2015最新高考数学解题技巧解题方法专题07离心率的求值或取值范围问题.pdf

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1、专题 07 离心率的求值或取值范围问题 【高考地位】 圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点, 有关离心率的试题, 究其原因 , 一是贯彻高考命题“以能力 立意”的指导思想, 离心率问题综合性较强, 灵活多变 , 能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能 力 , 能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度; 二是圆锥曲线是高中数学的重要内容, 具有数学的实 用性和美学价值, 也是以后进一步学习的基础. 【方法点评】 方法 1 定义法 解题模板：第一步根据题目条件求出,a c的值 第二步代入公式 c e a ，求出离心率e. 例 1. 若椭圆经过原点，且焦点为0 , 1 1 F、0, 3 2

2、F，则其离心率为（） A. 4 3 B. 3 2 C. 2 1 D. 4 1 【变式演练1】点 P（-3，1）在椭圆1 2 2 2 2 b y a x （0ba）的左准线上， 过点P且方向为 5, 2a 的 光线，经直线2y反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（） A 3 3 B 3 1 C 2 2 D 2 1 方法 2 方程法 来源: 学科网 解题模板：第一步设出相关未知量； 来源:学 +科+ 网 第二步根据题目条件列出关于, ,a b c的方程； 第三步化简，求解方程，得到离心率. 例 2.已知双曲线 22 22 1(00) xy ab ab ，的左、右焦点分别为 1 F， 2 F

3、，P是准线上一点， 且 12 PFPF， 12 4PFPFab，则双曲线的离心率是（） 2323 例 3.已知双曲线 22 22 10,0 xy Cab ab ：的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于AB、两点， 若4AFFB,则C的离心率为 zxxk （） m A 6 5 B. 7 5 C. 5 8 D. 9 5 【变式演练2】设双曲线 22 22 00 xy ab ab 1 ， 的渐近线与抛物线 2 1yx 相切，则该双曲线的离心 率等于（） （A） 3 （B）2 （C） 5 （D） 6 【变式演练3】如图，在平面直角坐标系xoy中， 1212 ,A A B B为椭圆 22 22 1(0

4、) xy ab ab 的四个顶点， F为其右焦点，直线 12 AB与直线 1 B F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该 椭圆的离心率为. 方法 3 借助平面几何图形中的不等关系 解题模板：第一步根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对 称的性质中的最值等得到不等关系， 第二步将这些量结合曲线的几何性质用, ,a b c进行表示，进而得到不等式， 第三步解不等式，确定离心率的范围. 例 4 已知椭圆的中心在O, 右焦点为F，右准线为l，若在l上存 在点M，使线段OM的垂直平分线经过 点 F，则椭圆的离心率的取值范围是（） A. 1 , 2

5、 2 B. 2 3 ,0 C. 1 , 2 3 D. 2 2 , 0 【变式演练4】已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 与圆 222 2 :Cxyb，若在椭圆 1 C上存在点 P，使得 由点 P 所作的圆 2 C的两条切线互相垂直，则椭圆 1 C的离 心率的取值范围是（） 来源 学科网 A 1 ,1) 2 B 23 , 22 C 2 ,1) 2 D 3 ,1) 2 方法 4 借助题目中给出的不等信息 解题模板： 第一步找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的 范围等； 第二步列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解. 例 5 已知

6、椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上一点A关于原点O的对称点为,B F为其右焦点，若,AFBF设 ,ABF且, 12 4 则椭圆离心率的取值范围是. 【变式演练5】 【2014 江西赣州期末联考】过椭圆C：)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左顶点A 且斜率为k 的直线 交椭圆 C 于另 一个点 B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点F，若 3 1 k 2 1 , 则椭圆的离心率的取值范 围是. 方法 5 借助函数的值域求解范围 解题模板：第一步根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关 系式； 第二步通过确定函数的定义域； 第

7、三步利用函数求值域的方法求解离心率的范围. 例 6.已知椭圆 22 1: 1 2 xy C mn 与双曲线 22 2 :1 xy C mn 有相同的焦点，则椭圆 1 C的离心率e的取值范 围为（） A 2 (,1) 2 B 2 (0,) 2 C(0,1)D 1 (0,) 2 【变式演练6】已知两定点( 2,0)A和(2,0)B，动点( , )P x y在直线:3lyx上移动， 椭圆C以,A B 为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（） A. 2 26 B. 4 26 C. 2 13 D. 4 13 【高考再现】 1.【2012 高考真题浙江理8】如图， F1,F2分别是双曲 线 C：

8、2 2 22 1 xy ab （a,b 0）的左、右焦点，B 是虚 轴的端点，直线F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M，若 |MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是（） A. 2 3 3 B. 6 2 C.2D. 3 2.【2012 高考真题新课标理】设 12 F F是椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点，P为直线 3 2 a x上 一点， 12PF F是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（） ()A 1 2 ()B 2 3 ()C()D 3.【2012 高考真题江西理】椭圆)0(1 2 2 2 2 ba

9、b y a x 的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1， F2.若 1 AF， 21F F，BF1 成等比数列，则此椭圆的离心率为_. 4【2013 年高考新课标1（理）】已知双曲线C: 22 22 1 xy ab (0,0ab) 的离心率为 5 2 ,则C的渐近线方 程为（） A 1 4 yx B 1 3 yxC 1 2 yx D yx 5【2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）】如图 , 21,F F是椭圆1 4 : 2 2 1 y x C与双曲 线 2 C的 公共焦点 ,BA,分别是 1 C, 2 C在第二、四象限的公共点. 若四边形 21BF AF为矩形 , 则 2

10、 C的离心率是（） （） A2B3C 2 3 D 2 6 6【2013 年高考湖南卷（理）】设 12 ,F F是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两 个焦点 , P 是 C 上一点 , 若 2 1 6 ,PFPFa且 12 PF F的最小内角为30, 则 C 的离心率为 _. 7. 【 2014 高考广东卷理第4 题】 若实数k满足09k，则曲线 22 1 259 xy k 与曲线 22 1 259 xy k 的 （） A.离心率相等B.虚半 轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等 8. 【 2014 高考湖北卷理第9 题】 已知 12 ,F F是椭圆和双曲线的公共焦点，

11、P是他们的一个公共点，且 12 3 F PF, 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（） A. 4 3 3 B. 2 3 3 C.3 D.2 9. 【 2014 江西高考理第16 题】 过点(1,1)M作斜率为 1 2 的直线与椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 相交于 ,A B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为. 10. 【2014 山东高考理第10 题】已知0ba，椭圆 1 C的方程为1 2 2 2 2 b y a x ，双曲线 2 C的方程为 22 22 1 xy ab ， 1 C与 2 C的离心率之积为 2 3 ，则 2 C的渐近线方程为（） A.02yx

12、B.02yxC.02yxD.02yx 11. 【2014 浙江高考理第16 题】 设直线)0(03mmyx与双曲线1 2 2 2 2 b y a x （0ab）两条渐近 线分别交于点BA,，若点)0,(mP满足PBPA, 则该双曲线的离心率是_ 12. 【2014 重庆高考理第8 题】 设 21 FF，分别为双曲线)0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的左、右焦点，双曲线上 存在一点P使得, 4 9 | ,3| 2121 abPFPFbPFPF则该双曲线的离心率为（） A. 3 4 B. 3 5 C. 4 9 D.3 13. 【2014 高考北京理第19 题】 已知椭圆C： 22

13、 24xy. 来源 : 学科网ZXXK （1）求椭 圆C的离心率； （2） 设O为原点，若点A在椭圆C上， 点B在直线2y上， 且OAOB， 试判断直线AB与圆 22 2xy 的位置关系，并证明你的结论. 14. 【2014 高考福建理第19 题】 已知双曲线)0,0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x E的两条渐近线分别为 xylxyl2:,2: 21 . （1）求双曲线E的离心率； （2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线 21,l l于BA,两点（BA,分别在第一， 四象限），且OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公 共点的双曲线E？若存在，求出双曲线

14、E的方程；若不存在，说明理由. 【反馈练习】 1. 【 广州市珠海区2014 年高三 8 月摸底考试7】已知抛物线 2 4yx与 双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 有 相同的焦点 F，点A是两曲线的一个交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为 ( ). A22B51C31D2+1 2.【四川省成都市2015 届高中毕业班摸底测试10】如图，已知椭圆 2 2 1: 1 11 x Cy，双曲线 2 2 2 22 :1 y x C ab (a 0，b0)，若以 C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A，B 两点，且 C1与该渐近线的两交点将线 段 AB 三等分，则C2的离心率为 ( )

15、. A、5 B、17 C、5D、 2 14 7 3.【河北省“五个一名校联盟” 2015 届高三教学质量监测（一）15】已知双曲线)0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的右焦点为F，由 F 向其渐近线引垂线，垂足为P，若线段 PF 的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率 为_ 4. 【 湖北省部分重点中学2014-2015 学年度上学期高三起点考试13】过点(1,1)M作斜率为 1 2 的直线与 椭 圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 相交于 A, B，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 . 来源: 学 +科 +网 Z + X+ X+K 5. 【 福建

16、省安溪一中、德化一中2015 届高三 9 月摸底考试，理9】已知 21,F F分别是双曲线C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左右焦点，以 21F F为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P，若双 曲线的离心率为5，则 21 cos PF F等于 ( ). A 3 5 B 3 4 C 4 5 D 5 6 6. 【 河南省开封市20 15 届高三上学期定位考试模拟试题.理 3】已知双曲线方程 22 4312xy，则双曲 线的离心率为（） A. 7 3 B. 21 3 C. 7 7 D. 7 2 7. 【云南省玉溪一中 2015 届高三上学期第一次月考试卷，理12】已知 12 ,F

17、 F分别是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、 右焦点， 以坐标原点O为圆心， 1 OF为半径的圆与双曲线在第一象限的交 点为P,则当 12 PFF的面积等于 2 a时，双曲线的离心率为（） A.2B.3C. 2 6 D.2 8. 【 冀州中学高三上学期第一次月考，理11 】已知双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的左右焦点分别为 12 FF、，O为双 曲线的中心，P是双曲线右支上的点， 21F PF的内切圆的圆心为I，且圆I与x轴相切于点A，过 2 F作 直线PI的垂线，垂足为B，若e为双曲线的离心率，则( ). A. |OAeOBB. |OBeOAC. |OAO

18、BD. | OA与| OB关系不确定 9.【河南八校2014-2015学年上学期第一次联考，理13】已知双曲线 22 2 1 5 xy a 的右焦点为（ 3,0） ，,则该 双曲线的离心率等于. 10. 【福建省安溪一中、德化一中2015 届高三 9 月摸底考试，理19】 （本小题满分13 分） 如图，设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左右焦点为 21,F F，上顶点为A，点 2 , FB关于 1 F对称，且 2 AFAB （）求椭圆C的离心率； （） 已知P是过 2 ,FBA三点的圆上的点，若 21F AF的面积为3，求点P到直线033:yxl距 离的最大值 . 11.椭

19、圆 M： x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P 为椭圆 M 上任一点，且 |PF1 | |PF2 |的最大 值的 取值范围是 2c2,3c2，其中 c a 2b2，则椭圆 M 的离心率e 的取值范围是() A 3 3 ， 2 2 B 2 2 ， 1 C 3 3 ，1 D1 3， 1 2 12.已知点 F1、F2分别是双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)的左、右焦点，过点 F1且垂直于 x轴的直线与双曲线交 于 A，B 两点，若 ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是() A(1，3) B(3，2 2) C (12， ) D(

20、1,12) 13.（2014 山东济南一模）已知中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C1与双曲线 C2有共同的焦点，设左右焦 点分别为F1，F2，P 是 C1与 C2在第一象限的交点，PF1F2是以 PF1为底边 的等腰三角形，若椭圆与双曲 线的离心率分别为 e1，e2，则 e1 e2的取值范围是（） (A)( 1 9 ，+) (B)( 1 5 ，+) (C) ( 1 3 ，+) (D)(0，+) 14.已知 F1，F2是双曲线 22 22 1 xy ab (a0，b0)的左右两个焦点，过点F1作垂直于 x 轴的直线与双曲线的 两条渐近线分别交于A，B 两点， ABF2是锐角三角形，则该双曲线的离

21、心率e 的取值范围是（） (A)(1，2) (B)(1，5) （C）(1,5) (D)( 5，+) 15.从一块短轴长为2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是3b 2,4b2，则这一 椭圆离心率e 的取值范围是_ 16.F1、F2是椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(a b0)的左、右焦点，若椭圆上存在点 P，使 F1PF290 ，则椭圆的离心率 的取值范围是_ 17.已知 F1、 F2是椭圆的两个焦点， P 为椭圆上一点，F1PF2 60 . (1)求椭圆离心率的范围； (2)求 证： 12 PF F的面积只与椭圆的短轴长有关 18.【广东省华附、省实、广雅、深

22、中2014 届联考】 在平面直角坐标系中，已知点(2,2)F及直线 :20lxy，曲线 1 C是满足下列两个条件的动点( , )P x y的轨迹：2 ,PFd其中d是P到直线 l的距离； 0 0. 225 x y xy (1) 求曲线 1 C的方程 ; (2) 若存在直线m与曲线 1 C、椭圆 22 222 :1(0) xy Cab ab 均相切于同一点，求椭圆 2 C离心率e的 取值范围 . 19.椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(abc)的两个焦点为 F1(c,0)，F2(c,0)， M 是椭圆上一点，且满足F1M F2M 0. (1)求椭圆的离心率e 的取值范围； (2)当离心率e 取得最小值时，点N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为52，求此时椭圆的方程 20.椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)与直线 xy1 交于 P、Q 两点，且 OPOQ，其 中 O 为坐标原点 (1)求 1 a 2 1 b 2的值； 来源 学科网 ZXXK (2)若椭圆的离心率e 满足 3 3 e 2 2 ，求椭圆长轴的取值范围