《三角函数图象与性质教学案-高考理科数学考纲解读word详解.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角函数图象与性质教学案-高考理科数学考纲解读word详解.pdf（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1 三角函数图象与性质 【2019 年高考考纲解读】 1. 以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性. 2. 考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考 的必考点 【重点、难点剖析】 1 记六组诱导公式 对于“ k 2 ，k Z 的三角函数值”与“ 角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆，奇变偶不变， 符号看象限 2正弦、余弦、正切函数的图象与性质( 下表中k Z) 函数y sin x ycos x ytan x 图象 单调性 2 2k， 2 2k为增； 2 2k， 3 2 2k 为减 2k， 2k为增； 2k ，2k为 减 2
2、k， 2 k 为增 对称中心(k，0)k 2 ，0 k 2 ， 0 对称轴xk 2 xk无 3.yAsin( x) 的图象及性质 (1) 五点作图法：五点的取法，设Xx，X取 0， 2 ， ， 3 2 ，2 来求相应的x值、y值，再描点 作图 2 (2) 给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是，一般是从“五点法”中的第一点 ，0 作为突破 口 (3) 在用图象变换作图时，一般按照先平移后伸缩，但考题中也有先伸缩后平移的，无论是哪种变形，切记 每个变换总对字母x而言 (4) 把函数式化为yAsin( x)的形式，然后用基本三角函数的单调性求解时，要注意A， 的符号及 复合函数的单调性规律：同增
3、异减 4三角函数中常用的转化思想及方法技巧 (1) 方程思想： sin cos ，sin cos ，si n cos 三者中，知一可求二 (2) “1”的替换：sin 2cos21. (3) 切弦互化：弦的齐次式可化为切. 【题型示例】 题型一、三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用 【例 1】已知角 的顶点 与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2，1) ，则 tan2 4 等于 ( ) A 7 B 1 7 C. 1 7 D 7 答案A 【变式探究】 已知曲线f(x) x 32x2 x在点 (1 ，f(1) 处的切线的倾斜角为，则 cos 2 2 2cos 2 3sin(
4、2 )cos( ) 的值为 ( ) A. 8 5 B 4 5 C. 4 3 D 2 3 答案A 解析由f(x) x 32x2 x可知f(x) 3x 24 x1， 3 tan f(1) 2， cos 2 2 2cos 23sin ()2 cos( ) ( sin ) 22cos2 3sin cos sin 22cos2 3sin cos sin 22cos2 3sin cos sin 2cos2 tan 2 3tan 2 tan 21 462 5 8 5. 【感悟提升】(1) 涉及与圆及角有关的函数建模问题( 如钟表、摩天轮、水车等) ，常常借助三角函数的定 义求解应用定义时，注意三角函数值仅与
5、终边位置有关，与终边上点的位置无关 (2) 应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定 的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等 【变式探究】在平面直角坐标系中，若角 的终边经过点Psin 5 3 ，cos 5 3 ，则 sin( ) 等于 ( ) A 3 2 B 1 2 C. 1 2 D. 3 2 答案B 解析由诱导公式可得， sin 5 3 sin2 3 sin 3 3 2 ， cos 5 3 cos 2 3 cos 3 1 2， 即P 3 2 ， 1 2 ， 由三角函数的定义可得， sin 1 2 3 2 2 1 2 2 1 2， 则
6、 sin () sin 1 2. 【变式探究】已知sin(3 ) 2sin 3 2 ，则 4sin 2 等于 ( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 6 D 1 6 答案D 4 解析sin(3 ) 2sin 3 2 ， sin 2cos ，即 sin 2cos ， 则 4sin 2 sin 4cos 5sin 2cos 2cos 4cos 10cos 2cos 2 12 1 6. 【变式探究】若，则 sin 2 （） （A） 7 25 （B） 1 5 （C） 1 5 （ D） 7 25 【答案】 D 【解析】， 且，故选 D. 【感悟提升】在单位圆中定义的三角函数，当角的顶点在坐标原点，
7、角的始边在x 轴正半轴上时，角的终 边与单位圆交点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值如果不是在单位圆中定义的三角函 数，那么只要把角的终边上点的横、纵坐标分别除以该点到坐标原点的距离就可转化为单位圆上的三角函 数定义 【举一反三】若tan 2tan 5 ，则 cos 3 10 sin 5 ( ) A1 B 2 C3 D4 解析 cos 3 10 sin 5 sin 2 3 10 sin 5 sin 5 sin 5 sin cos 5 cos sin 5 sin cos 5 cos sin 5 5 tan tan 5 1 tan tan 5 1 2 1 2 13. 答案C 【变式探究】
8、(1) 已知 cos 2 3 5，且 2 ， 3 2 ，则 tan ( ) A. 4 3 B. 3 4 C 3 4 D 3 4 (2) 设函数f(x)(xR) 满足f(x) f(x) sin x当 0x0) 的最小正周期为，为了得到函数g(x) cos x的图象， 只要将yf(x) 的图象 ( ) A向左平移 12个单位长度 B向右平移 12个单位长度 C向左平移 5 12 个单位长度 D向右平移 5 12 个单位长度 答案A 解析由题意知，函数f(x) 的最小正周期T， 所以 2， 7 即f(x) sin2x 3 ，g(x) cos 2x. 把g(x) cos 2x变形得g(x) sin2x
9、 2 sin2x 12 3 ，所以只要将f(x)的图象向左平移 12个单 位长度，即可得到g(x) cos 2x的图象，故选A. 【变式探究】 【2017 课标 1，理 9】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ 2 3 )，则下面结论正确的是 A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变， 再把得 到的曲线向右平移 6 个单位长度， 得到曲 线C2 B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度，得到 曲线C2 C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长
10、度，得到 曲线C2 D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度，得到 曲线C2 【答案 】D 【解析】因为 12 ,C C函数名不同，所以先将 2 C利用诱导公式转化成与 1 C相同的函数名，则 ，则由 1 C上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍 变为cos2yx，再将曲线向左平移 12 个单位长度得到 2 C，故选 D. 【举一反三】(2015山东， 3) 要得到函数ysin4x 3 的图象，只需将函数ysin 4x的图象 ( ) A向左平移 12个单位 B向右平移 12 个单位 C向左平移 3 个单位D向右平移 3 个单位 解
11、析y sin4x 3 sin4x 12 ， 要得到ysin4x 3 的图象，只需将函数ysin 4x的图象向右平移 12个单位 答案B 【变式探究】 (2015湖南，9) 将函数f(x) sin 2x的图象向右平移 0 2 个单位后得到函数g(x) 8 的图象，若对满足|f(x1) g(x2)| 2 的x1，x2，有 |x1x2|min 3 ，则 ( ) A. 5 12 B. 3 C. 4 D. 6 答案D 【举一反三】 (1) 若将函数ycos x( 0) 的图象向右平移 3 个单位长度后与函数ysin x的图象重合，则 的最 小值为 ( ) A. 1 2 B. 3 2 C. 5 2 D.
12、7 2 答案B 解析将函数ycos x( 0)的图象向右平移 3 个单位长度后得到函数的解析式为ycos x 3 cos x 3 . 平移后得到的函数图象与函数ysin x的图象重合， 3 2k 2 (kZ) ，即 6k 3 2( kZ) 当k0时， 3 2. (2) 函数f(x) Asin( x)A0，0，| |0) 的图象得到ysin( x) 的图象时， 应将图象上所有点向左( 0)或向右 ( 0. 从而g( ) 1cos 11sin 214 5 1 5. (2)f(x) g(x) 等价于3sin x1cos x，即3sin xcos x1. 于是 sinx 6 1 2. 从而 2k 6
13、x 6 2k 5 6 ，kZ， 即 2kx2k2 3 ，kZ. 13 故使f(x) g(x) 成立的x的取值集合为 x|2kx2k 2 3 ，kZ 题型五函数yAsin( x) 的综合应用 例 5已知函数f(x) 3sin2x 2 sin 2xa的最大值为1. (1) 求函数f(x) 的最小正周期与单调递增区间； (2) 若将f(x) 的图象向左平移 6 个单位长度，得到函数g(x) 的图象，求函数g(x) 在区间0， 2 上的最大值 和最小值 解(1) f(x) 3sin2x 2 sin 2xa 3cos 2x sin 2xa 2sin2x 3 a1， 2a1， 即a 1， 最小正周期为T
14、. f(x) 2sin2x 3 1， 令 2k 2 2x 3 2k 2 ，kZ， 得k 5 12 xk 12，kZ. 函数f(x) 的单调递增区间为k5 12 ，k 12 ，kZ. (2) 将f(x) 的图象向左平移 6 个单位长度，得到函数g(x) 的图象， g(x) f x 6 2sin2x 6 3 1 2sin2x 2 3 1. x 0， 2 ，2x 2 3 2 3 ， 5 3 ， 当 2x2 3 2 3 ， 即x 0 时， sin2x2 3 3 2 ，g(x) 取最大值31； 当 2x2 3 3 2 ， 14 即x 5 12 时， sin2x 2 3 1，g(x) 取最小值 3. 【变
15、式探究】 【2016 高考浙江理数】设函数，则( )f x的最小正周期（） A与b有关，且与c有关 B与b有关，但与c无关 C与b无关，且与c无关 D与b无关，但与c有关 【答案】 B 【解析】，其中当0b 时，此时周期是；当0b时，周期为2，而c不影响周期故选B 【举一反三】已知函数f(x) Asin( x )(A， 均为正的常数) 的最小正周期为，当x 2 3 时， 函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是( ) Af(2)0， min 6 ，故f(x) Asin2x 6 . 于是f(0) 1 2A ，f(2) Asin4 6 ，f( 2) Asin4 6 Asin 13 6 4 ， 又
16、 2 5 6 4 6 4 7 6 2 ， 其中f(2) Asin4 6 Asin4 6 Asin 5 6 4 ， f( 2) As in 13 6 4 Asin 13 6 4Asin4 7 6 . 又f(x) 在 2 ， 2 单调递增， f(2)f( 2)f(0) ，故选 A. 答案A 【举一反三】已知函数f(x) sin 2xsin2 x 6 ，xR. 15 (1) 求f(x) 的最小正周期； (2) 求f(x) 在区间 3 ， 4 上的最大值和最小值 (2) 因为f(x) 在区间 3 ， 6 上是减函数，在区间 6 ， 4 上是增函数，f 3 1 4，f 6 1 2， f 4 3 4 ， 所以f(x)在区间 3 ， 4 上的最大值为 3 4 ，最小值为 1 2.