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1、1 导数题型归纳总结 第三讲不等式恒成立求字母范围 恒成立之最值的直接应用 1.（2011北京理 18倒数第 3大题，最值的直接应用） 已知函数 2 ( )() x k f xxke 。 求( )f x的单调区间； 若对于任意的(0,)x，都有( )f x 1 e ，求k的取值范围 . 解： 22 1 ( )() x k fxxke k ，令 ( )0,fxxk， 当0k时， ( )f x 与 ( )fx 的情况如下： x(,)kk(, )k kk( ,)k ( )fx+ 0 0 + ( )f x 21 4k e 0 所以， ( )fx 的单调递增区间是 (,)k 和( , )k ：单调递减区
2、间是 (, )k k ， 当0k时，( )f x与( )fx的情况如下： x(, )kk( ,)kkk(,)k ( )fx0 + 0 ( )f x 0 21 4k e 所以， ( )fx 的单调递减区间是 (, )k 和( ,)k ：单调递增区间是 ( ,)kk 。 当0k时，因为 1 1 (1) k k f ke e ，所以不会有 1 (0,),( ).xf x e 当0k时，由（）知 ( )fx 在(0, )上的最大值是 2 4 () k fk e ， 所以 1 (0,),( )xf x e 等价于 2 4 () k fk e 1 e , 解 1 0. 2 k 综上：故当 1 (0,),(
3、 )xf x e 时，k的取值范围是 1 2 ，0. 2.（2008天津理 20倒数第 3大题，最值的直接应用，第3问带有小的处理技巧） 已知函数0xb x a xxf，其中Rba,. 若曲线xfy在点2, 2 fP处切线方程为 13xy , 求函数xf的解析式； 讨论函数 xf 的单调性； 若对于任意的2 , 2 1 a ，不等式10xf在 1 , 4 1 上恒成立，求b的取值范围 . 2 解： 2 ( )1 a fx x ，由导数的几何意义得(2)3f，于是8a 由切点(2,(2)Pf在直线31yx上可得27b，解得9b 所以函数 ( )f x 的解析式为 8 ( )9f xx x 2 (
4、 )1 a fx x 当0a时，显然 ( )0fx (0x), 这时 ( )fx 在( ,0)，(0,)上内是增函数 当0a时，令( )0fx，解得 xa 当x变化时， ( )fx ， ( )f x 的变化情况如下表： x(,)a a (,0)a(0,)a a (),a ( )fx0 0 ( )f x极大值极小值 ( )fx在(,)a，(),a内是增函数，在(,0)a，(0,)内是减函数 由知，( )f x在 1 ,1 4 上的最大值为 1 ( ) 4 f与(1)f的较大者，对于任意的 1 ,2 2 a，不等式0(1)f x在 1 ,1 4 上恒成立，当且仅当 10 (1 1 ( 4 )10
5、) f f ，即 39 4 4 9 a ba b ，对任意的 1 ,2 2 a 成立从而得 7 4 b ，所以满足 条件的b的取值范围是( 7 , 4 3.（转换变量，作差） 已知函数 2 ( )() x f xxa e. 若3a，求( )f x的单调区间； 已知 12 ,x x 是 ( )f x 的两个不同的极值点，且1212 | |xxx x ，若 323 3 ( )3 2 f aaaab恒成立，求实数 b的取值范围。 解： 2 3,( )(3) x af xxe， 2 ( )(23)0 x fxxxe3x或1 令 ( )0fx ，解得 (,3)(1,)x 令 ( )0fx ，解得 ( 3
6、,1)x ， ( )fx的增区间为 (, 3),(1,)；减区间为( 3,1)， 2 ( )(2)0 x fxxxa e，即 2 20xxa 由题意两根为 12 ,x x ，1212 2,xxxxa，又 1212 | |xxx x22a 且440a，12a. 设 32232 33 ( )3 ( )33()3 22 a g af aaaaaa eaaa， 3 215 ( )3(1)(1)0 2 a g aaaea或 0a a( 1,0) 0 51 (0,) 2 51 2 51 (,2) 2 2 ( )ga + 0 0 + ( )g a极大值极小值(2)g 又 (0)0g ， 2 (2)68ge，
7、 2 max ( )68g ae ， 2 68be. 恒成立之分离常数 4.（分离常数） 已知函数( )ln1,. a f xxaR x (1) 若( )yf x在 0 (1,)Py 处的切线平行于直线 1yx ，求函数 ( )yf x 的单调区间； (2) 若0a，且对(0,2 xe时，( )0f x恒成立，求实数a的取值范围 . 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -8-6-4-224681012 A 解: (1) ( )ln1,. a f xxaR x )(xf 定义域为 ), 0(,直线1yx 的斜率为1, xx a xf 1 )( 2 ,11)1( af,2a.
8、 所以 22 212 )( x x xx xf 由20)( xxf得; 由200)( xxf得 所以函数( )yf x的单调增区间为)2( ，,减区间为(0,2). (2) 0a，且对 (0, 2 xe 时， ( )0f x 恒成立 ln10(0,2 a xxe x 在恒成立, 即(ln1)axx. 设2,0(,ln)ln1()(exxxxxxxg. 2,0(,ln1ln1)( exxxxg 当10x时, 0)( xg ,为增函数)(xg 4 当ex20时, 0)( xg,为减函数)(xg. 所以当1x时, 函数)(xg在2,0(ex上取到最大值 , 且11ln1)1(g 所以 1)(xg ,
9、 所以1a 所以实数a的取值范围为 ), 1( . （法二）讨论法 2 ( ) xa fx x ， ( )f x 在(0, )a 上是减函数，在 ( ,)a 上是增函数 . 当a2e时，( )f x( )1ln10f aa，解得1a，1a2e. 当2ae时，( )(2 )ln(2 )10 2 a f xfee e ，解得2ln 2ae，2ae. 综上1a. 5.（2011长春一模，恒成立，分离常数，二阶导数） 已知函数 1 2 )( 2 ax x exf x , （其中aR,e为自然对数的底数）. (1) 当0a时, 求曲线)(xfy在)0(,0(f处的切线方程； (2) 当x1时, 若关于x
10、的不等式 )(xf 0恒成立 , 求实数a的取值范围 . 解： （1）当0a时， 1 2 )( 2 x exf x ,xexf x )( , 1)0( ,0)0(ff , 切线方程为 xy （2）方法一 x1, 设, 则, 设1 2 )1()( 2 x exx x , 则0)1()( x exx, )(x 在 ), 1 上为增函数 , )(x 0 2 1 ) 1 ( , 0 1 2 ) 1( )( 2 2 x x ex xg x , x x e xg x 1 2 )( 2 在 ), 1 上为增函数 , )(xg 2 3 )1 (eg,a 2 3 e 方法二 1 2 )( 2 ax x exf
11、x , axexf x )( , 2 2 1 2 ) 1( )( x x ex xg x x x e xg x 1 2 )( 2 x x ex1 2 2 a0 1 2 )( 2 ax x exf x 5 设axexh x )(, 1exh , x0,1)( x exh 0,axexh x )(在), 1上为增函数 , )(xhaeh1)1(. 又1 2 )( 2 ax x exf x 0恒成立 , 2 3 ) 1 (aef0, a 2 3 e, )(xh01)1(aeh,0)( axexf x , 1 2 )( 2 ax x exf x 在 ), 1 上为增函数 , 此时 )(xf 2 3 )
12、1 (aef0恒成立 , a 2 3 e 6.（两边取对数的技巧）设函数 1 ( )(1 (1)ln(1) f xx xx 且0x） （1）求 ( )f x 的单调区间； （2）求( )f x的取值范围； （3）已知 1 1 2(1) m x x 对任意 ( 1,0)x 恒成立，求实数m的取值范围。 解： （1） 22 ln(1) 1 ( ) (1) ln (1) x fx xx , 当( )0fx时，即 1 ln(1)10, 11xxe. 当( )0fx时，即ln(1)10,0xx 1 1e 或0x . 故函数( )f x的单调递增区间是 1 ( 1,1)e . 函数( )fx的单调递减区间是 1 (1,0),(0,)e . （2）由( )0fx时，即 1 ln(1) 10,1xxe， 由（ 1）可知( )f x在 1 ( 1,1)e上递增，在 1 (1,0)e递减，所以在区间（1，0）上， 当 1 1xe时， ( )fx取得极大值，即最大值为 1 (1)f ee . 在区间(0,)上，( )0f x. 函数 ( )fx的取值范围为 (,)(0,)e . 分 （3） 1 1 2(1)0,( 1,0) m x xx ，两边取自然对数得 1 ln 2ln(1) 1 mx x