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1、 1.1 集合的概念与运算,教材研读,1.元素与集合,2.集合间的基本关系,3.集合间的基本运算,4.集合间的逻辑关系,考点突破,考点一 元素与集合,考点二 集合间的基本关系,考点三 集合间的基本运算,1.元素与集合 (1)元素a与集合A的关系 (2)集合中元素的特征,教材研读,(3)集合的表示方法: 列举法 、 描述法 和 图示法. (4)集合的分类: 无限集 、 有限集 .特别地,我们把不含有任 何元素的集合叫做 空集 ,记作 .要注意空集表现形式的 多样性,如A=xR|x2+2x+3=0是空集,B=xR|ax2+2x+3=0有可能为 空集. (5)常用数集及其表示符号,2.集合间的基本关
2、系,3.集合间的基本运算,4.集合间的逻辑关系,5.若有限集合A中的元素个数为n(nN*),则 (1)A的子集个数是 2n ; (2)A的真子集个数是 2n-1 ; (3)A的非空子集个数是 2n-1 ; (4)A的非空真子集个数是 2n-2 .,知识拓展 研究一个集合,首先看集合中的代表元素,然后看元素满足的属性 (限制条件),运用其属性解题.注意:除题目中所描述的属性外,往往需检 验集合中元素的互异性. 用描述法表示的常见集合的类型:,1.已知集合A=x|2x2-5x-30,B=xZ|x2,则AB中的元素个数为 ( B ) A.2 B.3 C.4 D.5,2.若集合A=1,2,3,B=(x
3、,y)|x+y-40,x,yA,则集合B中的元素个数是 ( D ) A.9 B.6 C.4 D.3,解析 设集合C=(x,y)|x,yA,易得BC,且集合C中共有9个元素, 在集合C中的9个元素中,满足x+y-40的元素有(2,3),(3,2),(3,3),共3个,所 以集合B中的元素个数是3.,3.已知实数集R,集合A=x|log2x1,B=xZ|x2+45x,则(RA)B= ( B ) A.2,4 B.2,3,4 C.1,2,3,4 D.1,4,解析 由log2x1,解得0x2,所以A=x|0x2,RA=x|x0或x 2,由x2-5x+40,解得1x4,所以B=1,2,3,4,则(RA)B
4、=2,3,4,故 选B.,4.已知集合A=x2+x,4x,若0A,则x= -1 .,5.若全集U=0,1,2,3,且UA=2,则集合A的真子集的个数为 7 .,元素与集合 典例1 (1)设集合A=1,2,3,B=4,5,M=x|x=a+b,aA,bB,则M中的 元素个数为 ( B ) A.3 B.4 C.5 D.6 (2)已知a,bR,若 =a2,a+b,0,则a+b= ( C ) A.1 B.0 C.-1 D.1,知识拓展,解析 (1)因为集合M中的元素为x=a+b,aA,bB, 所以当b=4时,若a=1,2或3,则x=5,6或7; 当b=5时,若a=1,2或3,则x=6,7或8. 由集合元
5、素的互异性,可知x=5,6,7或8, 即M=5,6,7,8,共有4个元素. (2)由已知得a0,则 =0, 所以b=0,易知a2=1,且a1,所以a=-1, 故a+b=-1.,方法技巧 与集合中的元素有关的问题的求解策略 (1)确定构成集合的元素是什么,即确定性. (2)看这些元素的限制条件是什么,即元素的特征性质. (3)根据元素的特征性质求参数的值或范围,或确定集合中元素的个数, 要注意检验集合中的元素是否满足互异性.,1-1 集合A=x|x2-7x0,xN*,则B= 中元素的个数为 ( D ) A.1 B.2 C.3 D.4,解析 A=x|x2-7x0,xN*=1,2,3,4,5,6,
6、又B=y| N*,yA,B=1,2,3,6, 即B= 中元素的个数为4.,典例2 (1)已知集合A=x|y= ,xR,B=x|x=m2,mA,则 ( B ) A.AB B.BA C.AB D.A=B (2)(2019温州中学月考)已知集合A=x|-2x5,B=x|m+1x2m-1, 若BA,则实数m的取值范围是 (-,3 .,集合间的基本关系,解析 (1)由题意知A=x|-1x1, B=x|x=m2,mA=x|0x1, BA,故选B. (2)BA, 若B=,则2m-1m+1,此时m2. 若B,则 解得2m3. 综上可得,实数m的取值范围为m3.,方法指导,1.判断两集合间的关系常用两种方法:一
7、是化简集合,从表达式中寻找两 集合间的关系;二是用列举法表示各集合,从元素中寻找两集合间的关 系. 2.已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素 间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常运用数轴、 Venn图帮助分析.,3.集合中因含有参数而使元素不能确定时,或出现AB,AB=A,AB= B等条件时,不要忘记考虑空集的情况.,易错警示 题目中若有条件BA,则应分B=和B两种情况进行讨论.,2-1 设集合A=-1,1,集合B=x|ax=1,aR,则使得BA的a的所有取 值构成的集合是 ( D ) A.0,1 B.0,-1 C.1,-1 D.-1,0,1,解析 因为
8、BA,所以B=或-1或1, 当B=时,a=0; 当B=-1时,a=-1; 当B=1时,a=1.故选D.,2-2 已知集合A=x|x4,B=x|2axa+3.若BA,则实数a的 取值范围为 (-,-4)(2,+) .,解析 当B=时,只需2aa+3,即a3; 当B时,根据题意作出如图所示的数轴. 可得 或 解得a-4或2a3. 综上可得,实数a的取值范围为(-,-4)(2,+).,命题方向一 集合的运算 常与方程、不等式、函数结合命题,考查集合的基本运算.,集合的基本运算,典例3 (1)(2017浙江,1,4分)已知集合P=x|-1x1,Q=x|0x2,则P Q= ( A ) A.(-1,2)
9、B.(0,1) C.(-1,0) D.(1,2) (2)(2018浙江五校联考)定义集合A=x|f(x)= ,B=y|y=log2(2x+2), 则ARB= ( B ) A.(1,+) B.0,1 C.0,1) D.0,2) (3)(2018浙江模拟)设全集U=R,集合A=x|x2-x-20,B=x|1x3,则AB= (-1,3) ,U(AB)= (-,12,+) .,解析 (1)根据集合的并集的定义,得PQ=(-1,2). (2)由A中f(x)= ,得到2x-10,即2x1=20,解得x0,即A=0,+).由2x +22,得到y=log2(2x+2)1,即B=(1,+),因为全集为R,所以R
10、B=(-,1, 则A(RB)=0,1. (3)因为A=x|x2-x-20=x|-1x2,B=x|1x3,所以AB=x|-1x3, AB=x|1x2,又因为U=R,所以U(AB)=(-,12,+).,方法技巧 集合混合运算的解题思路 进行集合的混合运算时,一般先运算括号内的部分.当集合用不等式形 式表示时,可借助数轴求解,对于端点值的取舍,应单独检验. 命题方向二 利用集合运算求参数 常与方程、不等式、函数结合命题,考查集合的运算、集合与集合间关 系的转化.,典例4 (1)(2017课标全国理,2,5分)设集合A=1,2,4,B=x|x2-4x+m= 0.若AB=1,则B= ( C ) A.1,
11、-3 B.1,0 C.1,3 D.1,5 (2)已知A=x|x1,B=x|xm.若AB=R,则m的值可以是 ( D ) A.-1 B.0 C.1 D.2,解析 (1)AB=1, 1B, 1-4+m=0,m=3. 由x2-4x+3=0,解得x=1或x=3. B=1,3. 经检验符合题意.故选C. (2)因为 AB=R,结合数轴知m1,故m的值可以是2,故选D.,规律方法 (1)集合运算的常用方法 若集合中的元素是离散的,常用Venn图求解. 若集合中的元素是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点值的 取舍. (2)利用集合运算求参数的值或取值范围的方法 与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要
12、注意端点值能否取到. 若集合能一一列举,则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关,系,再列方程(组)求解. 提醒 在求出参数后,注意结果的验证(满足互异性). 命题方向三 新定义集合问题 此类题常见的有定义新概念、新公式、新运算、新法则等等.解决此类 问题的一般思路为:理解新概念、新公式、新运算、新法则等的本质含 义;利用已有的知识与方法进行逻辑推理;对选项进行筛选、验证.,典例5 (1)(2018杭州调研)设A,B是两个非空集合,定义集合A-B=x|x A,且xB.若A=xN|0x5,B=x|x2-7x+100,则A-B= ( D ) A.0,1 B.1,2 C.0,1,2 D.0,1,2
13、,5 (2)若对任意的xA, A,则称A是“伙伴关系集合”,则集合M=-1,0, ,1,2的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为 7 .,解析 (1)A=xN|0x5=0,1,2,3,4,5,B=x|x2-7x+100=x|2x 5,A-B=x|xA且xB,A-B=0,1,2,5.故选D. (2)集合M中具有伙伴关系的元素组有-1,1,2和 ,共三组,它们中任一 组、两组、三组均可组成非空伙伴关系集合,所以非空伙伴关系集合分 别为1,-1, ,-1,1, , , ,共7个.,方法技巧 解决集合新定义问题的方法 (1)紧扣新定义:首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质 弄清楚,并能够应用到具体的解题过程中,这是解答新定义型集合问题 的关键所在. (2)用好集合的性质:集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是解 答集合新定义问题的基础,也是突破口,在解答时要善于从试题中发现 可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质.,3-1 设P、Q为两个非空集合,定义集合P+Q=a+b|aP,bQ.若P= 0,2,5,Q=1,2,6,则P+Q中元素的个数是 ( B ) A.9 B.8 C.7 D.6,解析 已知P=0,2,5,Q=1,2,6,根据题意知P+Q=1,2,3,4,6,7,8,11,故P+Q中元素的个数是8.,