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1、小波采样定理,Gilbert G.Walter的采样定理： “A Sampling Theorem for Wavelet Subspaces”,（论文发表在 IEEE.Trans.,Information Theory,Vol.38,No.2,1992,pp881-884) 在这篇论文中，Walter给出了S(x)存在的一个充分条件。,定理：,证明的分析：,（证明的思想类似于离散小波的重构定理的证明。）,重要的是怎样构造这样的函数S(t).,例：,Haar小波,例：,Franklin小波,例：,B_ 样条小波,例：,Meyer小波 可以证明S(x)存在，但给不出其解析表达式。,Walter的
2、定理的一个推广：,“The Zak Transform and Sampling Theorems For Wavelet Subspaces” by A.J.E.M.Jamssen 发表在：IEEE.Tans.on Signal Processing, Vol.41,No.12,1993,pp3360-3364,引入Zak变换作为研究工具。,结果：,稍弱的收敛条件。,讨论：,两人的结果，均不保证S(x)是尺度函数。 可以保证在定理条件满足的前提下，我们可以由f(k)出发，用确定的办法去生成c0k 定理的条件判断和变换的计算困难。,Xianggen Xia 的研究成果：,“On samping theorem ,Wavelet ,and Wavelet ttransforms” 发表在：IEEE.Tans.on Signal Processing, Vol.41,No.12,1993,pp3524-3535,基数尺度函数：(cardinal scaling function) （这个概念由 A.Aldroubi和M.Unser提出）,Haar 小波的尺度函数是基数尺度函数。 Sinc(x)函数是基数尺度函数。,定理：,基数正交尺度函数：,正交的基数尺度函数。,定理：,定理：,一类基数正交尺度函数：,采样定理的另外两个问题：,