《北京市西城区2016届高三上学期期末考试数学理试题(WORD版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市西城区2016届高三上学期期末考试数学理试题(WORD版).pdf（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、北京市西城区 2015 2016 学年度第一学期期末试卷 高三数学（理科） 2016.1 第卷（选择题共 40 分） 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项 1设集合|1 Ax x，集合2Ba，若AB，则实数a的取值范围是（） （A）(, 1（ B） (,1（C） 1,)（D） 1,) 2. 下列函数中，值域为 R的偶函数是（ ） （A） 2 1yx（B）ee xx y（C） lg |yx （D） 2 yx 3. 设命题 p：“若 1 sin 2 ，则 6 ”，命题 q：“若ab，则 11 ab ”，则（） （A）“pq”为真
2、命题（B）“pq”为假命题 （ C）“q”为假命题（D）以上都不对 4. 在数列 n a中，“对任意的 * nN ， 2 12nnn aa a”是“数列na为等比数列”的（） （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（ D）既不充分也不必要条件 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个 几何体的表面积是（） （A）162 3 （B）162 5 （C）202 3 （D） 202 5 侧(左 )视图 正(主)视图 俯视图 2 2 1 1 开始 4x 输出 y 结束 否是 输入 x y= 12 1 6. 设x，y满足约束条件 1, 3, , xy ym yx 若 3zxy的
3、最大值与最小值的差为 7，则实数 m（） （A） 3 2 （B） 3 2 （C） 1 4 （D） 1 4 7. 某市乘坐出租车的收费办法如下： 不超过 4 千米的里程收费12 元; 超过 4 千米的里程按每千米2 元收费（ 对于其中不足千米的部分，若其小于 0.5 千米则不收费，若其大于或等于0.5 千米则按1 千米收费）； 当车程超过4 千米时，另收燃油附加费1 元. 相应系统收费的程序框图如图所示，其中x（单位：千米）为行驶里程， y（单位：元）为所 收费用，用 x表示不大于x 的最大整数，则图中 1 处应填（） （A） 1 24 2 yx （B） 1 25 2 yx （C） 1 24 2
4、 yx （D） 1 25 2 yx 8. 如图，正方形ABCD 的边长为 6，点 E， F 分别在边 AD ， BC 上，且 2DEAE，2CFBF . 如果对于常数，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6 个不同的点P 使得=PE PF成立，那 么的取值范围是（） （A） (0,7) （B） (4,7) （C） (0, 4) （D） ( 5,16) 第卷（非选择题共 110 分） E F D P C A B B O C A N M 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分 9. 已知复数z满足(1i)24iz，那么z_. 10在ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别为
5、a，b，c. 若 AB ， 3a，2c，则cosC_. 11双曲线C： 22 1 164 xy 的渐近线方程为_；设 12 ,FF为双曲线C 的左、右焦点，P 为 C 上一 点，且 1 |4PF，则 2 |PF_. 12如图，在ABC 中，90ABC ，3AB， 4BC ，点O为BC的中点， 以 BC 为直径的半圆与AC ， AO 分别相交于点M ， N ，则 AN_； AM MC _. 13. 现有 5 名教师要带3 个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣 小 组 的带队教师至多2 人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有_种.（用数 字作答） 14. 某食品的保鲜时间t （
6、单位：小时）与储藏温度x（单位：C）满足函数关系 6 0, 2 64, ,0. kx x t x 且 该食品在4 C的保鲜时间是16 小时 . 已知甲在某日上午10 时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图 所示 . 给出以下四个结论： 1 该食品在 6 C的保鲜时间是 8小时； 2当 6,6x时，该食品的保鲜时间 t 随着 x 增大而逐渐减少； 3到了此日13 时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； 4到了此日14 时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是_. 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 1
7、5（本小题满分13 分） 已知函数 3 ( )cos (sin3cos ) 2 f xxxx，xR. （）求( )fx的最小正周期和单调递增区间； （）设0，若函数 ( )()g xf x 为奇函数，求的最小值 . 16（本小题满分13 分） 甲、乙两人进行射击比赛，各射击4 局，每局射击10 次，射击命中目标得1 分，未命中目标得 0 分. 两人 4 局的得分情况如下： 甲6 6 9 9 乙7 9 x y （）若从甲的4 局比赛中，随机选取2 局，求这2 局的得分恰好相等的概率； （）如果7xy，从甲、乙两人的4 局比赛中随机各选取1 局，记这2 局的得分和为X， 求X的分布列和数学期望；
8、（）在4 局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能 取值 .（结论不要求证明） 17（本小题满分14 分） 如图，在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 是平行四边形， 135BCD， 侧面 PAB底面 ABCD ， 90BAP ,2ABACPA, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M在线段PD上 . （）求证：EF平面 PAC ； （）若M为PD的中点，求证：/ME平面PAB； （）如果直线ME与平面 PBC 所成的角和直线 ME与平面 ABCD 所成的角相等，求 PM PD 的值 . 18（本小题满分13 分） F C A D P M BE 已知函
9、数 2 ( )1f xx，函数( )2 lng xtx，其中1t （）如果函数( )fx与( )g x在1x处的切线均为l，求切线l的方程及t的值； （）如果曲线( )yfx与( )yg x有且仅有一个公共点，求 t的取值范围 19（本小题满分14 分） 已知椭圆C:)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率为 2 3 ，点 3 (1,) 2 A 在椭圆 C 上 . （）求椭圆C 的方程； （）设动直线l与椭圆 C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此 圆与l相交两点 1 P， 2 P（两点均不在坐标轴上），且使得直线 1 OP， 2 OP 的斜率之积为定
10、值？若存 在，求此圆的方程；若不存在，说明理由. 20（本小题满分13 分） 在数字21,2,()nn的任意一个排列 A： 12 , n aaa中， 如果对于 ,ijijN ， 有ij aa， 那么就称(,)ijaa为一个逆序对. 记排列 A 中逆序对的个数为( )S A. 如 =4n时，在排列B：3, 2, 4, 1 中，逆序对有(3,2) ， (3,1)， (2,1)， (4,1)，则()4S B . （）设排列C：3, 5, 6, 4, 1, 2，写出 ()S C 的值； （）对于数字1，2，n 的一切排列A，求所有( )S A 的算术平均值； （）如果把排列A： 12 , n aaa
11、中两个数字,() ij a a ij交换位置，而其余数字的位置保持不变， 那么就得到一个新的排列A： 12 , n bbb ，求证：()()S AS A 为奇数 . 北京市西城区 2015 2016 学年度第一学期期末 高三数学 （理科） 参考答案及评分标准 2016.1 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分. 1A 2C 3B 4 B 5B 6 C 7D 8 C 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. 9 13i 10 7 9 11 1 2 yx1212 132 9 16 13 54 141 4 注：第 11，12 题第一问2 分，第二问3分. 三、解
12、答题：本大题共6 小题，共80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15（本小题满分13 分） （） 解： 3 ( )cos (sin3cos ) 2 f xxxx 2 3 sincos(2cos1) 2 xxx 13 sin2cos2 22 xx ,4 分 sin(2) 3 x，,6 分 所以函数 ( )f x的最小正周期 2 = 2 T. , 7 分 由 2 + 232 22xkk ， k Z ， 得 5 + 1212 xkk ， 所以函数 ( )f x的单调递增区间为 5 + 1212 kk, ， k Z . ,9 分 （注：或者写成单调递增区间为 5 +) 1212 (kk,
13、 ， k Z . ） （） 解：由题意，得 ( )()sin(22) 3 g xf xx ， 因为函数 ( )g x为奇函数，且x R ， 所以 (0)0g，即 sin(2)0 3 ，,11 分 所以 2 3 k ，k Z， 解得 26 k ，k Z，验证知其符合题意. 又因为 0 ， 所以 的最小值为 3 . ,13 分 16（本小题满分13 分） （） 解：记“从甲的 4 局比赛中，随机选取2 局，且这2 局的得分恰好相等”为事件A ， ,1 分 由题意，得 2 4 21 () C3 P A ， 所以从甲的4 局比赛中，随机选取2 局，且这2 局得分恰好相等的概率为 1 3 . ,4 分
14、（） 解：由题意，X 的所有可能取值为13， 15，16， 18，,5 分 且 3 (13) 8 P X ， 1 (15) 8 P X ， 3 (16) 8 P X ， 1 (18) 8 P X ，,7 分 所以X的分布列为： X13 15 16 18 P 3 8 1 8 3 8 1 8 ,8 分 所以 3131 ()1315161815 8888 E X . ,10 分 （） 解：x的可能取值为6，7，8. ,13 分 17（本小题满分14 分） （） 证明 ：在平行四边形ABCD 中，因为ABAC ，135BCD， 所以 ABAC . 由,E F分别为,BC AD的中点，得/EFAB， 所
15、以 EFAC . ,1 分 因为侧面 PAB底面 ABCD ，且 90BAP ， 所以 PA底面 ABCD . ,2 分 又因为EF底面 ABCD ， 所以 PAEF . ,3 分 又因为 PAAC A， PA 平面 PAC ， AC平面 PAC ， 所以EF平面 PAC . ,4 分 （） 证明 ：因为M为 PD 的中点，F分别为AD的中点， 所以/MFPA， 又因为 MF平面 PAB， PA 平面 PAB， F A D P M z 所以/MF平面 PAB. ,5 分 同理，得/EF平面 PAB. 又因为=MFEF F ， MF平面 MEF ， EF平面 MEF ， 所以平面/MEF平面 P
16、AB. ,7 分 又因为ME平面MEF， 所以/ME平面 PAB. ,9 分 （） 解：因为 PA底面 ABCD ， ABAC ，所以,APAB AC两两垂直，故以 ,AB ACAP 分别为 x轴、 y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系， 则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),( 2,2,0),(1 ,1,0)ABCPDE， 所以(2,0,2)PB ， ( 2,2, 2)PD ， ( 2,2,0)BC ，,10 分 设 (0,1) PM PD ，则 ( 2 ,2, 2 )PM ， 所以( 2 ,2 ,22 )M，(1 2 ,1 2 ,22)ME ， 易得平面ABCD
17、 的法向量(0,0,1)m. ,11 分 设平面 PBC 的法向量为( , , )x y zn， 由0BCn，0PBn，得 220, 220, xy xz 令1x, 得 (1,1,1)n . ,12 分 因为直线ME与平面 PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等， 所以 |cos,| |cos ,|MEMEmn，即 | | | | MEME MEME mn mn ，,13 分 所以 2 |22| | 3 ， 解得 33 2 ，或 33 2 （舍） . ,14 分 18. （本小题满分13 分） （） 解：求导，得( )2fx x， 2 ( ) t g x x ， (0)x,2 分
18、 由题意，得切线l 的斜率 (1)(1)kfg，即22kt，解得1t ,3 分 又切点坐标为 (1,0) ，所以切线l 的方程为220xy,4 分 （） 解：设函数 2 ( )( )( )12 lnh xf xg xxtx，(0,)x,5 分 “曲线 ( )yfx与( )yg x有且仅有一个公共点”等价于“函数( )yh x有且仅有一 个零点” 求导，得 2 222 ( )2 txt h xx xx . , 6 分 当0t时， 由 (0,)x ，得( )0h x，所以 ( )h x 在 (0, ) 单调递增 又因为 (1)0h，所以( )yh x有且仅有一个零点1，符合题意,8 分 当1t时，
19、 当x变化时， ( )h x 与( )h x的变化情况如下表所示： x(0,1) 1 (1,) ( )h x 0 ( )h x 所以 ( )h x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增， 所以当1x时， min ( )(1)0h xh， 故( )yh x有且仅有一个零点1，符合题意,10 分 当0 1t 时， 令 ( )0h x，解得 xt 当x变化时， ( )h x与( )h x 的变化情况如下表所示： x (0,)tt(,)t ( )h x 0 ( )h x 所以( )h x 在 (0,) t 上单调递减，在(,)t上单调递增， 所以当xt时， min ( )()h xht,11 分
20、 因为 (1)0h， 1t ，且( )h x 在(,)t上单调递增， 所以()(1)0hth. 又因为存在 1 2 e(0,1) t， 1111 22 ()1 2 ln0 tttt hteeee ， 所以存在 0(0,1)x使得 0 ()0h x ， 所以函数( )yh x存在两个零点 0 x，1，与题意不符. 综上，曲线 ( )yf x与( )yg x有且仅有一个公共点时，t的范围是0 |t t ，或1t . ,13 分 19（本小题满分14 分） （）解：由题意，得 3 2 c a ， 222 abc，, 2 分 又因为点 3 (1,) 2 A在椭圆 C 上， 所以 22 13 1 4ab
21、 ，,3 分 解得2a，1b，3c， 所以椭圆C 的方程为1 4 2 2 y x . ,5 分 （） 结论 ：存在符合条件的圆，且此圆的方程为 22 5xy. ,6 分 证明如下： 假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为 222 (0)xyrr. 当直线 l 的斜率存在时，设l 的方程为mkxy. ,7 分 由方程组 2 2 , 1, 4 ykxm x y 得0448)14( 222 mkmxxk，,8分 因为直线 l 与椭圆C有且仅有一个公共点， 所以 222 1 (8)4(41)(44)0kmkm，即 22 41mk. ,9 分 由方程组 222 , , ykxm xyr 得 2222 (
22、1)20kxkmxmr，,10 分 则 2222 2 (2)4(1)()0kmkmr. 设 111 (,)P xy， 222 (,)P xy，则 12 2 2 1 km xx k ， 22 12 2 1 mr xx k ，,11 分 设直线1OP ，2 OP 的斜率分别为 1 k ，2 k ， 所以 22 12121212 12 121212 ()()()y ykxmkxmk x xkm xxm k k x xx xx x 22 22 222 22 2222 2 2 11 1 mrkm kkmm mr k kk mrmr k ，,12 分 将 22 41mk代入上式，得 22 12 22 (4
23、)1 4(1) rk kk kr . 要使得 12 k k 为定值，则 2 2 41 41 r r ，即 2 5r，验证符合题意. 所以当圆的方程为 22 5xy时，圆与 l 的交点 12,P P 满足12 k k 为定值 1 4 . ,13 分 当直线 l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x， 此时，圆 22 5xy与 l 的交点 12 ,P P 也满足 12 1 4 k k. 综上，当圆的方程为 22 5xy时，圆与 l 的交点12 ,P P满足斜率之积 12 k k 为定值 1 4 . ,14 分 20（本小题满分13 分） （） 解：()10S C；,2 分 （） 解：考察排列D
24、： 121 , nn dddd 与排列 1121 , nn Ddddd：， 因为数对 (,) ij d d 与( ,) ji dd 中必有一个为逆序对（其中 1ijn ）， 且排列 D 中数对 (,) ijd d共有 2(1) C 2 n n n 个，, 3 分 所以1 (1) ()() 2 n n S DS D. , 5 分 所以排列 D 与 1 D 的逆序对的个数的算术平均值为 (1) 4 n n . , 6 分 而对于数字1， 2， ， n 的任意一个排列A： 12 , n aaa，都可以构造排列A1： 121 , nn aaaa，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为 (1) 4 n n . 所以所有( )S A 的算术平均值为 (1) 4 n n . , 7分