度 g1,月球半径 r、表面重力加速度 g2,月球绕地球运动的线速度 v、月 球绕地球运动的周期 T,光的传播速度 c,引力常量 G。 用激光器向位于头顶正上方的月球表面发射出激光 光束,经过 t 时间接收到从月球表面反射回来的激光信号,该天文爱好者利用以上数据得出了多个计算地 球表面与月球表面之间的距离 s 的表达式,其中正确的是( ) A.s= ct B.s=-r-R 1
9、2 vT 2 C.s=-r-RD.s=-r-R 3 GMT2 42 3 g2r2T2 42 11.(2018 江西上饶模拟)太空中进行开采矿产资源项目,必须建立“太空加油站”。假设“太空加油站” 正在地球赤道平面内的圆周轨道上运行,其离地球表面的高度为同步卫星离地球表面高度的十分之一,且 运行方向与地球自转方向一致。下列说法中正确的是( ) A.“太空加油站”运行的加速度等于其所在高度处的重力加速度 B.“太空加油站”运行的速度大小等于同步卫星运行速度大小的倍10 C.站在地球赤道上的人观察到“太空加油站”向西运动 D.在“太空加油站”工作的宇航员因不受重力而在舱中悬浮或静止 12.(多选)假
10、设宇航员登陆火星后,测得火星半径是地球半径的 ,火星质量是地球质量的 。 已知地球表面 1 2 1 9 的重力加速度为 g,地球的半径为 R,宇航员在地面上能向上竖直跳起的最大高度为 h,忽略自转的影响, 下 列说法中正确的是( ) A.火星的密度为 2g 3GR B.火星表面的重力加速度为 2g 9 C.火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度的比值为 2 3 D.宇航员在火星上以在地面上竖直起跳的速度起跳后,能达到的最大高度为 h 9 4 13.(2018 安徽 A10 联盟联考)2018 年 1 月 12 日,我国成功发射北斗三号组网卫星。如图为发射卫星的示 意图,先将卫星发射到半径为 r
11、 的圆轨道上做圆周运动,到 A 点时使卫星加速进入椭圆轨道,到椭圆轨道 的远地点 B 点时,再次改变卫星的速度,使卫星进入半径为 2r 的圆轨道。已知卫星在椭圆轨道时距地球 的距离与速度的乘积为定值,卫星在椭圆轨道上A点时的速度为v,卫星的质量为m,地球的质量为M,引力 常量为 G,则发动机在 A 点对卫星做的功与在 B 点对卫星做的功之差为(忽略卫星的质量变化)( ) A. mv2-B. mv2- 3 4 3GMm 4r 5 8 3GMm 4r C. mv2+D. mv2+ 3 4 3GMm 4r 5 8 3GMm 4r 14.(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统,通常可忽略其他星
12、体对它们的引力作用,三星质 量也相同。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上,两颗星 围绕中央星做圆周运动,如图甲所示;另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三 角形的圆形轨道运行,如图乙所示。设这三个星体的质量均为 m,且两种系统中各星间的距离已在图甲、 乙中标出,引力常量为 G,则下列说法中正确的是( ) A.直线三星系统中环绕星体做圆周运动的线速度大小为 Gm L B.直线三星系统中环绕星体做圆周运动的周期为 4 L3 5Gm C. 三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为 2 3Gm L3 D.三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加
13、速度大小为 3Gm L2 答案精解精析答案精解精析 选择题选择题 1.C GPS导航卫星周期小于地球同步卫星的周期,根据 =k可知,地球同步卫星的轨道半径较大,由= r3 T2 2 T 知地球同步卫星的角速度较小,A、 B 错误;根据 v=,可知 GPS 导航卫星的线速度较大,C 正确;根据 a= GM r GM r2 可知,GPS 导航卫星的向心加速度较大,D 错误。 2.B 本题考查万有引力定律的应用。设地球半径为 R,质量为 M,月球绕地球公转轨道半径为 r。地球对 地面附近的苹果的引力 G =mg,所以 g=G ;地球对月球的引力提供月球公转的向心力,即 G=m月a,所 Mm R2 M
14、 R2 Mm月 r2 以 a=G ;比较可知 a=g=g,故选项 B 正确。 M r2 ( R r) 2 1 602 3.B 对行星“51 peg b”有=m1r1 GM1m1 r21 ( 2 T1) 2 对地球有=m2r2 GM2m2 r22 ( 2 T2) 2 联立解得 = M1 M2 ( T2 T1) 2 ( r1 r2) 3 代入数据得 =1 M1 M2 ( 365 4) 2 ( 1 20) 3 因此 B 正确。 4.B 设太阳质量为 M,行星质量为 m,太阳对行星的引力提供行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力,=m GMm r2 r,解得 T=2,由于 r火r地,所以 T火T地,A 错误
15、;由=ma 得行星绕太阳做匀速圆周运动的加( 2 T) 2 r3 GM GMm r2 速度 a= ,a火g火,第一宇宙速度 v=, GM r2 Gm R2 Gm R 代入数据,可知 v地v火,C、D 错误。 5.B 设双星质量各为 m1、m2,相距 L,做圆周运动的半径分别为 r1、r2,则 G=m1 m1m2 L2 42r1 T2 G=m2 m1m2 L2 42r2 T2 r1+r2=L 可得= G(m1+ m2) L2 42L T2 T= 42L3 G(m1+ m2) 所以 T=T n3 k 故 B 正确,A、C、D 错误。 6.C 飞行器由轨道在 Q 处必须制动才能进入轨道,所以飞行器在
16、轨道上的机械能小于轨道上的 机械能,故 A、D 错误。根据开普勒第三定律知,轨道的半长轴比轨道的半径大,则飞行器在轨道上 运行的周期小,故 B 错误。飞行器在轨道上从 P 到 Q 的过程中,火星对飞行器的万有引力与速度方向的 夹角小于 90,则万有引力做正功,故 C 正确。 7.A 根据 G =m =ma1,得探测器在 A 点的加速度 a1= ,故 A 正确。根据 G =ma2,得探测器在 B 点的加速 Mm R21 v21 R1 v21 R1 Mm R22 度 a2= ,故 B 项错误。 探测器由椭圆轨道进入火星轨道需要在 B 点加速,则探测器在椭圆轨道上经 B 点的 GM R22 速率小于
17、 v2,动能小于 m,故 C 错误。设探测器在椭圆轨道上的周期为 T,由开普勒第三定律可得= 1 2 v22 T2 T2 ,得 T=T,探测器沿椭圆轨道从 A 飞行到 B 的时间 t= T=T,故 D 项错误。 R31 ( R1+ R2 2 ) 3( R1+ R2 2R1 ) 3 21 2 1 2( R1+ R2 2R1 ) 3 2 8.ACD “雪龙号”考察船排开水的体积 V排=,因为海水的密度和船的总质量均不变,则船排开海水 m 海水 的体积不变,故吃水深度不变,所以 A 项正确,B 项错误。设地球质量为 M,半径为 R,被测物体质量为 m,在 赤道处有 G =G1+mR,在南极附近有 G
18、2=G ,地球的体积 V= R3,地球的密度= ,解得=, 故 Mm R2 42 T2 Mm R2 4 3 M V 3G2 GT2(G2- G1) C 项正确;当放在赤道上的物体不再对地面有压力时有 G2=mR,可得 T=T,故 D 项正确。 42 T2 G2- G1 G2 9.BCD 在地球表面两极处万有引力等于重力,则有G =mg0,解得M=,故A错误;根据向心加速度表达式, Mm R2 g0R2 G 则知赤道上物体向心加速度 a=2R=,所以地球表面赤道处的重力加速度为 g0-,故 B 正确;近地卫 42R T2 42R T2 星在轨道运行的加速度 a0= =g0,故 C 正确;同步卫星
19、所受万有引力提供向心力,有 G=m(R+h) GM R2 Mm (R + h)2 ( 2 T) 2 =ma,解得 a=,故 D 正确。 3 164g0R2 T4 10.ABC 根据激光测距原理,由运动学公式可知 s= ct,A 项正确;由月球绕地球运动的线速度、周期的关 1 2 系有 v=,解得 s=-r-R,B 项正确;由万有引力提供月球绕地球做圆周运动的向心力,有 G 2(s + R + r) T vT 2 =m(s+R+r),又 GM=g1R2,解得 s=-r-R=-r-R,C 项正确,D 项错误。 mM (s + R + r)2 ( 2 T) 2 3 GMT2 42 3 g1R2T2
20、42 11.A 根据=mg=ma,知 “太空加油站” 运行的加速度等于其所在高度处的重力加速度,选项 A 正确;“太 GMm r2 空加油站”绕地球做匀速圆周运动,由地球的万有引力提供向心力,则有=,得 v=,“太空 GMm r2 mv2 r GM r GM R + h 加油站”距地球表面的高度为同步卫星离地球表面高度的十分之一,但“太空加油站”距地球球心的距 离不等于同步卫星距地球球心距离的十分之一,选项 B 错误;角速度=,轨道半径越大,角速度越小, GM r3 同步卫星和地球自转的角速度相同,所以“太空加油站”的角速度大于地球自转的角速度,所以站在地球 赤道上的人观察到“太空加油站”向东
21、运动,选项 C 错误;在“太空加油站”工作的宇航员只受重力作用, 处于完全失重状态,靠万有引力提供向心力做圆周运动,选项 D 错误。 12.AD 根据= ,V= r3,可得=,故火= 地,根据 GM地=gR2,M地= R3地,可得地=,故火= M V 4 3 3M 4r3 8 9 4 3 3g 4GR ,选项A正确;星球表面的重力加速度为g=G ,故火星表面的重力加速度为 g,选项B错误;根据mg=m 2g 3GR M r2 4 9 可得v=,火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度的比值为,选项C错误;根据2gh=v2可得h= v2 r gr 2 3 ,宇航员在火星上起跳后,能达到的最大高度为
22、 h,选项 D 正确。 v2 2g 9 4 13.B 由 G =m 可知,卫星在轨道半径为 r 的圆轨道上运动的线速度大小 v1=,在半径为 2r 的圆轨道 Mm R2 v2 R GM r 上运动的线速度大小v2=,设卫星在椭圆轨道上B点的速度为vB,已知卫星在椭圆轨道时距地球的距离 GM 2r 与速度的乘积为定值,则有 vr=vB2r,得卫星在椭圆轨道上 B 点时的速度 vB= ,可知在 A 点时发动机对卫 v 2 星做的功 W1= mv2- m,在 B 点时发动机对卫星做的功 W2= m- m,可得 W1-W2= mv2-,B 正确。 1 2 1 2 v21 1 2 v22 1 2 ( v 2) 2 5 8 3GMm 4r 14.BD 在直线三星系统中,环绕星体做圆周运动的向心力由其他两星对它的万有引力的合力提供,根据 万有引力定律和牛顿第二定律,有 G +G=m ,解得 v=,A 项错误;由周期 T=知直线三星系统中 m2 L2 m2 (2L)2 v2 L 1 2 5Gm L 2r v 环绕星体做圆周运动的周期为 T=4,B 项正确。 同理,对三角形三星系统中做圆周运动的星体,有 2G L3 5Gm cos 30=m2,解得=,C 项错误;由 2G cos 30=ma 得 a=,D 项正确。 m2 L2 L 2cos30 3Gm L3 m2 L2 3Gm L2